(完整word版)初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)

1、初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）,它们在线段、射线或弧线上运动的一所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1: （2013年上海市虹口区中考模拟第 25题）如图1,在 RtAABC中，/ A= 90 , AB= 6, AC =8,点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点，点 Q为边AC 上

2、的一动点，且/ PDQ = 90 .(1)(2)(3)求ED、EC的长；若BP=2,求CQ的长；记线段PQ与线段DE的交点为F,若 PDF为等腰三角形，求 BP的长.备用图10图3图2思路点拨1 .第（2）题BP=2分两种情况.2 .解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系.3 .第（3）题探求等腰三角形 PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形 CDQ .解答：（1）在 RtABC 中， AB = 6, AC =8,所以 BC=10.3 1525在 RtCDE 中，CD = 5,所以 ED CD tan C 5 - - , EC .4 44（2）如图

3、2,过点 D作DM LAB, DNXAC,垂足分别为 M、N,那么 DM、DN是 ABC的两条中位线， DM = 4, DN=3.由/ PDQ = 90 , / MDN = 90 ,可得/ PDM =Z QDN .因此 PDMA QDN .QN DN 3所以 PM DM 4 .所以 QN -PM , PM -QN .3 1944PM=5.如图3,当BP=2, P在BM上时，PM = 1.33此时 QN 3 PM 3 .所以 CQ CN QN44如图4,当BP=2, P在MB的延长线上时，31515 31此时 qn PM .所以 CQ CN QN 4 DNDM444 4（3）如图 5,如图 2,

4、在 Rt PDQ 中，tan QPD QD PD，BA 3在 RtABC 中，tan C BA 3.所以/QPD = /C.CA 4由/ PDQ = 90 , / CDE=90 ,可得/ PDF = / CDQ.因此 PDFA CDQ .当 PDF是等腰三角形时， CDQ也是等腰三角形.如图 5,当 CQ = CD = 5 时，QN = CQ- CN=5-4= 1 （如图 3 所示）.44 一4 5此时 PM -QN .所以 BP BM PM 3 -.333 3如图6,当QC=QD时，由cosC CH,可得CQ 勺4 卷.CQ2 5825 7所以QN = CN-CQ= 4 y :（如图2所示）

5、.47 7 25此时 PM -QN .所以 BP BM PM 3 .366 6不存在 DP = DF的情况.这是因为/ DFP Z DQPZ DPQ （如图5,图6所示）.图5图6考点伸展：如图6,当 CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三25角形，PB = PD.在 BDP中可以直接求解 BP 256二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题4例2: (2008年河南省中考第 23题)如图1,直线y x 4和x轴、y轴的交点分别为 B、C,点3A的坐标是(-2, 0).(1)试说明 ABC是等腰三角形;(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点 N从点B出发沿

6、线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒 1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设M运动t秒时, MON的面积为S.求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当 MON为直角三角形时，求t的值.思路点拨:1 .第(1)题说明 ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点.2 .不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示 OM边上的高都是相同的，用含有 式子表示OM要分类讨论.3 .将S= 4代入对应的函数解析式，解关于 t的方程.4 .分类讨论 MON为直角三角形，

7、不存在/ ONM =90的可能. 解答：4(1)直线y x 4与x轴的交点为 B (3, 0)、与y轴的交点C (0, 4). 3RtBOC 中，OB=3, OC = 4,所以 BC= 5.点 A 的坐标是(-2, 0),所以 BA = 5.因此BC=BA,所以 ABC是等腰三角形.(2)如图2,图3,过点N作NHLAB,垂足为H.44在 RtABNH 中，BN = t, sin B 所以 NHt .55如图2,当M在AO上时，OM = 2t,此时-1-14224SOMNH(2t)ttt.定义域为0vtw2.22555如图3,当M在OB上时，OM = t2,此时c 1八S OM NH2142o

8、4(t2)ttt.te乂域为2 Vtw5.25554t 5解得t, 2布，t2 2布(舍去负值)因此，当点 M在线段OB上运动时，存在 S= 4的情形，此时t 2 J11.3如图 4,当/ OMN = 90 时，在 RtABNM 中，BN = t, BM 5 t , cosB 5，5 t 325所以,解得t .t 58如图5,当/ OMN = 90时，N与C重合，t 5 .不存在/ ONM =90的可能.t = 3; 25所以，当t 或者t 5时， MON为直角三角形.考点伸展：图6三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例3: （2010年山西省中考第 26题）在直角梯形OABC 中，

9、CB/OA, /COA=90 , CB=3, OA =如图 7,当 MNAC 时，t=2.5.6, BA= 3而.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段 OC、OB上的点，OD = 5, OE=2EB,直线 DE交x轴于点F.求 直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在 x轴上方的平面内是否存在另一点 N,使以0、 D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2思路点拨：1.第（1）题和第（2）题蕴含了 0B与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计

10、 算基础.2 .讨论菱形要进行两次 （两级）分类，先按照DO为边和对角线分类， 再进行二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边.解答：(1)如图2,作BH，x轴，垂足为 H,那么四边形 BCOH为矩形，OH = CB=3.在RtAABH中，AH = 3, BA= 3娓,所以BH = 6.因此点B的坐标为(3,6).一2-2. _(2)因为 OE = 2EB,所以Xe Xb2,yEy4, E(2,4).33一一，一 b 5,1设直线DE的解析式为y= kx+ b,代入D(0,5), E(2,4)，得解得k _ , b 5 .所2kb 4.2，1以直线DE的解析式为y -x 5.21(3)由 y -

11、x 5,知直线 DE 与 x轴交于点 F(10,0), OF= 10, DF = 545 . 2如图3,当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点.此时点M的坐标为(5, 5),点N的坐标为(一5,5). 22如图4,当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点 N的坐标为(4,8).如图5,当DO、DM为菱形的邻边时， NO = 5,延长 MN交x轴于P.r NP PO NO由 NPO s DOF ,得-NP PO NO DO OF DF 门口 NP即5PO1055.5解得NP图3图4考点伸展如果第(3)题没有限定点 N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图

12、6的情形.四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4: （2013年苏州中考28题）如图，点 O为矩形 ABCD的对称中心，AB=10cm, BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C （即点F与点C重合）时， 三个点随之停止运动.在运动过程中，4EBF关于直线EF的对称图形是 AEBF.设点E、F、G运动的时间为t （单位：s）.（1）当t=s时，四边形 EBFB为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点 F, C, G为顶点的三

13、角形相似，求 t的值；（3）是否存在实数t,使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.D AD思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到 BE=BF,列一元一次方程求解即可；（2） 4EBF与4FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题.假设存在，则可以分别求出在不同条件下的 t值，它们互相矛盾，所以不存在.解答：（1）若四边形EBFB为正方形，则 BE=BF ,即：10- t=3t,解得t=2.5;（2）分两种情况，讨论如下： 若EBFsfcg,则有理即I1二3t 解得：t=2.8； 反 cq |12-31 1.51 若EBFsGCF,则有丝茶

14、，即,解得：t=-14-2屈（不合题意，舍去）0G rC * 5t 12 -或t=-14+2巡网.，当1=2.8$或t= （- 14+R1狗）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点 F,C, G为顶点的三角形相似.（3）假设存在实数t,使得点B与点O重合.如图，过点。作OMLBC于点M,则在RtAOFM中， OF=BF=3t, FM=1BCBF=63t, OM=5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：52+ （63t） 2= （3t） 2解得：tM ；3S过点。作 ONAB 于点 N,则在 RtOEN 中，OE=BE=10 t, EN=BE BN=10 t5=5 t, ON=6,由勾股

15、定理得：ON2+EN2=OE2,即：62+(5-t)2=(10-t)2解得：t=3.9.=旦13.9，不存在实36数t,使得点B与点O重合.考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答.第(2)问中，需要分类讨论,避免漏解；第(3)问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在.拓展练习：1、如图 1,梯形 ABCD 中，AD / BC, / B=90 , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开

16、始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P, Q分别从A, C同时出发，设移动时间为 t秒。当t=时，四边形是平行四边形;当t=时，四边形是等腰梯形(1题图)2、如图2,正方形 ABCD的边长为4, 则DN+MN的最小值为。3、如图，在RtABC中,备用图点M在边DC上，且DM=1 ,N为对角线AC上任意一点,(3题图)ACB 90。， B 60。，BC 2 .点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点。作逆时针旋转，交AB边于点D .过点C作CE / AB交直线l于点E ,设直线l的旋转角为(1)当 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时 AD的长为当 度时，四边形EDB

17、C是直角梯形，此时 AD的长为(2)当90时，判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由.4、在 ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 ADMN 于 D, BE，MN 于 E.(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=AD-BE ;当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明5、数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCO正方形，点E是边BC的中点. AEF 900,且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的

18、中点 M,连接 ME则 Ah=EG易证 AME ECF ,所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的 任意一点”，其它条件不变，那么结论 AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除 C点外)的任意一点，其他条件不变，结论 “AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.6、如图，射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点，AB=5且A到射线MB的距

19、离为3,动点P从M沿 射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设 P的运动时间为t.求(1) PAB为等腰三角形的t值；(2) PAB为直角三角形的t值；(3) 若AB=5且/ABM=45 ,其他条件不变，直接写出PAB为直角三角形的t值。AE作EF / BC交CD于点7、如图1,在等腰梯形ABCD中，AD H BC, E是AB的中点，过点F . AB 4, BC 6, /B 60 .求：（1）求点 E 到 BC 的距离;（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M ,过M作MN / AB交折线EADC于点N ,连结pN ,设EP x.当点N在线段AD上时（如图2）, APMN

20、的形状是否发生改变？若不变，求出4PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,9是否存在点P ,使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向 A点运动若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由;若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 BPD与 CQP全等?（2）若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿BFEFB图4 （备用

21、）图5 （备用）8、如图，已知ABC中，AB AC10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点. ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC 的哪条边上相遇?ADEFNADe/pf图1M图3CAD（第25题）aDCE APFADBCC BBCM图2(8题图)(9题图)9、如图所示，在菱形 ABCD中，AB=4, /BAD=120, 4AEF为正三角形，点 E、F分别在菱形的 边BC. CD上滑动，且 E、F不与B. C. D重合.(1)证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF;(2)当点E、F在BC. CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和 CEF的面积是否发生变

22、化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.10、如图，在 4AOB 中，/AOB=90 , OA=OB=6 , C 为 OB 上一点，射线 CDLOB 交 AB 于点 D, OC=2 .点P从点A出发以每秒 6个单位长度的速度沿 AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个 单位长度的速度沿 CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点 P到达到点B时停止运动，点 Q也随 之停止.过点P作PE OA于点E, PFLOB于点F,得到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等 腰直角三角形 QMN ,斜边MN / OB,且MN=QC .设运动时间为t (单位：秒).(1)求t=1时FC的长度.(

23、2)求MN=PF时t的值.(3)当4QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式.(4)直接写出4QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时 t的值.211、解：(1)要使四边形 PQCD为平行四边形，则 PD=CQ, AD=18cm ,即18-t=2t ,解得：t=6;(2)设经过ts,四边形PQCD是等腰梯形.过Q点作QEXAD ,过D点作DF, BC,二四边形PQCD是等腰梯形，PQ=DC .又. AD/BC, / B=90 , AB=EQ=DF . /.A EQPA FDC. . FC=EP=BC-AD=21-18=3 ,又AE=BQ=21-2t ,

24、EP=t-AE , . EP=AP-AE=t- (21-2t) =3.得：t=8.经过8s,四边形PQCD是等腰梯形.2、5; 3、解：(1) 30, 1 ; 60, 1.5;(2)当=900时，四边形 EDBC是菱形.一/a =/ACB=900,BC/ED. / CE/AB,二.四边形 EDBC 是平行四边形在 RtAABC 中，/ ACB=900, / B=600,BC=2,A=300. .AB=4,AC=2 由.AO=2=6.在 RtAOD 中，Z A=300,AD=2.BD=2. BD=BC.又四边形 EDBC是平行四边形,四边形EDBC是菱形4、解：(1). /ACD= /ACB=9

25、0 / CAD+ / ACD=90 / BCE+ / ACD=90，/CAD=/BCE AC=BC /.A ADC CEB /A ADCA CEB CE=AD , CD=BE . DE=CE+CD=AD+BE(2) / ADC= / CEB= / ACB=90/ ACD= / CBE 又 ; AC=BCACDACBE CE=AD , CD=BEDE=CE-CD=AD-BE(3)当 MN 旋转至U图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)/ ADC= / CEB= / ACB=90= / ACD= / CBE, 又 AC=BC ,DE=CD-CE=BE-

26、AD. ACD CBE, AD=CE , CD=BE , 5、解：(1)正确.证明：在AME ECF BAE(2)正确.AB上取 135 135 .CEF .点M ,使QCFAMEAM是ECFEC外. QAEB AMEABCF (ASQ.分BAEAEBM线90EFAEBBME 45DCF 45CEF 90证明NE .AD II(ASA).在BNBABEBEAEDAE EF .长线上取一N PCE 45 BEA .NAECEFANABCDCE是正方形 ANEAECF6、解：解：（1）作 AEBM 于 E。贝U AE=3 , AB=5 , . BE=，（ AB2-AE2） =4 MP=t, BP=

27、9-t 若 AP=AB,，9-t=2t=1若 PA=PB, . . BP/（1/2AB尸AB/BP .（ 9-t）2=1/2*5*5 . . t=9-，5/2（9+，5/2去）若 BA=BP ,|9-t|=5，t=4、14. 综上，t=1、4、9-V5/2 14（2）若/ APB=90 . . 9-t=4 . . t=5若 / PAB=90 BP/BA=BA/BE . . （9-t）/5=5/4 . . t=11/4. 综上，t=5、11/4。1BE AB 2.7、解：(1)如图1,过点E作EG BC于点G为AB的中点，2在 RtEBG 中，/B 60,/ BEG 30 .BG - BE 1,

28、 EG 22 12、3.2即点E到BC的距离为瓜(2)当点N在线段AD上运动时， 4PMN的形状不发生改变. PM EF, EG EF, PM / EG. EF / BC,EP GM , PM EG 有同理 MN AB 4.如图2,过点P作PH MN于H , MN / AB, / NMC ZB 60 , / PMH 30 . PHCMH PM gsos30在 RtPNH 中，PN3-3 5则 NH MN MH 4 -22 2,NH2 PH2 , 53.7.22APMN 的周长=PMPN MN .3 . 7 4.C当点N在线段DC上运动时， APMN的形状发生改变，但 4MNC恒为等边三角形.当

29、PM PN时，如图3,作PR MN于R,则MR NR. 3类似，MR 3. MN 2MR 3.4MNC 是等边三角形，MC MN 3.2此时，x EP GM BC BG MC 6 1 3 2.当MP MN时，如图4,这日MC MN MP 底此时，x EP GM 6 1 4 5 P.当 NP NM 时，如图 5, /NPM Z PMN 30 , 则 / PMN 120,又/MNC 60, Z PNM /MNC 180. 因此点P与F重合，zPMC为直角三角形. MC PM gtan30 1.此时，x EP GM 6 114.综上所述，当x 2或4或5旧时，ZXPMN为等腰三角形.8、解：解：(1

30、)t 1 秒，BP CQ 3 1 3厘米,AB 10厘米，点D为AB的中点，BD 5厘米.又.PC BC BP, BC 8厘米,PC 8 3 5 厘米，,PC BD又 AB AC ,B C . . BPDKCQP,vP vQ ,. BP CQBP PC 4, CQ BD 5 BPD ACQP，点P,点Q运动的时间tBP 433秒,vQCQ5 15443厘米/秒。(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,15-x由题意，得43x 2 10 x,解得803秒.，点80P共运动了 33 80厘米.28 24,，点P、点Q在AB边上相遇,80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、解：（1）证明：如

31、图，连接 AC,二,四边形 ABCD 为菱形，/ BAD =120 , / BAE+/ EAC=60 ,/ FAC+/EAC=60 ,BAE=/FAC。/ Z BAD=120 ,，/ABF=60。 ABC 和 ACD 为等边三角形。ACF=60,AC=AB。，/ABE=/AFC。.在 ABE 和 4ACF 中，/ BAE= / FAC, AB=AC,/ABE=/AFC,ABEA ACF (ASA)。，BE=CF。(2)四边形AECF的面积不变， CEF的面积发生变化。理由如下：由(1)得 ABEA ACF,贝U SaABE=SaACF o. S 四边形 AECF=SaAEC+SaACF=SaAEC+SaABE=SaABC,是定值。作 AH，BC 于 H 点， 则BH=2, Sg边形a