2021届高考数学统考第二轮专题复习微专题一数列与其他知识的综合学案理含解析

1、微专题一 数列与其他知识的综合微点1数列与新信息的综合含“新信息”背景的数列问题,常常有图表迁移、新运算、新概念、新情境等.此类问题有以下几个难点:一是对于新的概念与规则,学生在处理时会有一个熟悉的过程,不易抓住信息的关键部分并用于解题.二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,例如“求通项”“求和”,但因为新信息问题与新信息相关,所以要运用的知识隐藏得较深,不易让学生找到解题的方向.三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系,即前面问题的处理是为了给最后一问做好铺垫.1(1)2020全国卷0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2a

2、n满足ai0,1(i=1,2,),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an,c(k)=1mi=1maiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足c(k)15(k=1,2,3,4)的序列是()a.11010b.11011c.10001d.11001(2)图w1-1是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例数按日期顺序排列构成数列

3、an,an的前n项和为sn,则下列说法中正确的是()图w1-1a.数列an是递增数列b.数列sn是递增数列c.数列an的最大项是a11d.数列sn的最大项是s11微点2数列与函数的综合数列与函数的综合问题的解题策略:(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题;(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外要注意数学思想方法的应用,如函数与方程思想等.2(1)若数列an为等差数列,bn为等比数列,且满足a1+a2020=27,b1b2020=2,函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)且f(x)=ex,x0,2,

4、则fa1010+a10111+b1010b1011=()a.eb.e2c.e-1d.e9(2)已知数列an满足对任意nn*,an0,2,且a1=3,f(an+1)=f(an),其中f(x)=tanx,则使得sina1sina2sinak0,rn0,n=1,2,)逐个外切,且均与曲线y=x2相切,若r1=1,则a1=,rn=.图w1-2微点4数列与平面向量的综合4(1)如图w1-3,已知点e是平行四边形的边ab的中点,fn(nn*)为边bc上的一列点,连接afn交bd于gn,点gn满足gnd=an+1gna-2(2an+3)gne,其中数列an是首项为1的正项数列,sn是数列an的前n项和,则下

5、列结论正确的是()图w1-3a.a3=15b.数列an+3是等比数列c.an=4n-3d.sn=2n+1-n-2(2)设sn,tn分别为等差数列an,bn的前n项和,且sntn=3n+24n+5.设点a是直线bc外一点,点p是直线bc上一点,且ap=a1+a4b3ab+ac,则实数的值为()a.2825b.-325c.328d.-18251.已知函数f(x)=1-4x,x0,1+log3x,x0,在等差数列an中,a7=7,a9=11,则f(a8)=()a.1b.2c.3d.42.若数列an的首项a1=2,且点(an,an+1)在直线x-y=2上,则数列an的前n项和sn等于()a.3n-1b

6、.-n2+3nc.3n+1d.n2-3n3.在数列an中,a1=1,若op=(an+1,-1),oq=(1,an+2),且opoq,sn为数列an的前n项和,令bn=1sn+n,若数列bn的前n项和为tn,则tn=()a.nn+1b.n+1n+2c.n+2n+3d.n+3n+44.设函数f(x)是定义在(0,+)上的单调函数,且对于任意正数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,若一个各项均为正数的数列an满足f(sn)=f(an)+f(an+1)-1(nn*),其中sn是数列an的前n项和,令bn=1anan+1,数列bn的前n项和为tn,则t2020的值为()a.202

7、0b.12020c.20192020d.202020215.若数列an满足:存在正整数t,对于任意正整数n都有an+t=an成立,则称数列an为周期数列,周期为t.已知数列an满足a1=m(m0),an+1=an-1,an1,1an,01,使得an是周期为t的数列d.存在mq且m2,使得数列an是周期数列6.对于数列an,令pn=1n(a1+2a2+2n-1an)(nn*),则称pn为an的“伴随数列”.已知数列an的“伴随数列”pn的通项公式为pn=2n+1(nn*),记数列an-kn的前n项和为sn,若sns4对任意的正整数n恒成立,则实数k的取值范围为.7.我们把一系列向量ai(i=1,

8、2,n)按次序排列成一列,称为向量列,记作an.已知向量列an满足:a1=(1,1),an=(xn,yn)=12(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n2),设n表示向量an-1与an的夹角,若bn=n2n,对于任意正整数n,不等式1bn+1+1bn+2+1b2n12loga(1-2a)恒成立,则实数a的取值范围是.8.牛顿迭代法(newtonsmethod)又称为牛顿-拉夫逊方法(newton-raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图w1-4,设r是f(x)=0的根,选取x0作为r的初始近似值,过点(x0,f(x0)作曲线y=f(x)的切线l,l

9、与x轴的交点的横坐标x1=x0-f(x0)f(x0)(f(x0)0),称x1是r的一次近似值,过点(x1,f(x1)作曲线y=f(x)的切线,则该切线与x轴的交点的横坐标为x2=x1-f(x1)f(x1)(f(x1)0),称x2是r的二次近似值.重复以上过程,得到r的近似值序列.请你写出r的n+1次近似值与r的n次近似值的关系式.若f(x)=x2-2,取x0=1作为r的初始近似值,试求f(x)=0的一个根2的三次近似值(请用分数作答).图w1-4微专题一数列与其他知识的综合微点1例1(1)c(2)c解析(1)对于a选项,c(1)=15i=15aiai+1=15(1+0+0+0+0)=15,c(

10、2)=15i=15aiai+2=15(0+1+0+1+0)=2515,不满足题意;对于b选项,c(1)=15i=15aiai+1=15(1+0+0+1+1)=3515,不满足题意;对于c选项,c(1)=15i=15aiai+1=15(0+0+0+0+1)=15,c(2)=15i=15aiai+2=15(0+0+0+0+0)=0,c(3)=15i=15aiai+3=15(0+0+0+0+0)=0,c(4)=15i=15aiai+4=15(1+0+0+0+0)=15,满足题意;对于d选项,c(1)=15i=15aiai+1=15(1+0+0+0+1)=2515,不满足题意.故选c.(2)因为1月2

11、8日的新增确诊病例数小于1月27日的新增确诊病例数,即a7a8,所以an不是递增数列,所以选项a错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以s33=s34,所以数列sn不是递增数列,所以选项b错误;因为1月31日新增确诊病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列an的最大项是a11,所以选项c正确;数列sn的最大项是s35,所以选项d错误.故选c.微点2例2(1)a(2)298解析(1)因为数列an为等差数列,且a1+a2020=27,所以a1010+a1011=27.因为bn为等比数列,且b1b2020=2,所以b1010b1011=2,所以a1010+a10111+b10

12、10b1011=273=9.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,又f(x)=ex,x0,2,所以f(9)=f(24+1)=f(1)=e,即fa1010+a10111+b1010b1011=e.故选a.(2)f(x)=tanx=sinxcosx,f(x)=cos2x+sin2xcos2x=1+tan2x.f(an+1)=f(an),tanan+1=1+tan2an,即tan2an+1-tan2an=1,数列tan2an是首项为3,公差为1的等差数列,tanan=n+2.an0,2,sinan=n+2n+3,sina1sina2si

13、nak=344556k+2k+3=3k+3,由3k+3297,使得sina1sina2sinak0,an-an-1-1=0,即an-an-1=1,故数列an是以1为首项,1为公差的等差数列,an=1+1(n-1)=n,nn*,bn=1anan+1=1n(n+1),t2020=b1+b2+b2020=112+123+120202021=1-12+12-13+12020-12021=1-12021=20202021.故选d.5.d解析对于a,若a3=4,因为an+1=an-1,an1,1an,01时,a2-1=a3=4,解得a2=5,当a11时,a1-1=a2=5,解得a1=6,当0a11时,1a

14、1=a2=5,解得a1=15;当01时,a1-1=a2=14,解得a1=54,当0a11时,1a1=a2=14,解得a1=4,不合题意,舍去.故m可以取3个不同的值,故a中结论正确.对于b,若m=2,则a2=a1-1=2-1,a3=1a2=2+1,a4=a3-1=2,所以an+3=an,则数列an是周期为3的数列,故b中结论正确.对于c,d,先考虑数列an的周期性.如果a1=k+a,kn*,01,故c中结论正确.对于d,如果存在这样的m,那么由前面的分析知必有m=k+a,kn*,0a1,且a=-k+k2+42q,于是有k2+4q,这是不可能的,故d中结论错误.6.125,52解析由题意得a1+2a2+2n-1an=n2n+1,所以a1=122=4,a1+2a2+2n-2an-1=(n-1)2n(n2),由-得2n-1an=n2n+1-(n-1)2n(n2),所以an=2n+2(n2),当n=1时也满足上式,所以an=2n+2(nn*).因此数列an-kn的前n项和sn=12n(4-k+2n+2-kn)=12n(6-k+2n-kn),因为sns4对任意正整数n恒成立,所以2-k0,所以f(n)单调递增,所以f(n)min=f(1)=1,则112loga(1-2a).因为a0且a1,1-2a0,所以0aa2,解得-1-2a-1+2,故实数a的取值范围为(