高数常用公式手册

1、高数(b)常用公式手册常用高数公式? 1 、乘法与因式分解公式? 2 、三角不等式?3、一元二次方程解? 4 、某些数列的前 n 项和? 5 、二项式展开公式? 6 、基本求导公式? 7 、基本积分公式? 8 、一些初等函数 两个重要 极限? 9 、三角函数公式 正余弦定 理? 10、莱布尼兹公式? 11、中值定理? 12 、空间解析几何和向量代 数? 13、多元函数微分法及应用? 14、多元函数的极值? 15、级数? 16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式1.11.21.4anbn(a b)(an 1an 2ban3b2Labn2bn 1)( n 为奇数)2、三角不等式2.12.22

2、.32.42.63、一元二次方程的解3.2（ 韦达定理 ） 根与系数的关系：4、某些数列的前 n 项和4.24.34.75、二项式展开公式6基本求导公式:(C)0 (C为常数)(X ) x 1 (为实数)(ax) axlna (ex) ex(cot x)(sec x)esc 2 xsec x tan x1 2sin x(log a x)11(ln x)-xx ln a(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)2 sec x12 cos xcsc x1cot x12x112x11 x112x(esc x)(arcsin x)(arccos x)(arctan x)(arc c

3、ot x)7、基本积分公式：8、一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shxlim 沁 1x 0 x双曲余弦：chxlim(1xOdx Cshx 双曲正切:thx竺 chx1 arshx ln(xd x21xxe exxe eC (1)archx arthx丄哝& C2exdx xex Csec xdxInsecxtan xCcsc xdxIncsc xcot xCdxarcta n xC1 x2dx-arcs inx Ctan x Cxdx2sec2 2xxdx2 cos xxaxdxCIn acosxdx sin x Cdx_2sin x2cscxdxcot x Csec x tan xd

4、xsecxsin xdx cosx Ccsc x cot xdxcsc x C9、三角函数公式：诱导公式:函 数角AsincostanCOt-a-sin a;COs a-ta n a-COt a90 aCOS asin aCOt atan a90 aCOS a-sin ac -COt a-ta n a180 asin a-COS ac -ta n a-COt a180 a-sin a;-COs ac tan aCOt a270 -a-COS a；-sin ac COt atOt a270 a-COs a；sin a-COt a-ta n a360 - a-sin a;COs a-ta n a-

5、COt a360 asin aCOs atan aCOt asin()sin coscossincos()cos cossinsintan() tantan1 tan tan、 cot cot1cot()cotcotsinsin2si n-cos22sinsin2 cos-sin22coscos2cos-cos-22coscos2 sin -sin -22-和差化和差角公式: 积公式：倍角公式:sin 22sin coscos22 22cos1 1 2s in2 cos2 sinsi n33si n4si n3cot22“cot1cos34cos33cos2cotta n33ta ntan3t

6、an22ta n21 3ta n1 tan2-半角公式:sin2tan21 cos2-1 cos 1 cos1 cossinsin1 coscos21 cosV2cot21cos1 cossin1cossin1 cos正弦定理：亠丄亠2Rsin A sinB sinC-余弦定理:c2 a2 b2 2abcosC-反三角函数性质:arcs in xarccosxarcta n xarc cot x10、咼阶导数公式莱布尼兹(Leib niz)公式：n(n)k (n k) (k)(uv)Cnu vk 0(n)(n 1)n(nu v nu v1) (n 2)uvn(n1)(nk 1) (n k) (

7、k)u vuv(n)2!k!11、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：如過上F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理12、空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：dM iM 2向量在轴上的投影：Pr ju AB(X2 xj2AB cos ,是AB与u轴的夹角。(y2 yj2 (Z2 乙)2Prju(ai a?) Pr jai Pr ja2a b cosaxbxaybyazbz，是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbx2 2axayayby azbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxayby

8、azbza b sin.例:线速度:向量的混合积:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCz代表平行六面体的体积 。b I c cos为锐角时,平面的方程:1 点法式：A(x x0) B(y y0) C(zZo) 0,其中 n A, B,C, Mo(x, y,z)2、一般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：-1a b c平面外任意一点到该平 面的距离：dAxo By。Cz D、A2B2空间直线的方程:xX。my yonz。px x0 mtt,其中s m, n, p;参数方程：y y0 nt z Z pt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2

9、p2q222:xyz: 2 22abc222:xyz: 2.22abc椭球面:1抛物面:双曲面:11（马鞍面）单叶双曲面双叶双曲面13、多元函数微分法及应用全微分：dz dx dyyz dzx全微分的近似计算:du udx dy dz y zfy(x,y) yXfx(x,y) xzfu(t),v(t)dz z dtuu tz vv tzzu zvzfu(x,y),v(x,y)XuXvX当uu(x,y), v v(x, y)时，dudx dydvvdxdyxyXy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y) 0,dyFxd2y 2-(dx卜ydxX隐函数 F(x,y,z) 0,zFxzFyXFzyFz隐

10、函数方程组：F(x,y,u,v)0j -(F,G)G(x,y,u,v)0(u,v)u1(F,G)v丄(F,G)XJ (x,v)XJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ (y,v)yJ(u,y)多元复合函数的求导法：Fuu GFuGuFvGv微分法在几何上的应用:X空间曲线yz(t)(t)在点M (xo,yo, Z)处的切线方程:(t)XXo(to)yo(to)Z Zo(to)在点M处的法平面方程：(to)(x xo)(to)(yyo)Fy FzGy G z(to)(z Zo)FxGxFzFxGz Gx若空间曲线方程为：F(X，y，Z) o则切向量T G(x,y,z) o曲面 F (x,

11、y,z) o上一点 M (Xo, yo,Zo)，则:过此点的法向量：n Fx(Xo, yo,Zo), Fy(x, y, Zo), Fz(x, y,z。)过此点的切平面方程：Fx(xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y)FyGy2、Fz(Xo,yo,z)(zZo) 03、x Xoy yoz Zo过此点的法线方程：Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo,yo,Zo)14、多元函数的极值及其求法:fxy(Xo,y) B,fyy(Xo,yo) C设 fx(x,y。) fy(x,y。)0,令：fxx(Xo,y) A,ACB2口斗 A0时，0,（x,y。）为

12、极大值A0,（x。，y。）为极小值则：ACB20时，无极值ACB20时,不确定15、级数常数项级数：等比数列：1 q q2qn 1-1 q等差数列:1 2 3n (n 1)n2调和级数:1 1 11是发散的23n级数审敛法：1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判1时，级数收敛设：lim n un,则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：别法）：1时，级数收敛1时，级数发散1时，不确定SnU1U2Un；limsn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数u1U2U3 U4U1 U2 U3,un 0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un Un 1lim Un 0n，那么级数收敛且其和s U1，

13、其余项rn的绝对值rUn 1。绝对收敛与条件收敛:(1)5 u2un，其中un为任意实数；Ul 氏|出|Un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散，而收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：1发散，而 少收敛;nn1级数：T收敛；npp 1时发散p 1时收敛1时，收敛于-1 X1时，发散幂级数:1 x x2对于级数(3)a0 a1x a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛数轴上都收敛，则必存在R，使:R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径R时不定求收敛半径的方法:limn其中aan1是的系数，则也不是在全0时，R -0时，R时，R 0函数展开成幂级数:(n).

14、f (x。)n!(x(n 1)余项：Rn(n 1)!(xx0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R,0n函数展开成泰勒级数：f(x) f(x0)(x X。)- 凹(X X。)2 2!f(n)(0)n!x0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x丄丄9x2 2!一些函数展开成幂级数:m(1 x)mxm(m 1) 2x2!m(m35x x sinx x3!5!1)n12n 1x(2n 1)!1) (m n 1)xn入 n!( x(1x1)欧拉公式:ixe cosx isinxcosx或si nxixixe e2ixixe e216、微分方程的相关概念:一阶微分

15、方程：y f(x, y) 或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy f (x)dx的形式，解法:g(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。(x, y)，即写成丫的函数，解法：x分离变量，积分后将代替u,(u) ux齐次方程：一阶微分方 程可以写成3 f (x, y)dxydydudu,、 dx设u 工，贝Uu x , u(u),xdxdxdxx即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:1 一阶线性微分方程：少 P(x)y Q(x)dxP(x)dx当Q(x) 0时，为齐次方程，y Ce卩皿.当 Q(x) 0时，为非齐次方程，y ( Q(x)e P(x)dxdx C)e2 贝努力方程：dy P(x)y Q(x)yn,(n 0,1)dx二阶微分方程:雪吨Q(x)y,f (x)(时为齐次f (x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*) y py qy 0,其中p, q为常数；求解步骤：1写出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数