(完整版)太原理工大学研究生期末考试组合数学答案

1、1. 填空（本题共 20 分，共 10 空，每空 2 分） 1） 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5 的棋盘上，要求每行每列只放 置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。 2 答案：5! C5 1200 2） 在（5a2a2+3a3）6 的展开式中，a/?a2?a33 的系数是 -81000。 52 ( 2) 33 8100答2!1!3! 3） 有 n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第 n 1 二组的最大数，共有n 2 1 种方案。 4） 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特 定引擎开始点火有 12 种方案。 答案.C3 C2

2、C2 12 5） 从 1 到 600 整数中既不能被 3 整除也不能被 5 整除的整数有 320 个。 6） 要举办一场晚会，共 10 个节目，其中 6 个演唱节目，4 个舞蹈节目。现 要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目， 则共可以写出 604800 种不同的节目单。 3 答案.6! C7 4! 604800 2 7） 把 n 男 n 女排成一只男女相间的队伍，共有 2 （n!） 种排列方法； 2 若围成一圆桌坐下，又有 2 （n!） /（2n） 种方法。 2n 8） n 个变量的布尔函数共有 n 个互不相同的。 9） 把 r 个相异物体放入 n 个不同的盒子里，每个

3、盒子允许放任意个物体， 而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为 P(n r 1,r) 答案: n(n 1)(n 2) (n r 1) (n r 1)! (n 1)! P(n r 1,r) 2. (本题 10 分) 核反应堆中有a和B两种粒子，每秒钟内一个 a粒子分裂成三个B粒子，而 一个B粒子分裂成一个a粒子和两个B粒子。若在时刻 t=0 时，反应堆中只 有一个a粒子，问 t=100 秒时反应堆中将有多少个 a粒子？多少个B粒子? 解：设 t 秒钟的a粒子数位 at， B粒子数为 bt,则 at bt i b 3at 1 2bt 1 a。 1,bo 0 3 3t 目为多少? a

4、t bt 1 bt 2bt 1 b 0,d 3bt 2() 3 (*)式的特征方程为 x2 2x 3 0， 解得 r1 1,r2 3，即 bt A ( 1)f A2 3t 代入初始值 b0 力3，解得 Ai 4,A2 at bt 1 1)t1 3 4 3t 1 a100 3(399 4 1), t100 3 / R00 4(3 1) 3.(本题共 10 分，共 2 小题, 每小题 5 分) 设 n Ra1P2a2 P? ，Pi, 2, Pn是互不相同的素数, 设求能除尽 n 的正整数数 解：每个能整除尽数 n 的正整数都可以选取每个素数 P 从 0 到 ai，即每个素数 有 ai+1 种选择,

5、 所以能整除 n 的正整数数目为 (a1 1)(a2 1) (an 1)个。 试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。 n P/1p2a2 Pnn，能被(a1 1)(a2 1) (an 1)个证明：根据题中结论, 数整除，而n2肾b2曽能被(2ai 1)(2a2 1) 个数整除, 2ai+1 为奇数 (0 i 1) ,所以乘积为奇数,证毕 4. (本题 10 分) 证明等式 222 2 nnn n 2n 012 nn 求(1+X4+x8)100中 x20项的系数。 证明： (1 x)2n (1 x)n (1 x)n 2n 2n 2n 2n xx 0 1 2n 2 n n n

6、 n xx 0 1 n n n n n 0 n 1 n 1 比较 n 次方系数即可证。(2an 1) 解：(1 x4 8 100 x) 1 (x4 8 x) 100 100 k 100 (x4 8k x) 100 k k0 分析(x4 x8)k的结构可知仅当 k k 3 时，系数 C1300 C32, k 4 时，系数 C1400 C43, k 5 时，系数 C1500 C50, 三个系数相加即为所求 3,4,5 时有 X20项 （本题 10 分） 6 个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带 顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？ 解：P D6 1 1 4 4 1 4

7、1 6! 12! 3! 45! 6! 1 2 3 4 5 (720 C6 5! C6 4! C6 3! C6 2! C6 1! 1) / 720 (720 6 120 15 24 20 615 2 6 1)/ 720 (720 720 360 120 30 6 1)/720 265/720 0.368 可以证明，当n比较大时， 0.36788. n! e 7.（本题 10 分） 求满足下列条件的整数解数目 x1+x2+x3+x4=20 其中 1 強 1 屿，0 強 2 筍, 4 強 3 毛，2 強 4 詬。5. (本题 10 分) 求 1, 3, 5, 7, 9 这五个数可以组成多少个不同的

8、n 位数，其中要求 3 和 7 出现次数为偶数 解：Ge(x) (1 x 1 x x 3x e e ( 2 X 2! 2x .2 3x e )e 2 3 x )(1 2! 2x e 2 4 4 X 4! )2 1 x 3x (e 2e 4 5x e ) r x -(1 2 3 5) 4 r o r! 所以可以组成 2 3n 5n）个不同的 n 位数。 6. Oi 解：设 yi Xi 1, y2 X2,y3 X3 4, X4 2, yi y y3 y4 13, 0 yi 4,0 y2 7,0 y3 4,0 讨4 4, 13 4-i 16 16 若不附加有上届条件的根据公式应为 560. 13 1

9、3 3 对于有上届的问题要作 变换 1 4 - yi, 2 7 - y2, 3 4 y3, 4 4-y4, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0 于是问题转为1 2 3 4 6 6 4-1 9 9 整数解数目为 84 6 6 3 8.(本题 10 分) 长为 5 米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方 案？(刚体运动使之吻合算一种方案) 解：第一类置换： R (1)(2)(3)(4)(5), 第二类置换：P绕00翻转P2 (15)( 24)( 3)， 置换格式：1个 15,1 个 1122， I (25 23)/2 20. 试问若要求其中有 3 米为红色，2 米为蓝色的方

10、案数是多少？ 解： 若木棒不可动， 则 5 个对象任取 2 个对象染蓝色， 方案数为 10. 但木棒可翻转， 使得 12 和 45,13 和 53,14 和 52,23 和 43 为蓝色分别 为同一种方案，此时不 同方案数为 6. 1 2 3 4 5 O P 1 2 3 32 2 9. (本题共 10 分，共 2 小题，每小题 5 分) m m n n m 2n 的组合意义 n 0 n 解：右边：m个球，从中取出n个放入两个盒子，n个球中每个球都有 两种方法，得到可能的 方案数。 左边：第i项的意义是一个盒子中 放i个，另一个盒子放n-i个, 所有的方案数相加应该 等于右边。 证明 n 22 n 32 12 证明： n n n 在二项式 (1 x)n 01 的两端对 x 求导可得： n(1 x)n 1 n 2 n x 3 12 nn 令 x 1,即得式： 2 12 再给式子： n(1 x)n 1 n 1 两端同乘以 X后并求导得： n 3 2n n n n(n 1)2n 2 。 n 2 n 3 n n x xx x