第三章下 立体表面交线

1、2021-10-181第四章第四章 立体表面的交线立体表面的交线本章教学目的与要求本章教学目的与要求、熟悉截交线的性质；、熟悉截交线的性质；、掌握平面和平面立体的截交线画法、掌握平面和平面立体的截交线画法；(难点难点)、掌握平面和回转体（柱、锥、球）截交线画法；、掌握平面和回转体（柱、锥、球）截交线画法；(重点重点)、掌握平面和复合回转体的截交线画法；、掌握平面和复合回转体的截交线画法；(难点难点) 5、熟悉相贯线的性质；、熟悉相贯线的性质； 6、了解平面体与回转体的相贯线的画法；、了解平面体与回转体的相贯线的画法； 7、熟练掌握回转体与回转体正交相贯线的画法；、熟练掌握回转体与回转体正交相贯

2、线的画法； （重点）（重点） 8、熟练掌握利用积聚性求相贯线的方法；（重点）、熟练掌握利用积聚性求相贯线的方法；（重点） 9、了解辅助平面法求相贯线的方法；（难点）、了解辅助平面法求相贯线的方法；（难点） 10、掌握特殊相贯线、掌握特殊相贯线 ;（难点）（难点） 11、多体正交相贯相贯线的画法。、多体正交相贯相贯线的画法。 下一页下一页2021-10-182立体表面的交线立体表面的交线 回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页2021-10-1831. 定义：平面立体被平面截切，平面称定义：平面立体被平面截切，平面称截平面截平面，它们的交线称，它们的交线称 截交线截交线。截交线既截交线既在

3、立体表在立体表面上，又面上，又在截平面在截平面上，所以上，所以是共有线，是共有线，截交线上截交线上所有点是所有点是共有点。共有点。2. 截交线的特性：截交线的特性： 交线为封闭的平面图形（多边形）；交线为封闭的平面图形（多边形）； 交线为交线为共有线共有线（一系列（一系列共有点共有点的集合）的集合） 动画演示动画演示回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页第一节第一节 立体表面的截交线立体表面的截交线一、截交线的概念、性质及求取方法一、截交线的概念、性质及求取方法2021-10-184求取：求交线可归结为找点；截平面处于特殊位置，有积聚性，截交线的求取：求交线可归结为找点；截平面处于特殊位

4、置，有积聚性，截交线的 一个投影已知，然后用面上求点线的方法求交线其他投影。一个投影已知，然后用面上求点线的方法求交线其他投影。方法：方法：棱线法（各棱线与截平面的交点）棱线法（各棱线与截平面的交点）棱面法（各棱面与截平面的交线）棱面法（各棱面与截平面的交线）步骤：步骤：分析截交线的形状；分析截交线的形状； 分析截交线的投影分析截交线的投影 （在哪个面有积聚性，在哪个面有类似性）（在哪个面有积聚性，在哪个面有类似性）画交线投影（连线判别可见性，整理轮廓线）画交线投影（连线判别可见性，整理轮廓线）注意：注意：截交线的投影特性要注意（类似性）；截交线的投影特性要注意（类似性）； 连线（两面均垂直与

5、某投影面，交线垂直该投影面）；连线（两面均垂直与某投影面，交线垂直该投影面）； 判别可见性：截平面与立体均不可见，交线不可见。判别可见性：截平面与立体均不可见，交线不可见。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页3.求截交线的方法与步骤求截交线的方法与步骤2021-10-185【例一】已知正垂面和三棱锥相交，求作截交线的投影，【例一】已知正垂面和三棱锥相交，求作截交线的投影， 并画出三棱锥截切后的三面投影并画出三棱锥截切后的三面投影 。分析：分析：截交线为三角形，正面投影积聚在截交线为三角形，正面投影积聚在Pv上，水平投影和侧面投影类似形。上，水平投影和侧面投影类似形。作图：作图：1）在正

6、面投影上依次标出）在正面投影上依次标出1、2 、3 。2）根据线上取点的方法求得相应的）根据线上取点的方法求得相应的水平投影水平投影1、2、3、 和侧面投影和侧面投影 1 、2 、 3 。3）连线并判别可见性连线并判别可见性 。4） 整整理轮廓线。理轮廓线。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页动画演示动画演示二、平面与平面立体相交（平面立体截切）二、平面与平面立体相交（平面立体截切）2021-10-186作作 图图 步步 骤骤上一页上一页下一页下一页回章节目录回章节目录2021-10-187【例二】【例二】*已知正三棱锥被一正垂面和一水平面截切，已知正三棱锥被一正垂面和一水平面截切，

7、试完成其截切后的水平投影和侧面投影。试完成其截切后的水平投影和侧面投影。分析分析 ：正垂面和水平面截切产正垂面和水平面截切产生的截交线形状均为四边形。生的截交线形状均为四边形。正垂面水平投影和侧面投影为正垂面水平投影和侧面投影为类似形。水平面的水平投影反类似形。水平面的水平投影反映实形，侧面投影积聚为线。映实形，侧面投影积聚为线。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页 动画演示动画演示2021-10-188作作 图图 步步 骤骤下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录2021-10-189【例三】已知四棱台被【例三】已知四棱台被两个侧平面和一个水平两个侧平面和一个水平面所截面所截 切

8、，求截切后交线的水平投影和侧面投影。切，求截切后交线的水平投影和侧面投影。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页分析分析 ：两个侧平面所截的截两个侧平面所截的截交线形状为等腰梯形，水平投交线形状为等腰梯形，水平投影积聚为线，侧面投影反映实影积聚为线，侧面投影反映实形。水平面所截的截交线形状形。水平面所截的截交线形状为距形。水平投影反映实形，为距形。水平投影反映实形，侧面投影积聚为线。侧面投影积聚为线。动画演示动画演示2021-10-1810【例四】已知四棱柱被五个面所截切，【例四】已知四棱柱被五个面所截切， 求截切后形体的俯视图。求截切后形体的俯视图。动画演示动画演示回章节目录回章节目录

9、上一页上一页下一页下一页2021-10-1811三、平面与回转体相交三、平面与回转体相交截交线的特性：截交线的特性： 交线为封闭的平面图形（交线为封闭的平面图形（平面曲线或多边形平面曲线或多边形）；）； 交线为交线为共有共有（一系列（一系列共有点共有点的集合）的集合）求取：求取： 同平面立体同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。注意：注意： 同平面立体；同平面立体； 找点找点 ：特殊点特殊点（转向轮廓线点如最高、最底、最前、最后、（转向轮廓线点如最高、最底、最前、最后、 最最 左、最右）；左、最右）； 一般点。一般点。连线：多点光滑相连

10、；连线：多点光滑相连； 同平面立体；同平面立体； 曲面立体截交线要明确其特点。曲面立体截交线要明确其特点。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-18121.平面与圆柱截切的截交线平面与圆柱截切的截交线回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页动画演示动画演示动画演示动画演示2021-10-1813（一）（一） 分析分析 截交线空间形状：截交线空间形状： 椭圆。椭圆。 截交线的投影：截交线的投影： 正面投影积聚正面投影积聚 在在PV上，上， 侧面投影积聚侧面投影积聚 在圆上，在圆上， 故只求水平投影。故只求水平投影。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页【例五【例五

11、】已知水平圆柱被一正垂面已知水平圆柱被一正垂面P所截，求作截交线的投影。所截，求作截交线的投影。2021-10-1814（二）作图（二）作图1）求特殊点：）求特殊点：A、B、C、D、 2）求一般点：）求一般点：、 3）连线并判断可见性，）连线并判断可见性， 4） 整理轮廓线：整理轮廓线： 回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1815回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页【例六】已知圆柱的左端被水平面和正垂面截切，完成圆柱【例六】已知圆柱的左端被水平面和正垂面截切，完成圆柱 被切后的侧面投影和水平投影被切后的侧面投影和水平投影 。动画演示动画演示2021-10-18

12、16回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页【例九】已知圆柱的左和右端均被四个面切口，如下【例九】已知圆柱的左和右端均被四个面切口，如下 图所示，完成圆柱被截切后的水平投影图所示，完成圆柱被截切后的水平投影 。动画演示动画演示思考：圆柱中间挖一个通孔，截交线的投影如何画。思考：圆柱中间挖一个通孔，截交线的投影如何画。2021-10-1817【例十】已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被【例十】已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被 截切后的水平投影截切后的水平投影 。动画演示动画演示回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1818【例十一】已知圆筒的左端被四个面切口，完

13、成圆筒被【例十一】已知圆筒的左端被四个面切口，完成圆筒被 截切后的水平投影截切后的水平投影 。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页 动画演示动画演示2021-10-1819 2.平面与圆锥截切的截交线平面与圆锥截切的截交线回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1820动画演示动画演示动画演示动画演示 动画演示动画演示动画演示动画演示回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页圆锥截切模型圆锥截切模型2021-10-1821分析分析：截交线是双曲线的一叶，其水平投影积聚在截平面的水平投影上，正面截交线是双曲线的一叶，其水平投影积聚在截平面的水平投影上，正面 投影反映

14、实形，左右对称。投影反映实形，左右对称。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页【例十三】已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影【例十三】已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影 。动画演示动画演示2021-10-1822【例十四】已知圆锥被一个平面所截，求截交线的水平投【例十四】已知圆锥被一个平面所截，求截交线的水平投 影和侧面投影影和侧面投影 。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页动画演示动画演示求特殊点求特殊点 2021-10-1823求一般点求一般点 连线整理轮廓线判别可见性连线整理轮廓线判别可见性回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-18243.平

15、面与圆球截切的截交线平面与圆球截切的截交线回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页截面位置截面位置与与V面平行面平行与与H面平行面平行与与W面平行面平行与与V面垂直面垂直立立体体图图投投影影图图2021-10-1825动画演示动画演示动画演示动画演示回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页圆球截切模型圆球截切模型2021-10-1826回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页【例题十七】已知圆球被三个面所截，求截交线的水【例题十七】已知圆球被三个面所截，求截交线的水 平投影和侧面投影平投影和侧面投影 。动画演示动画演示2021-10-1827【例题十八】已知圆球被三个面所截，求截交

16、线的水【例题十八】已知圆球被三个面所截，求截交线的水 平投影和侧面投影平投影和侧面投影 。动画演示动画演示回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1828回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页【例题十九】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投【例题十九】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投 影和侧面投影影和侧面投影 。动画演示动画演示2021-10-18294复合回转体截交线复合回转体截交线分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 例二十例二十已知圆锥被两个平面已知圆锥被两个平面P、Q所截，

17、求截交线的水平投影和侧面投影所截，求截交线的水平投影和侧面投影 。（一）分析一）分析：截交线空间形状：截交线空间形状：截锥为双曲线截锥为双曲线 ； 截圆柱为距形截圆柱为距形和不完整椭圆。和不完整椭圆。截交线的投影：截交线的投影：正面投影积聚正面投影积聚在在PV和和QV上；上；侧面投影积聚侧面投影积聚在不完整圆上在不完整圆上,故只求水平投故只求水平投影。影。 动画演示动画演示回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1830 在日常生活中在日常生活中,我们经常见到一个圆柱从另一个圆柱上贯穿而过我们经常见到一个圆柱从另一个圆柱上贯穿而过,即两立体即两立体相交相交,它们表面产生的交

18、线称之为相贯线。它们表面产生的交线称之为相贯线。1、相贯线的定义、相贯线的定义 由概述可知：两立体相交，他们的交线称为由概述可知：两立体相交，他们的交线称为相贯线相贯线。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页相贯线概念动画相贯线概念动画第二节第二节 立体表面的相贯线立体表面的相贯线一、概述一、概述2021-10-1831平面立体与平面立体（简称平、平相贯）（建筑类重点研究）平面立体与平面立体（简称平、平相贯）（建筑类重点研究）平面立体与曲面立体（简称平、曲相贯）（难点）平面立体与曲面立体（简称平、曲相贯）（难点）曲面立体与曲面立体（简称曲、曲相贯）（重点）曲面立体与曲面立体（简称曲、曲相

19、贯）（重点）2、相贯线的分类、相贯线的分类动画演示动画演示动画演示动画演示动画演示动画演示下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录2021-10-18321) 封闭性封闭性 一般为封闭的空间折线或者空间曲线。一般为封闭的空间折线或者空间曲线。 2) 共有性共有性 是两个立体表面的公有线。（即是一系列公有点集合）是两个立体表面的公有线。（即是一系列公有点集合）回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页3、相贯线的特性：、相贯线的特性：2021-10-1833二、平面立体与回转体相贯二、平面立体与回转体相贯求取方法及步骤：求取方法及步骤： 分析立体，求出多段截交线分析立体，求出多段截交线 判

20、别可见性：两立体表面均可见，交线可见判别可见性：两立体表面均可见，交线可见 整理轮廓线。整理轮廓线。 【例二十一】【例二十一】 求四棱柱与圆柱正交的相贯线的投影求四棱柱与圆柱正交的相贯线的投影 。空间分析：空间分析：四棱锥前后两面截交线四棱锥前后两面截交线为为素线素线；左右两面截交；左右两面截交线为线为。相贯线为两段相贯线为两段素素线线和两段和两段圆弧圆弧组成的空组成的空间图形间图形投影分析：投影分析：左、俯视图有积聚性，左、俯视图有积聚性，投影已知，求正面投影投影已知，求正面投影即可。即可。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页动画演示动画演示2021-10-1834思考一：挖四棱柱孔

21、相贯线投影如何画；思考一：挖四棱柱孔相贯线投影如何画； 圆柱变圆筒相贯线投影如何画。圆柱变圆筒相贯线投影如何画。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页2021-10-1835思考二：挖三棱柱孔相贯线投影如何画。思考二：挖三棱柱孔相贯线投影如何画。 回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-18361)利用利用“三等三等”关系，作素线的正面投影关系，作素线的正面投影23，不可见，画细虚，不可见，画细虚线。作圆弧的正面投影线。作圆弧的正面投影1（2）4，14可见画粗实线。可见画粗实线。三棱柱孔的三条棱线的正面投影均不可见，画细虚线，如图所示。三棱柱孔的三条棱线的正面投影均不

22、可见，画细虚线，如图所示。 回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-18372) 作椭圆弧的投影，先作特殊点的正面投影作椭圆弧的投影，先作特殊点的正面投影1、3、5，再作一般点的正面投影再作一般点的正面投影6、7，椭圆弧正面投影，椭圆弧正面投影165可见，画粗实线。可见，画粗实线。573不可见，画细虚线，如图所示。不可见，画细虚线，如图所示。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-18383)整理轮廓线：正面投影转向轮廓线上点整理轮廓线：正面投影转向轮廓线上点、之间的轮廓之间的轮廓线被切，其投影应擦除，检查加深图形，如图所示。线被切，其投影应擦除，检查加

23、深图形，如图所示。 回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1839回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页三、回转体与回转体相贯三、回转体与回转体相贯1.相贯线特征：相贯线特征： 相贯线一般为光滑相贯线一般为光滑封闭封闭的的空间空间曲线，它是两回转体表面的曲线，它是两回转体表面的共有线共有线。2. 求取方法：求取方法： 利用积聚性表面取点法利用积聚性表面取点法 （适合柱、柱相贯）（适合柱、柱相贯） 辅助平面法辅助平面法3. 求取步骤：求取步骤： 分析交线情况（是否对称分析交线情况（是否对称 ），投影情况（是否有积聚性），投影情况（是否有积聚性） 找公有点（特殊点和一般

24、点），连线找公有点（特殊点和一般点），连线 判别可见性：一曲面立体表面可见，交线可见判别可见性：一曲面立体表面可见，交线可见 整理轮廓线。整理轮廓线。2021-10-1840空间分析：相贯线前后、空间分析：相贯线前后、 上下对称。上下对称。投影分析：左、俯视图投影分析：左、俯视图 相贯线投影相贯线投影 有积聚性，有积聚性， 故只求正面故只求正面 投影即可。投影即可。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页【例二十二】求圆柱与圆柱正交的相贯线【例二十二】求圆柱与圆柱正交的相贯线2021-10-1841作图作图 ： 1)求特殊点。求特殊点。相贯线的最左点相贯线的最左点、最右点、最右点分别为两分

25、别为两圆柱正面投影转向轮廓线的交点，最前点圆柱正面投影转向轮廓线的交点，最前点和最后点和最后点是两是两圆柱侧面投影转向轮廓线的交点。利用圆柱侧面投影转向轮廓线的交点。利用“三等三等”关系求出关系求出1、2、3（4）。如图所示。）。如图所示。下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录2021-10-18422)求一般点。求一般点。为了精确求出相贯线的投影并用曲线光滑连接，为了精确求出相贯线的投影并用曲线光滑连接，应在适当位置求出相贯线上的一般位置点应在适当位置求出相贯线上的一般位置点、。利用利用“三等三等”关系求出关系求出5（8）、）、6（7），如图所示。），如图所示。下一页下一页上一页上一页

26、回章节目录回章节目录2021-10-1843 3)依次用曲线光滑连接依次用曲线光滑连接1-5-3-6-2，可得相贯线，可得相贯线的正面投影，如图所示。由于相贯线前后对称，所以后半部分的正面投影，如图所示。由于相贯线前后对称，所以后半部分相贯线的正面投影与前半部分相贯线的正面投影重合。相贯线的正面投影与前半部分相贯线的正面投影重合。下一页下一页上一页上一页回章节目录回章节目录2021-10-1844回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页思考：思考： 小圆柱改为贯穿孔，投影如何画。小圆柱改为贯穿孔，投影如何画。2021-10-1845 回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页4、讨论：、

27、讨论：（1）相贯线的产生：）相贯线的产生：动画演示动画演示两外表面相贯，相贯线可见。两外表面相贯，相贯线可见。内表面与外表面相贯，相贯线可见。内表面与外表面相贯，相贯线可见。2021-10-1846两内表面相贯，相贯线不可见。两内表面相贯，相贯线不可见。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页动画演示动画演示2021-10-1847（2）相贯线变化趋势：）相贯线变化趋势： 当两圆柱直径不相等时，相贯线非积聚性投影（曲线）向大当两圆柱直径不相等时，相贯线非积聚性投影（曲线）向大直径圆柱轴线弯曲。如图直径圆柱轴线弯曲。如图所示。所示。 动画演示动画演示回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一

28、页2021-10-1848 两相贯圆柱等径时，相贯线的投影为交叉二直线。两相贯圆柱等径时，相贯线的投影为交叉二直线。 （相贯线为两垂直的椭圆）（相贯线为两垂直的椭圆） 动画演示动画演示回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页2021-10-1849【例二十三】【例二十三】已知物体的俯、左视图，求物体的主视图已知物体的俯、左视图，求物体的主视图回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页思考：挖一个水平思考：挖一个水平半圆孔之后，立半圆孔之后，立体投影的变化？体投影的变化？2021-10-18501）先画外表面相贯线的投影，利用）先画外表面相贯线的投影，利用“三等三等”关系，找特殊点关系，找

29、特殊点 画出垂直相交两线段，如图所示。画出垂直相交两线段，如图所示。 回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-18512）画内表面相贯线的投影，先找特殊点，画相贯线弯向半圆）画内表面相贯线的投影，先找特殊点，画相贯线弯向半圆 柱孔的轴线，相贯线不可见，画细虚线，如图所示。柱孔的轴线，相贯线不可见，画细虚线，如图所示。 回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1852回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页3）整理轮廓线，检查、加深线段，如图所示）整理轮廓线，检查、加深线段，如图所示 2021-10-1853例二十四例二十四 已知圆柱与已知圆柱与“U”

30、形柱正交的俯、左视图，补画形柱正交的俯、左视图，补画 出主视图，如图所示出主视图，如图所示 。上一页上一页回章节目录回章节目录下一页下一页2021-10-1854作图：先画半圆柱与水平圆柱相贯线的投影，再画四棱柱与水平作图：先画半圆柱与水平圆柱相贯线的投影，再画四棱柱与水平 圆柱相贯的相贯线的投影，相贯线可见，如图所示。圆柱相贯的相贯线的投影，相贯线可见，如图所示。回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1855例二十六例二十六求圆锥和圆柱正交相贯线的投影求圆锥和圆柱正交相贯线的投影 动画演示动画演示回章节目录回章节目录上一页上一页下一页下一页2021-10-1856分析：选择一个过轴线的正平面；一个过圆柱俯视转向轮廓分析：选择一个过轴线的正平面；一个过圆柱俯视转向轮廓 线；一个过锥顶且与圆柱相切的侧锥面若干个水平面。线；一个过锥顶且与圆柱相切的侧锥面若干个水平面。回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页a) 选水平面 b) 选过锥顶的正平面 c) 过锥顶的辅助面与圆柱相切2021-10-1857回章节目录回章节目录下一页下一页上一页上一页作图：作图：1.先作特殊点先作特殊点2021-10-18582.再作一般点再