第3讲-四中真题(尖子班)解法

1、第3讲 四中真题西城综合模拟（尖子班）第一部分 北京四中历年真题展示一、填空1、用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下92个小正方体(见右图)。留下的多面体的表面积是 。分析本题是整体化思考的经典范例。一是从整体考虑拆之前和拆之后表面积的变化关系，二是本题可以用三视图法。由于大长方体的长、宽、高都大于2，否则拆后剩下的图形与题意不符。用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，体积就是140，把140分解成3个大于2的自然数的乘积，只有一种情况140754，所以大长方体的长、宽、高分别是7，5，4；表面积是(454757)2166。拆下沿棱的小正方体后

2、，对比原来的表面积，相当于每个面减少4个111的小正方形，所以留下的多面体的表面积是: 166-46142。2、七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入 。解法1从整体出发，既然知道两两相邻圆圈中的数之和，就很容易得到这7个圆圈中的数相加的和为（10691281114）235。而除了A以外，其他六个圆圈中数的和等于6121129，所以A35-29=6。解法2第一步与上面的解法相同， 先算出7个圆圈中的数相加的和为（10691281114）235。注意到9+8+I0+14=41，这个和41实际上等于A被计算两遍后与其它六个数的和，所以A的值为4

3、1-35=6。3、从时钟指向4点整开始，再经过 分钟，时针、分针正好第一次成直角。解法4点整时，时针、分针相差20个小格；时针、分针成直角时，两者恰好相差15个小格，所以第一次成直角时分针需要追上时针20155个小格。分针的速度为“l小格/分钟”，而时针的速度为“个小格/分钟”， 所以再经过（2015）（1）5分钟，时针、分针正好第一次成直角。 4、一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的l.5倍，去时每小时比回来时慢12公里。这辆汽车往返共行驶了 公里。解法“去时所用时间是回来的l.5倍”，把回来的时间看作1份，则去时所用的时间是1.5份，所以回来的时间为20（

4、1.51)8小时，去时所用时间为81.5=12小时。“去时所用时间是回来的l.5倍”，往返路程不变，路程相同，速度和时间成反比例。V去V回11.523V去12（32）224千米/时往返路程为24122=576(千米)。 答：这辆汽车往返共行驶了576公里。推荐精选5、某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是 。解法“某个自然数被187除余52，被188除也余52”，这个自然数应该是187和188的公倍数再加上52，可以设这个数为187188n52。 187188n521711942n521794（112）n521794n2252 显然，1794n22是22

5、的倍数，因此这个数被22除的余数与52被22除的余数相同，522228，所以这个自然数被22除的余数是8。二、解答题。6、已知r满足rrrr546，求100r。解法等是左边有911873项。因为、都小于1，所以每一项的得数都与r或r1相同。 是取整数的意思。因为546737，773546873 （773511；873584）。所以这73项，前面的若干项是7，后面的若干项是8。根据“鸡兔同笼”的解法，（ 873546）（87）38，前38项的整数部分是7，后35项的整数部分是8。即 r8 且r8 解上面的2个不等式，得r0.568 且r0.578 合并在一起考虑 7.43 r 7.44 7431

6、00 r744所以， 100r7437、下面有三组数：2，1.5，12 0.7，1.55 ，9 ，1.6，8 从每组数中取出一个数，把取出的三个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的和是多少?解法先从简单情况想起，寻找规律。假如有两组数，（a、b）、（c、d、e）。从每组数中取出一个数，把取出的2个数相乘，那么所有不同取法的2个数乘积的和是多少呢？ （ab）（cde）a ca da eb cb db e 将等式左边用乘法分配律展开得到的多项式就是所有不同取法的2个数乘积的和。 （21.512）（0.71.55）（9 1.68） 162.2520 720 说明：将（21.512）（0.71.55

7、）（9 1.68）展开，得到的多项式就是所有不同取法的三个数乘积的和。推荐精选8、22名家长(爸爸或妈妈，他们都不是老师。家长和老师共22人)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2入，至少有一名男老师，那么在这22人中，共有爸爸多少人?解法家长和老师共22人，家长比老师多，所以家长多于11人，家长最少是12人。老师最多不超过221210人。妈妈和爸爸和起来最少是12人，妈妈比爸爸多，所以妈妈最少是17人；女老师比妈妈多2人，所以女老师最少是72=9(人)。女老师最少是9人，而老师最多不超过10人，因此男老师至多l人，但题中指出，至少有1名男老师，

8、所以男老师就是l人，女老师不多于9人，也不少于9人，恰好是9人，而妈妈有7人，那么爸爸人数是：22-9-l-7=5(人),即在这22人中，爸爸有5人。小结:本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出不等式的范围。正反结合讨论的方法也有体现。9、某工厂金工车间有77个工人。每个工人平均每天可以加工甲种零件5个，或乙种零件4个，或丙种零件3个。已知3个甲种零件、1个乙种零件和9个丙种零件恰好配成一套。问：应安排生产甲、乙、丙三种零件各多少人，才能使生产的三种零件恰好配成套?解法首先考虑生产l套零件，完成甲、乙、丙三种零件各需要多少名工人。生产甲种零件的工人需要35人，生产乙种零件的工人需要

9、l4人，生产丙种零件的工人需要933人，所以生产1套零件甲、乙、丙三种零件的工人人数之比为:3=12560。当77名工人一起生产时，显然也应该按此比例来生产，所以生产甲种零件的工人需要77=12人，生产乙种零件的工人需要77=5人，生产丙种零件的工人需要77=60人。10、一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前l小时到达；如果原速行驶100千米后，再将车速提高30%，也可比原定时间提前l小时到达。求甲、乙两地之间的距离。解法题目给出的距离信息只有lO0千米这一条，还需要找出驾车行驶100千米的时间以及行驶全程的总时间才能求出甲、乙两地距离。车速提高20%，那么前后两次的

10、速度比为1（120%）56。因为前后两次所行路程相同，路程相同时间和速度成反比例，所以前后两次所用的时间比为65，提速之后时间减少l小时，而恰好减少1份，由此可求出原计划从甲地到乙地的时间为：l（65）66（小时），而汽车提速后从甲地到乙地只用5小时。而这辆车如果提速30%，提速前后的速度比为1（130%）I013，那么这辆车行驶相同路程前后两次所花的时间为1310。原来13小时的路程，提速30%后只用10小时就行了，节省了13103小时，提速之后每行使10小时就可以比原来节省3小时，那么现在是“原速行驶100千米后，再将车速提高30%，也可比原定时间提前l小时到达”，则提速后行驶的时间应该是

11、1小时，所以以原速行驶100千米的时间就是6小时。这辆车原来的速度为10060千米/小时，而原计划从甲地到乙地的时间是6小时，所以推荐精选甲、乙两地之间的距离为:606=360(千米)。第二部分 学而思内部小升初全真模拟测试卷一、填空1、=+，请将2、4、6、8分别填入算式左端的四个方框内，将I、3、5、7分别填入右端的四个方框内，使之成为正确的等式。那么此式两端的计算结果是多少?解法等号左边只有一个除号，右边有两个运算符号，显然等式左边是解题突破口。，考虑2、4、6、8这4个数字哪一个可以用作除数。如果2作除数，则所得的商最少是4682234，但等式右边无论如何都不可能凑成大于200的数；

12、如果6作除数，由于2+4+8=14，14不能被3整除，2、4、8三个数字无论怎样排列组成的三位数都不能被6整除，6也不能作除数，所以除数只能是4或8。继续分析4和8作除数的情况。一共可以列举出可能的除法算式：2684=67； 2648=33； 6248=78；6284=157。根据奇偶数的性质，等式右边是3个奇数相加减结果为奇数，所以左边的除法算式计算结果也是奇数，因此6248=78可以被排除。而右边无论如何不会凑出157，所以6284=157也被排除。最后用l、3、5、7构造67和33，通过尝试能够构造出37-5+l=33，但67无法构造出来，所以此式两端的计算结果是33。2、从1到100这

13、100个自然数中，取出两个数，要使它们的和大于100，则共有 种不同的取法。解法设每次所取的两个数是和b，且b，保证b100。当l00时， b 可以取991的所有自然数，有99种取法；当99时， b 可以取982的所有自然数，有97种取法；当98时， b 可以取973的所有自然数，有95种取法；当97时， b 可以取964的所有自然数，有93种取法；当96时， b 可以取955的所有自然数，有91种取法； 当52时， b 可以取5149的3个自然数，有3种取法；当51时， b 可以取50这1个自然数，有1种取法；所以，共有1357997995022500种不同的取法。3、在足球表面有五边形和六

14、边形图案(见右图)，每个五边形与5个六边形相连，每个六边形与3个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是 。解法设五边形有个，六边形有b个。 每个五边形有5条边，个五边形共有5条边。这5条边都与六边形的边相邻。 每个六边形有6条边，而每个六边形有3条边与自己的同类相邻，被浪费掉了，其余的633条边才与五边形相邻。也就是说，每个六边形有3条边与五边形相邻，b个六边形共有3b条边与五边形相邻。于是，我们可以列出这样的等式： 5（63）b 53b b35推荐精选 答：五边形和六边形的最简整数比是35。4、新年联欢会上，六年级一班的21名同学参加猜谜活动，他们一共猜对了44条谜语，那么21名同学中

15、，至少有 人猜对的谜语一样多。解法若猜对的条数各不相同，则012345678844，这个等式已经涉及10名同学，则有2110112名同学猜对0条，也就是说有12人猜对的谜语一样多。若猜对0条、1条、2条、的各有2人，则00112233445566244，另外还有21277人猜对0条，加上开始的2人，共有9人猜对0条，9人猜对的谜语一样多。若猜对0条、1条、2条、的各有4人，则0000111122223333444440，这个等式已经涉及到4520人，还有1个人，还有4条谜语，而00001111222233334444444，此时有5人猜对的谜语一样多，这5个人都猜对了4条。用反证法证明：假设至

16、多有4人猜对的谜语一样多，由于共有21人，那么这21人猜对的谜语的总数至少为000011112222333344444545条，与题意不符，所以假设不成立，我们前面提出的结论正确。 答：那么21名同学中，至少有5人猜对的谜语一样多。二、解答5、从1100中，取两个不同的数，使其和是9的倍数，有多少种不同的取法?解法从除以9的余数考虑，两个数的和是9的倍数，那么这两个数除以9的佘数之和为0或9。通过计算，得出1100这100个数中，除以9余l的数有112个；除以9余余数为28的各有ll个，除以9余数为0的也有ll个。要使余数的和为0或9，则佘l的要与佘8的相加，佘2的要与余7的相加，余3的要与余

17、6的相加，余4的要与余5的相加，余0的彼此相加，所以共有1211+11ll3+=550种。 答：每次取两个不同的数，使其和是9的倍数，有550种不同的取法。6、2个蟹将和4个虾兵打扫龙宫的，8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫。现在需清扫整个龙宫，那么单让蟹将去干与单让虾兵去干进行比较，虾兵比蟹将要多用多少个?解法设1个蟹将能打扫龙宫的比例为，1个虾兵能打扫龙宫的比例为y。 24y 解方程组得 810y1 y 如果单让蟹将去干需要112（个），如果单让虾兵去干需要130（个）。虾兵比蟹将多用了301218（个）。7、一条船往返于甲、乙两港之间。已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆行与顺

18、行所用时间比为21。一天，因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，推荐精选甲、乙两港相距多少千米？解法 平时：平时逆行与顺行所用时间比为21。因为路程相同，速度与时间成反比例，所以平时的逆水速度和顺水速度之比为12。设平时的水流速度为千米/小时。(8)(8)=l2，解得千米/时。暴雨后：水流速度为2千米/时。顺水速度为8千米/时。逆水速度为8千米/时。暴雨后这艘船顺水和逆水航行所用时间的比是15，而这条船往返共用9小时，可得暴雨后顺水航行时间为9小时，甲乙两港之间的距离为20千米。8、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且A DAB，BEBC，CFCA，求三角形DEF的面积。解法

19、三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比例关系不容易直接求出，但是三角形ABC中其它3个三角形的面积却可以根据“鸟头定理”求出来。由题意可知，BDAB，ECBC，AFAC。根据“鸟头定理”，可得SDBE SABCSABC； SEFCSABCSABC； SADFSABCSABC； 所以，SDEF1（1）9、所有的三位数(100999)中，除以18与33余数相同的数有多少个?解法除以18与33佘数相同的数，减去这个佘数后得到的数能被18和33整除，所以要找符合条件的数，首先应该找18和33的公倍数,18和33的最小公倍数是198，所以100999中18和33的公倍数一共有5个：198、396、5

20、94、792、990。由于这些三位数除以18的余数可以为0，l，2，17，共18种，所以前4个公倍数,每一个都对应18个符合条件的三位数，如l98对应的符合条件的数有l98、199、200、215。最后一个990对应的符合条件的数当中应该去除那些超过999的四位数，剩下10个符合条件的三位数（990999），所以符合条件的数一共有184+1082个。10、甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的，乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？推荐精选解法l设甲班没有参加的

21、是4人。乙班没有参加的有3y人。那么甲班参加的人数是y人,乙班参加的人数是x人由于两班人数相等，所以4yx3y， 可得32y，即xy=23。因此甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的4x3y89。故甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的。解法2列一元一次方程。假设两班人数都为“l”,设甲班参加的人数为，则甲班未参加的为（1），进而知道乙班参加的人数是。 甲班参加的人数为，则乙班未参加的人数是3，进而知道乙班参加的人数是13。 和13都表示乙班参加的人数，所以可以列出方程： 13 解得。 甲班未参加的为1；乙班未参加的为3，甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的。巩固精练1、某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有_人报名参