竖直平面内的圆周运动的几类问题

1、竖直平面内圆周运动的几类问题【 关键词 】：竖直平面 圆周运动 向心力【 摘要 】 ：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动 ( 带电粒子在匀强磁场中运动除外 ) ，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动 ( 带电粒子在匀强磁场中运动除外 ) ，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小。解圆周运动问题的基本步骤： 1. 确定作圆周运动的物体作为研究对象。 2. 确定作圆周运动的轨道平面、 圆心位置和半径。3. 对研究对象进行受力分析。4. 运用平行四

2、边形定则或正交分解法（取向心加速度方向为正方向）求出向心力 F。5. 根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。下面是我结合实例浅谈竖直平面内的圆周运动的几类问题：一、 最高点、最低点问题（如图）竖直平面内的圆周运动最高点、 最低点问题都是竖直方向的各力的合力提供向心力的情况。 其中最低点问题如上图， 轨道对球的支持力和球的重力的合力提供给球做圆周 所需的向 心力，即；而最高点问题相对复杂点，我把它分成以下几种：( 一) 、汽车过拱桥模型（如图）例：汽车质量为 1000kg, 拱形桥的半径为 10m，(g=10m/s2) 则（1）当汽车以 5m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力是多大？（

3、2）如果汽车以 10m/s 的速度通过桥面最高点时，对桥的压力又是多大呢？2vmg N m分析：（ 1）汽车受力分析如图所示 , 分析可得 r，即N mg m2vr1000(10-25)N107500N；（2）当汽车以 10m/s 的速度通过桥面最高点时，汽车对桥面的压力 N=0，汽车达到最大安全速度，此时仅有重力提供向心力。对上例最高点汽车受力分析可知， 车在竖直方向上受到支持力和速 重度 力 作增 用大 ，时 取， 向向 心心力增大，故要减小，直到 =，速度增到了最大值，即仅有重力提供向心力 ， 。因此，汽车过拱桥模型有个最大速度( 临界状态 ) ，如果速度大于 ，那么汽车将飞离桥面，做离

4、心运动。( 二) 、绳球模型 （如图）例：长为 r=60cm 的细绳，一端系着盛水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量 m=0.5kg，则当速度为多大时，在最高点水刚好不流出？水在最高点速率 v=3m/s 时，水对桶底的压力大小和方向？分析： （1）水桶运动到最高点时，设速度为 v 时恰好水不流出，由水受到的重力刚好提供其做圆周运动的向心力， 根据牛顿第二定律mgr 6得 ，解得 s；（2）设桶运动到最高点对水的弹力为 F，则水受到重力和弹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有mg F m2vr, 解得2vF m mg 2.5Nr，方向竖直向下 , 又根据牛顿第三定律，水对桶的压力大小 F /

5、 =F=2.5N， 方向竖直向上。在最高点，绳的拉力 T和重力 G的合力提供向心力 , 即 ，当拉力为零时，重力全部提供向心力 这时小球的速度最小 ，小球恰能通过最高点做完整的圆周运动故小球要完成圆周运动有个最小速度 (临界状态) ，小球速度如果小于 ，则不能通过最高点完成圆周运动。( 三) 、杆球模型（如图）例：如上图，质量为 m=0.2kg的小球固定在 r=0.9m 的轻杆的一端，杆可绕 O 点的水平轴在竖直平面内转动， g=10m/s2，求：（1）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零；（ 2）当小球在最高点的速度分别为 6m/s 和 1.5m/s 时，杆对小球的作用力的大小

6、和方向；（ 3）小球在最高点的速度能否等于零？分析：(1) 当球对杆的作用力为 0 时，小球的重力正好提供了向mgr 3心力，即 ，此时，小球的速度 s。(2) 当小球在最2vmg F m高点的速度为 6 m/s 时， r，可知2vF m mg 6Nr，即：球对杆的力是竖直向上的， 大小为 6N；当小球在最高点的速度为 1.5 m/s2/vmg F m时， r，可知2/vF m mg 1.5Nr，即：球对杆的力是竖直向下的，大小为 .5N。(3) 小球在最高点的速度能等于 0，这时球对杆的作用力等于小球的重力，即： F G 2N ，方向是竖直向下。在最高点，杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，

7、是汽车过拱桥模型和绳球模型的合成。 杆对球的作用力和球的重力 G的合力提供向心力。由于杆的支撑作用，小球恰能达最高点的临界条件： V 临=0。1. 当小球运动到最高点的速度恰为零时， 杆的支持力大小等于重力 2.小球运动到最高点的速度从零逐渐变大时， 杆的支持力将从等于重力变为小于重力，然后减为零；再变为拉力并逐渐增大，从小于重力到大于重力 3. 当杆的作用力为零时，重力提供向心力二、 中间水平位置问题（如图）例：如右图所示，质量为 m 的小球置于正方体形状的质量为 M的光滑盒子中， 盒子的边长略大于球的直径 某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动， 已知重力加速度为 g ，

8、空气阻力不计， 则：（）要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，盒子做圆周运动的速度为多大？（）若盒子以第（ 1）问中周期的 1/2 做匀速圆周运动，则当盒子运动到与 O点（该圆的圆心） 位于同一水平面位置时，小球对盒子的哪些面有作用力，作用力为多大？分析：（ 1）最高点时，要使盒子在最高点时与小球之间恰好无2mg vm作用力，则此时重力提供向心力， R, v gR ；(2) 周期变为1/2 。速度变为 2 倍。则当盒子运动到与 O点（该圆的圆心）位于同一水平面位置时，竖直方向：盒子底部支持力 =mg。水平方向：盒子外壁对小球的压力提供向心力2F 2v 4m mgR，其它面上无作用力。从

9、上例（）问题中分析可知，在竖直平面内圆周运动的中间水平位置，重力对完成圆周运动所需向心力没有帮助， 只有水平方向各力的合力提供向心力，而竖直方向上各力的合力只改变速度大小。三、 一般位置问题（如图）例：若汽车沿圆弧桥面从顶端下滑，分析汽车的运动情况。分析：由物体重力及支持力沿半径方向的合外力提供向心力， 若车速度 过快， 车会离 开桥面 做斜抛 运动。mg cos FN m2vR，1 2mv2mgR(1 cos )，即将离开时 RFN=0，所以23arccos48.2。竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，其合外力一般不指向圆心，它产生两个方向的效果（如图）：因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1 提供向心力。总结，竖直方向圆周运动是个复杂的问题， 但分析此类问题时利用力学的正交分解法， 往往可以迎刃而解。 即对分析对象建立