2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析新人教A版

1、- 1 -第第 7 7 节节函数的图象函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象关于x轴对称yf(x)的图象；yf(x)的图象关于y轴对称yf(x)的

2、图象；yf(x)的图象关于原点对称yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象关于直线yx对称ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x) 纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax).- 2 -yf(x) 横坐标不变各点纵坐标变为原来的a(a0)倍yaf(x).(4)翻折变换yf(x)的图象 x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y|f(x)|的图象；yf(x)的图象 y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象.常用结论与微点提醒1.记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y

3、2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是 1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同.()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0 且a1)的图象相同.()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数yf(x)满足f(1x

4、)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1 对称.()解析(1)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两者图象不同，(1)错.(2)中两函数当a1 时，yaf(x)与yf(ax)是由yf(x)分别进行振幅与周期变换得到，两图象不同，(2)错.(3)yf(x)与yf(x)图象关于x轴对称，(3)错.(4)中，f(2x)f1(1x)f1(1x)f(x)，所以yf(x)的图象关于直线x1对称，(4)正确.- 3 -答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修 1p24a7 改编)下列图象是函数yx2，x0，x1，x0的图象的是()解析其图象是由yx2图象中x0，排除

5、b，c，只有 d 满足.答案d6.(2020兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)log2f(x)的定义域是_.解析当f(x)0 时，函数g(x)log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0 时，x(2，8.答案(2，8考点一作函数的图象【例 1】 作出下列函数的图象：(1)y12|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)yx22|x|1.解(1)先作出y12x的图象，保留y12x图象中x0 的部分，再作出y12x的图象中x0- 5 -部分关于y轴的对称部分，即得y12|x|的图象，如图实线部分.(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的

6、部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)yx22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.规律方法作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练 1】 分别作出下列函数的图象：(1)y|lgx|；(2)ysin |x|.解(1)先作出函数

7、ylgx的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y|lgx|的图象，如图实线部分.(2)当x0 时，ysin|x|与ysinx的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.考点二函数图象的辨识【例 2】 (1)(2019全国卷)函数y2x32x2x在6，6的图象大致为()- 6 -(2)(2020深圳模拟)函数f(x)1x2lg|x|的图象大致为()解析(1)因为yf(x)2x32x2x，x6，6，所以f(x)2（x）32x2x2x32x2xf(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项 c.当x4 时，y243242412816116(7，8)，排除 a，d

8、项，b 正确.(2)由1x20，|x|0 且|x|1，得1x0 或 0 x1，所以f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.又f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除 a；当 0 x1 时，lg |x|0，f(x)0 且x0 时，f(x)0，排除 d，只有 b 项符合.答案(1)b(2)b规律方法1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特

9、征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练 2】 (1)(2020武汉调研)函数f(x)3x3xx4的大致图象为()- 7 -(2)(一题多解)(2017全国卷)函数y1xsinxx2的部分图象大致为()解析(1)易知定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.f(x)3x3x（x）43x3xx4f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除 a，f(1)313830，排除 d，当x时，3x，则f(x)，排除 c，选项 b 符合.(2)法一易知g(x)xsinxx2为奇函数，故y1xsinxx2的图象关于点(0，1)对称，排除 c；当x(0，1)时，y0，排除 a；当x时，y1，排

10、除 b，选项 d 满足.法二当x1 时，f(1)11sin 12sin 12，排除 a，c；又当x时，y，排除 b，而 d 满足.答案(1)b(2)d考点三函数图象的应用多维探究角度 1研究函数的性质【例 31】 已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()a.f(x)是偶函数，递增区间是(0，)b.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)c.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)- 8 -d.f(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)x22x，x0，x22x，x0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函

11、数f(x)为奇函数，且在(1，1)上是递减的.答案c角度 2函数图象在不等式中的应用【例 32】 (1)(2020哈尔滨模拟)已知函数f(x)2|x|，若关于x的不等式f(x)x2xm的解集中有且仅有 1 个整数，则实数m的取值范围为()a.3，1)b.(3，1)c.2，1)d.(2，1)(2)函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx0 的解集为_.解析(1)在同一平面直角坐标系中作出函数yf(x)，yx2xm的图象如图所示.由图可知，不等式f(x)x2xm的解集中的整数解为x0，故f（0）00m，f（1）11m，解得2m0.- 9 -当x2

12、，4时，ycosx0.结合yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x2时，f（x）cosx0.又函数yf（x）cosx为偶函数，所以在4，0上，f（x）cosx0 的解集为2，1，所以f（x）cosx0，若只存在两个整数x，使得f(x)0，则a的取值范围是_.解析f(x)|x22x|axa0，则|x22x|axa，分别画出y|x22x|与ya(x1)的图象，如图所示.只存在两个整数x，使得f(x)0，当x1 时，|122|1，令 2a1，解得a12，此时有 2 个整数使f(x)0，即x0 或x1，结合图象可得a的取值范围为0，12 .答案0，12规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或

13、易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.- 10 -【训练 3】 (1)(角度 1)已知函数f(x)2x1，则下列结论正确的是()a.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称b.函数f(x)在(，1)上是增函数c.函数f(x)的图象关于直线x1 对称d.函数f(x)的图

14、象上至少存在两点a，b，使得直线abx轴(2)(角度 2)已知函数yf(x)的图象是如图所示的折线acb，且函数g(x)log2(x1)，则不等式f(x)g(x)的解集是()a.x|1x0b.x|1x1c.x|1x1d.x|1x2(3)(角度 3)已知函数f(x)kx1，g(x)ex1(1x1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点m，n，使得点m，n关于直线y1 对称，则实数k的取值范围是()a.1e，b.e，1ec.e，)d.(，e1e，解析(1)由题知，函数f(x)2x1的图象是由函数y2x的图象向右平移 1 个单位长度得到的，可得函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，a 正确；

15、函数f(x)在(，1)上是减函数，b 错误；易知函数f(x)2x1的图象不关于直线x1 对称，c 错误；由函数f(x)的单调性及函数f(x)的图象，可知函数f(x)的图象上不存在两点a，b，使得直线abx轴，d 错误.(2)令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图，- 11 -由xy2，ylog2（x1） ，得x1，y1.结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|10 时，f(x)e|x|x0，这- 12 -与函数的图象不符， 因此只有 c 项f(x)ln |x|x可能适合.有兴趣的同学可研究函数的性质作出判断(略).答案c类型 2利用函数的图象研究函数的性质对于已知

16、或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.【例 2】 已知f(x)2x1，g(x)1x2， 规定： 当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|； 当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()a.有最小值1，最大值 1b.有最大值 1，无最小值c.有最小值1，无最大值d.有最大值1，无最小值解析画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于a，b两点.由“规定”，在a，b两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在a，b之间，|f(x)|b)的图象如图所示，

17、则函数g(x)axb的图象是()- 14 -解析由函数f(x)的图象知a1，1b0.因此选项 c 满足要求.答案c2.(2020马鞍山模拟)已知定义在 r r 上的函数f(x)，g(x)满足g(x)f(|x1|)，则函数yg(x)的图象关于()a.直线x1 对称b.直线x1 对称c.原点对称d.y轴对称解析因为yf(|x|)的图象关于y轴对称，yf(|x|)的图象向右平移 1 个单位可得yf(|x1|)的图象，所以函数yg(x)的图象关于直线x1 对称.答案b3.(2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()解析设f(x)2|x|sin 2x，其定义域为 r r，又f(x)2|x

18、|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函数， 故排除选项a， b.令f(x)0， 得sin 2x0， 2xk(kz z)， 即xk2(kz z)，排除 c，只有 d 正确.- 15 -答案d4.(2020兰州模拟)若函数yf(x)的图象的一部分如图(1)所示， 则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是()a.yf2x12b.yf(2x1)c.yf12x12d.yf12x1解析函数f(x)的图象先整体往右平移 1 个单位，得到yf(x1)的图象，再将所有点的横坐标压缩为原来的12，得到yf(2x1)的图象.答案b5.若函数f(x)axb，x1，ln（xa） ，x1的图象如图所示，则f(3

19、)等于()a.12b.54c.1d.2解析由图象知ln（a1）0，ba3，得a2，b5.f(x)2x5，x1，ln（x2） ，x1.故f(3)561.答案c6.已知函数f(2x1)是奇函数，则使函数yf(2x)的图象成中心对称的点为()a.(1，0)b.(1，0)c.12，0d.12，0解析f(2x1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x1)- 16 -的图象向右平移12个单位得到的，故关于点12，0成中心对称.答案c7.(2020衡水中学调研)函数y(2x1)ex的图象大致是()解析当x时，y(2x1)ex0，则 c、d 错误.因为y(2x1)ex，所以当x

20、12时，y0 时，设解析式为ya(x2)21(a0).图象过点(4，0)，0a(42)21，得a14，y14(x2)21.答案f(x)x1，1x0，14（x2）21，x011.(2020福州质检)设函数yf(x)的图象与y13xa的图象关于直线yx对称，且f(3)f13 4，则实数a_.解析设(x，y)是yf(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y13xa的图象上.x13ya，则ylog13xa.因此f(x)log13xa.由f(3)f13 4，得112a4，a2.答案2- 18 -12.已知函数f(x)在 r r 上单调且其部分图象如图所示， 若不等式2f(xt)4 的解集为(1，2)，则实数t的值为_.解析由图象可知不等式2f(xt)4，即f(3)f(xt)f(0).又yf(x)在 r r 上单调递减，0 xt0，且f(5)52e51，所以排除 c，d，选 a.答案a14.若直角坐标系内a，b两点满足：(1)点a，b都在f(x)的图