大学高等数学ppt课件第三章2第二类换元积分法分部积分法

1、第一换元法第一换元法 dxxxgdxxf ( )uxg u du ux令第二换元法第二换元法 1( )uxfuu du f x dx xu令 xu 0u注：注： 单调、可导，且单调、可导，且 凑微分凑微分( )dx则则22cosaxat22,ax对于对于22tanxaat则则22secaxat则则对于对于22,ax对于对于22,xa 一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式化根式化根式 为三角函数的有理式，为三角函数的有理式，再积分。再积分。 2222sincos1, 1tansecxxxx222222, , axxaxa令令sin ,xat令令tan

2、,xat令令sec ,xat0,a 上式中，均假设上式中，均假设 t为各对应反三角函数的为各对应反三角函数的主值区间主值区间。()22t ()22t (0)2t 2cos2cosuudu21cos2u du2sin2uucux224x242arcsin22xxxc解解 2sin ,xu令令 2cosdxudu则则例例1 24x dx求不定积分求不定积分 原式原式24cos udu辅助三角形辅助三角形22222arcsin22axxax dxaxca公式公式 ()22usecudu22ln22xxc21ln2xxc解解 2 tan ,xu令令 22secdxudu则则例例222dxx 求不定积分

3、求不定积分 22sec2secuduu原式原式 ln sectanuucux22x2辅助三角形辅助三角形1ln2cc2222lndxxaxcax公式公式 ()22u1ln sectan2uuc21243ln233xxc解解 3sec ,2xu令令 3sec tan2dxuudu则则 例例3243dxx 求不定积分求不定积分 1sec2udu原式原式 211ln 2432xxc11ln32ccu2x3243x 辅助三角形辅助三角形(0)2uu21x x124secsecuduu221cossecduuduu11 cos22u du11(sin2 )22uuc2211(arctan)211xxcx

4、x21(arctan)21xxcx解解 tan ,xu令令 22(1)dxx 例例4 求不定积分求不定积分 2secdxudu则则原式原式 辅助三角形辅助三角形偶次方化倍角偶次方化倍角 ()22u基本积分公式基本积分公式p106-p107tan xdxcot xdxsecxdxcscxdx22dxax1ln |2xacaxa1arctanxcaa22dxax22dxxa22ln|xxacln |cos|xc ln |sin|xcln |sectan|xxcln |csccot|xxc1ln |2axcaax22dxxa22dxaxarcsin(0)xc aa22dxxa22ln|xxac公式的

5、直接应用公式的直接应用 221( 3 )3( 5)( 3 )dxx13arcsin35xc253dxx例例1例例2223dxxx2(1)2dxx2(1)(1)2d xx2ln1(1)2xxc 例例3224dxxx2(1)3dxx2(1)(1)3d xx11arctan33xc2dxudu221 121uduu 212 (1)1duu解解 令令 1,ux21,xu则则 221uuduu原式原式2arctanuuc2(1arctan1)xxc 例例11xdxx求不定积分求不定积分 直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式231uduu1311uduu 233 (ln1)2uuuc

6、解解 例例231dxx 求不定积分求不定积分 令令 3,ux则则32, 3xudxu du原式原式 32333 (ln1)2xxc 直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式221udxduu221duu解解 2ln1 ,xu则则 1xdxe例例3求不定积分求不定积分 令令 1,xeu原式原式 11()11duuu1ln1ucup107公式（公式（20） 1111lnln1111xxxxeeccee直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式解解 23dxu du231u duu21 131uduu 13 (1)1uduu 23ln |1|2uuuc原式原式23333

7、(4)343ln142xxxc 314dxx例例4 求不定积分求不定积分 34 ,x u则则 34 ,ux令令 直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式3(1)dxxx例例5 求不定积分求不定积分 解解 56dxu du6 ,x u则则 6 ,ux令令 5236(1)u duuu原式原式2261uduu216 (1)1duu6(arctan)uuc666(arctan)xxcvuvuuv由由dxvuvdxudxuvuv得得vdxuuvdxvu即即或或vduuvudv 分部积分法分部积分法udvuvvdu分部积分公式分部积分公式 sinsinxxxdxsincosxxxc解解 则

8、则cosxxdx例例1求不定积分求不定积分 令令 ,uxcosdvxdx,dudxsinvx原式原式 若令若令 2211cossin22xxxxdx则则cos ,uxdvxdxsin,duxdx 212vx原式原式 比比 更难求更难求cosxxdx失败！失败！与与 的选择原则的选择原则udvv1、 可求；可求；2、 可求，可求， 或较易求或较易求vduudvuvvdulnlnxxaaxdxaacaaaxaxx2lnln解解 dxxax例例2求不定积分求不定积分 令令 ,xuxdva dx则则,lnxadudxva原式原式 求不定积分求不定积分 2xx e dx解答解答 原式原式222xxxx

9、dex exe dx2222xxxxxx exdex exee dx2(22)xexxc 两次使用两次使用分部积分公式分部积分公式dx幂函数 指数函数uv31ln3xdx3311(ln)3xxxdxxudvuvvdu解解 2lnxxdx例例3求不定积分求不定积分 原式原式321(ln)3xxx dx3311(ln)33xxxcdx幂函数 对数函数uv1arctan()xdx21arctan(1)dxxxxx 211arctan()1xxdxxxx udvuvvdu211arctanlnln(1)2xxxcx 2211(1)arctanln21d xxxxx 解解 xdxxarctan12例例4

10、求不定积分求不定积分 原式原式dx幂函数 反三角函数uv21ln2lnxxxxdxx2ln2 lnxxxdx2ln2 lnxxxxdxudvuvvdu2ln2 ln2xxxxxc解解 2ln xdx例例5求不定积分求不定积分 原式原式 xdxxxarcsinarcsin2arcsin1xxxdxxudvuvvdu2arcsin1xxxc解解 arcsin xdx例例6求不定积分求不定积分 原式原式 221(1)arcsin21dxxxdxxsinxxdexdexexxsinsinsincosxxexexdxcossinxxdexx esincossinxxxeexex xxdcxxexdxex

11、xcossin2sinudvuvvdu解解 xdxexsin例例7求不定积分求不定积分 原式原式 所以所以 一般规律一般规律,dxdx幂函数 三角函数幂函数 指数函数,dxdx幂函数 对数函数幂函数 反三角函数令幂函数为令幂函数为 u令幂函数为令幂函数为 vdx指数函数 三角函数两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解 注意：第一次使用分部积分公式时，注意：第一次使用分部积分公式时，u与与dv可任选，但可任选，但第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，u与与dv的选择，必须与第一次的选择，必须与第一次的选择同类的选择同类。xxd

12、tansecxdxxxxsectantansec2xdxxxxsec1sectansec23secsec tansecxxddxxx xdxx3seccxxxxtanseclntansec21udvuvvdu解解 xdx3sec例例8求不定积分求不定积分 原式原式 3sec tanln sectsecanxxxxxxd所以所以 dxxxxlncoslnsindxxxxxx1lncoslnsinsin lncos lsin lnnxxxdxxxudvuvvdu1sin lnsin lncos ln2x dxxxxxc解解 dxxlnsin例例9求不定积分求不定积分 原式原式 所以所以 22tan

13、uudu22(sec1)uudu2tan2uuud22 tan2 tanuuuduuudvuvvdu22 tan2ln cosuuuuc2tan2ln cosxxxxc解解 xu令令 2tanx dx例例10 求不定积分求不定积分 则则2, 2xudxudu原式原式 求不定积分方法小结求不定积分方法小结直接积分法直接积分法变形、用公式（变形、用公式（24条）条） 第一类换元积分法第一类换元积分法 ( )( )fxx dx凑微分凑微分 ( )dx第二类换元积分法第二类换元积分法 2222(),()fxadxfaxdx利用三角代换，化无理根式为有理式利用三角代换，化无理根式为有理式 分部积分法分部

14、积分法 ( )( )f xg x dx有理分式的积分有理分式的积分 真分式的性质真分式的性质 将真分式将真分式 分解为部分分式之和分解为部分分式之和 2143xxx1(1)(3)xxx2143xxx13abxx上面等式两边乘以上面等式两边乘以(1)(3)xx1(3)(1)xa xb x ，则，则1x 1a 3x 2b令令令令故故2112 4313xxxxx12( )13dxxxln12ln3xxc 2112 4313xxxxx2143xdxxx解解 因为因为 2143xdxxx例例1 求不定积分求不定积分 所以所以 解解 331(1)xx x321212(1)(1)1xxxx 由待定系数法，把被积函数分解为部分分式之和由待定系数法，把被积函数分解为部分分式之和331(1)xdxx x32111122(1)(1)1dxdxdxdxxxxx211ln| |2ln|1| (1)1xxcxx 331(1)xdxx x例例2 求不定积分求不定积分 所以所以 (