大学物理《静电场》

1、第第4 4篇篇 电磁学电磁学电磁现象是自然界中极为普遍的自然现象。电磁现象是自然界中极为普遍的自然现象。 公元前公元前600600年年 古希腊哲学家泰利斯就知道一块琥珀用木头摩擦之后古希腊哲学家泰利斯就知道一块琥珀用木头摩擦之后 会吸引草屑等轻小物体会吸引草屑等轻小物体 春秋战国时期春秋战国时期 韩非子韩非子和和吕氏春秋吕氏春秋都有天然磁石（都有天然磁石（Fe3O4） 的记载的记载17851785年年 库仑定律提出，电磁学进入科学行列库仑定律提出，电磁学进入科学行列 18201820年年 奥斯特发现电流的磁效应（电产生磁）奥斯特发现电流的磁效应（电产生磁） 18311831年年 法拉第发现电磁

2、感应现象法拉第发现电磁感应现象 （磁产生电）（磁产生电）18651865年年 麦克斯韦建立了以麦克斯韦方程组为基础的完整麦克斯韦建立了以麦克斯韦方程组为基础的完整 的电磁场理论的电磁场理论18871887年年 赫兹利用振荡器在室验上证实了电磁波的存在赫兹利用振荡器在室验上证实了电磁波的存在 19051905年年 爱因斯坦创立了相对论，解决了经典力学时空观与电磁爱因斯坦创立了相对论，解决了经典力学时空观与电磁 现象新的实验事实的矛盾现象新的实验事实的矛盾 电磁场是一个统一的整体电磁场是一个统一的整体 , ,电磁学的研究在现代物理电磁学的研究在现代物理学中也具有相当重要的地位学中也具有相当重要的地

3、位 。本章内容本章内容9.1 电荷电荷 库伦定律库伦定律9.2 电场电场 电场强度电场强度9.3 静电场中的高斯定律静电场中的高斯定律9.4 静电场中的环路定律静电场中的环路定律 电势电势 9.5 静电场中的导体静电场中的导体 电容电容 9.6 静电场中的介质静电场中的介质 9.7 静电场的能量静电场的能量 9.1 电荷电荷 库伦定律库伦定律9.1.1 电荷及其性质电荷及其性质1. 正负性正负性: 同种电荷相斥；异种电荷相吸同种电荷相斥；异种电荷相吸 3. 量子性量子性C10)63(462176602. 119eneQ 2. 守恒性守恒性在一个在一个孤立系统孤立系统中总电荷量不变中总电荷量不变

4、 等量的正、负电荷相遇后，对外不再呈现电性，这等量的正、负电荷相遇后，对外不再呈现电性，这种现象称为种现象称为电中和电中和 4. 相对论不变性相对论不变性 一个电荷的电量与它的运动状态无关，运动粒子的电一个电荷的电量与它的运动状态无关，运动粒子的电量不随速度的变化而变化。在不同的参考系观察，同一带量不随速度的变化而变化。在不同的参考系观察，同一带电粒子的电量保持不变电粒子的电量保持不变9.1.2 库伦定律库伦定律u 点电荷点电荷 带电体的大小、形状可以忽略带电体的大小、形状可以忽略 把带电体视为一个带电的几何点把带电体视为一个带电的几何点(一种理想模型一种理想模型)u 库伦定律库伦定律(178

5、5) 在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个点电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成点电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。1q2qr210r21F1q2qr120r12F02122121rrqqkF电荷电荷q1 对对q2 的作用力的作用力F21电荷电荷q2对对q1的作用力的作用力F12 01222112rrqqkF (Coulomb)真空中的介电常数真空中的介电常数 0）或或（121120mFmNC1085418782. 82041k022

6、1rrqqkF(2) 库仑定律适用于真空中的点电荷；库仑定律适用于真空中的点电荷；(3) 库仑力满足牛顿第三定律；库仑力满足牛顿第三定律；(4) 电荷之间距离小于电荷之间距离小于10-10m时时, 库仑定律仍保持有效库仑定律仍保持有效.至于至于 大距离方面大距离方面,虽然未作过实验验证虽然未作过实验验证,但也并没有特殊的理由但也并没有特殊的理由 预料在大距离情况下库仑定律将失效预料在大距离情况下库仑定律将失效.r 讨论讨论(1) 库仑定律中比率系数库仑定律中比率系数k为为氢原子中电子和质子的距离为氢原子中电子和质子的距离为 解解N101 . 8)103 . 5()106 . 1 (100 .

7、94182112199220reFe例例此两粒子间的静电力和万有引力。此两粒子间的静电力和万有引力。求求m103 . 511两粒子间的静电力大小为两粒子间的静电力大小为两粒子间的万有引力为两粒子间的万有引力为2112731112)103 . 5(107 . 1101 . 9107 . 6rmmGFpegN107 . 347万电FF r 讨论讨论(1) (1) 库仑力和万有引力都是有心力和长程力库仑力和万有引力都是有心力和长程力 (2) (2) 静电力既有引力也有斥力，而万有引力只是引力；两静电力既有引力也有斥力，而万有引力只是引力；两种力的作用强度不同种力的作用强度不同 9.2 电场电场 电场

8、强度电场强度9.2.1 电场电场场场的作用的作用超距超距作用作用电荷电荷电荷电荷电荷电荷电荷电荷电场电场场场的存在的客观依据的存在的客观依据(1) (1) 对位于其中的带电体有力的作用对位于其中的带电体有力的作用(3) (3) 电场力的传递是需要时间的电场力的传递是需要时间的(2) (2) 带电体在电场中运动带电体在电场中运动, , 电场力要作功电场力要作功 场是物质存在的一种形态场是物质存在的一种形态。一方面，它和实物有共。一方面，它和实物有共性的一面，即能量、质量和动量等物质的基本属性另一性的一面，即能量、质量和动量等物质的基本属性另一方面，电场又有其特殊性，它是无形的，弥漫在整个空间。方

9、面，电场又有其特殊性，它是无形的，弥漫在整个空间。历史上的两种观点：历史上的两种观点：9.2.2 电场强度电场强度在给定电场中的确定点来说：在给定电场中的确定点来说：场源电荷场源电荷Q：试验电荷：试验电荷：带电量足够小带电量足够小质点质点= 1F2F2q1qE0qFE 电场中某点的电场强度的大小等于电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷单位电荷在该点受力的在该点受力的大小，其方向为大小，其方向为正电荷正电荷在该点受力的方向。在该点受力的方向。 u 定义：定义：rPQ带电量为带电量为Q 的带电体。它所在的位置称为的带电体。它所在的位置称为源点源点，把电场中待求场性质的点（例如把电场中待求场性质的

10、点（例如p点）叫做点）叫做场场点点 是由源点到场点径矢的单位矢量。是由源点到场点径矢的单位矢量。0ru 说明：说明：（1）电场强度矢量是空间的位置函数）电场强度矢量是空间的位置函数 )(rEE),(zyxEE（2）场强的定义式具有普遍的适用性，）场强的定义式具有普遍的适用性，适用于任何场空间。适用于任何场空间。9.2.3 场强叠加原理场强叠加原理u 点电荷产生的场点电荷产生的场020041rrqqF020041rrqqFEkkkkkkkrrqEqFqFE0200041kkku 点电荷系：点电荷系： 点电荷系在某点点电荷系在某点P产生的电场强度等于各点电荷单独在产生的电场强度等于各点电荷单独在该

11、点产生的电场强度的矢量和。这称为该点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理电场强度叠加原理。u 连续分布带电体连续分布带电体: :020d41drrqEVEEddqdrEdP0204drrqEkEjEiEEZyxqd : 电荷电荷线密度线密度 :电荷电荷面密度面密度 :电荷电荷体密度体密度（线分布）l d（面分布）Sd（体分布）VdqqlBrEEE) 4(4220lrqEEcos2 EEBx304rpE42cos22lrl232230)41 (4/rlrqlElr求电偶极子在中垂线上一点产生的电场强度。求电偶极子在中垂线上一点产生的电场强度。例例解解电偶极矩电偶极矩（电矩）（电矩） 定

12、义定义qlp方向从负电荷方向从负电荷指向正电荷指向正电荷。EEEBaPxyO它在空间一点它在空间一点P P 产生的电场强度。产生的电场强度。（P点到杆的垂直距离为点到杆的垂直距离为 a ）解解dqxqdd20d41drxErsinddEEycosddEEx由图上的几何关系由图上的几何关系 21ctanaxdcscd2ax 22222cscaxarEdxEdyEd例例 长为长为 L 的均匀带电直杆，电荷线密度为的均匀带电直杆，电荷线密度为 求求dsin4d0aEydcos4d0aExyyEEdxxEEd)sin(sin4120a21dcos40a)cos(cos4210a21dsin40a无限长

13、直导线无限长直导线012aEy020 xE讨论讨论aPxyOdqr21EdxEdyEdP点位于中垂线时点位于中垂线时12aEy012cos0 xE解：解：xqdd2)ddxaxE（0412LL2LLxadxEE2202)4d（）（22022044LaqLaL例例 长为长为 L 的均匀带电直杆，电荷线密度为的均匀带电直杆，电荷线密度为 ，求求 它在其延长上它在其延长上 P P 点的电场强度。（点的电场强度。（P 点到杆的中心距离为点到杆的中心距离为 a ）aPxOdqOx圆环轴线上任一点圆环轴线上任一点P 的电场强度的电场强度RP解解dqlqdd020d41drrqE020d41drrqEEco

14、sddEExsinddEE r EdxEdEd例例 半径为半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为的均匀带电细圆环，带电量为 q 求求0E由于圆环上电荷分布关于由于圆环上电荷分布关于x 轴对称轴对称 cosd4120rqExcos4120rqqrdcos4120rxcos2/122)(xRr2/3220)(41xRqxE(1) 当当 x = 0（即（即P点在圆环中心处）时，点在圆环中心处）时， 0E(2) 当当 xR 时时 2041xqE可以把带电圆环视为一个点电荷可以把带电圆环视为一个点电荷 讨论讨论RPdqOxr EdxEdEd(3) 当当 时时 Rx22E 可取最大值。可取最大值。 求面密度

15、为求面密度为 的的圆板轴线上任一点的电场强度圆板轴线上任一点的电场强度 解解rrqd2d2/3220)(d41dxrqxEEEdixRxE)(1 22/ 1220PrxOEd2/3220)(d2xrrrx)(1 22/ 1220 xRxRxrrrx02/3220)(d2例例R 已知带电系统的电荷分布时，根据电场强度的定义已知带电系统的电荷分布时，根据电场强度的定义求电场中任一点求电场中任一点P的电场强度，其方法和步骤是：的电场强度，其方法和步骤是：应用点电荷电场强度的计算公式，在选定的坐标系中应用点电荷电场强度的计算公式，在选定的坐标系中写出某一电荷元写出某一电荷元dq在在P点电场强度点电场强

16、度 ；Ed根据给定的电荷分布，恰当的选择电荷元和坐标系；根据给定的电荷分布，恰当的选择电荷元和坐标系；再应用电场强度叠加原理将每个电荷元产生的电场强度再应用电场强度叠加原理将每个电荷元产生的电场强度相加，即可得到该点的电场强度；相加，即可得到该点的电场强度；注意：注意：要把要把 向各坐标轴上投影，化矢量相加或矢量积分向各坐标轴上投影，化矢量相加或矢量积分为标量相加或标量积分，同时还要重视对称性的分析，为标量相加或标量积分，同时还要重视对称性的分析，这样可省略一些不必要的计算；这样可省略一些不必要的计算；Ed圆环对杆的作用力圆环对杆的作用力qL解解Oxxqdd2/3220)(41xRqxExxE

17、qEFxxdddLxRxxqF023220)(4dqdxER例例已知圆环带电量为已知圆环带电量为 q ，杆的电荷线密度为，杆的电荷线密度为 ，长为，长为 L 求求220114LRRq例例解解EqFEqF相对于相对于O点的力矩：点的力矩：sin21sin21lFlFMsinqlEEpEl qM(1)力偶矩最大力偶矩最大 2力偶矩为零力偶矩为零 (电偶极子处于稳定平衡）电偶极子处于稳定平衡）0(2)(3)力偶矩为零力偶矩为零 （电偶极子处于非稳定平衡）（电偶极子处于非稳定平衡）EqqlFFp求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。 讨论讨论o9.3 静电场中的高斯定

18、律静电场中的高斯定律9.3.1 电通量电通量u 电场线电场线( (几个典型带电体周围电场线的分布几个典型带电体周围电场线的分布) )SNEdd 场强方向沿电场线场强方向沿电场线切线方向切线方向， 场强大小取决于电场线的场强大小取决于电场线的疏密疏密 SdE(2)(2)任何两条电力线不相交任何两条电力线不相交. .说明静电场中每一点的场强是惟说明静电场中每一点的场强是惟一的一的. .(1)(1)不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷( (或无穷远或无穷远处处) )、止于负电荷、止于负电荷( (或无穷远处或无穷远处).).u 电通量电通量穿过任意曲面的电穿过任

19、意曲面的电场场线条数称线条数称为电通量。为电通量。 1.1.均匀场中均匀场中dS 面元的电通量面元的电通量NeddnSS dd矢量面元矢量面元SEedd2.2.非均匀场中曲面的电通量非均匀场中曲面的电通量SEd cosS eSEdeSdSdn ESEdsnESEed dS3. 3. 闭合曲面电通量闭合曲面电通量SSEeeddnEnnnnSEedd 以曲面的以曲面的外法线方向为正外法线方向为正方向方向，因此：，因此：Sd与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。 , ,从曲面穿出的电力线，从曲面穿出的电力线，电通量为正值；电通量为正值； , ,穿

20、入曲面的电力线，穿入曲面的电力线，电通量为负值；电通量为负值；总的通量总的通量e穿出、穿入闭合面电力线条数之差穿出、穿入闭合面电力线条数之差220 9.3.2 高斯定理高斯定理 SSEedSSE d2204 4rrq(2) q 在在任意闭合面内，任意闭合面内，SSEed0q e 与曲面的与曲面的形状形状和和 q 的的位置位置无关的，只无关的，只与与闭合闭合曲面曲面包围的电荷包围的电荷电量电量 q 有有关。关。0qqSSEd穿过球面的电力线条数为穿过球面的电力线条数为 q/ 0穿过闭合面的电力线穿过闭合面的电力线条数仍为条数仍为 q/ 0SdE(1) q 在球心处，在球心处，r球面电通量为球面电

21、通量为电通量为电通量为u以点电荷电场为例的简单证明以点电荷电场为例的简单证明1.1.一个点电荷一个点电荷0e+ q(3) q 在闭合面外在闭合面外2. 多个电荷多个电荷521.EEEESEed030201qqqq1q2q3q4q5内qSE01d穿出、穿入的电力线条数相等穿出、穿入的电力线条数相等任意闭合面电通量为任意闭合面电通量为SEEEd).(521 内qSEe01dS真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 01VSEVed1d0S(不连续分布的源电荷不连续分

22、布的源电荷)(连续分布的源电荷连续分布的源电荷) 是所有电荷产生的是所有电荷产生的; ; e 只与内部电荷有关。只与内部电荷有关。E高斯定理高斯定理3.3.任意带电系统任意带电系统结论结论E sSEd(3)(3) 说明说明u 高斯定律的应用高斯定律的应用分析电荷对称性；分析电荷对称性； 根据对称性取高斯面；根据对称性取高斯面； 根据高斯定理求电场强度根据高斯定理求电场强度。均匀带电球面，总电量为均匀带电球面，总电量为Q，半径为，半径为R电场强度分布电场强度分布例例求求解解对称性分析对称性分析/dqEd Ed/dqqdqd1.1.电荷均匀分布的球面，其电荷均匀分布的球面，其球球面内面内任一点的场

23、强一定为零。任一点的场强一定为零。 注意：不能简单地说，因为球面内没有注意：不能简单地说，因为球面内没有电荷，所以球面内任一点的场强为零电荷，所以球面内任一点的场强为零2. 2. 球面外球面外一点的场强一点的场强 均匀带电球面在球面外的电场分布具有球对称性（或说点对均匀带电球面在球面外的电场分布具有球对称性（或说点对 称性）称性） 因此，过因此，过P点作一与带电球面同心的高斯球面，则由对称性可作一与带电球面同心的高斯球面，则由对称性可知，球面上各点的知，球面上各点的E E值相同，于是有值相同，于是有 sSEd sSEd sSE d24 rE 根据高斯定理根据高斯定理024 iiqrE 204r

24、qEii 204rQE Ed dq P /dq O R R P 例例已知球体半径为已知球体半径为R，带电量为，带电量为q（电荷体密度为（电荷体密度为 ）解解球内球内Rr 均匀带电球体的电场强度分布均匀带电球体的电场强度分布求求11ssdsEsdE030134rqrE031RQrE24 rE303431RQrRqorE EEorR2041RqorrQE球外球外Rr 解解 电场强度分布具有面对称性电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面选取一个圆柱形高斯面 SeSEd已知已知“无限大无限大”均匀带电平面上电荷面密度为均匀带电平面上电荷面密度为 电场强度分布电场强度分布求求例例右底左底侧SES

25、ESEdddESESES20根据高斯定理有根据高斯定理有 SES012nEEnn02E 带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：0外EEEE内根据场强叠加原理由图可知：根据场强叠加原理由图可知：0外E0外EE内EE已知已知“无限长无限长”均匀带电直线的电荷线密度为均匀带电直线的电荷线密度为+ 解解 电场分布具有轴对称性电场分布具有轴对称性 过过P点作高斯面点作高斯面 下底上底侧SESESEdddSeSEdlrESESE2dd侧侧n例例距直线距直线r 处一点处一点P 的电场强度的电场强度求求根据高斯定理得根据高斯定理得 ErlPllrE

26、012rE02nn当电场分布不具备对称性，或虽有一定的对称性，但对称当电场分布不具备对称性，或虽有一定的对称性，但对称性不够高时，这里难以用高斯定理求解电场分布，并不是说在性不够高时，这里难以用高斯定理求解电场分布，并不是说在这种情况下高斯定理不正确，而是电场强度这种情况下高斯定理不正确，而是电场强度 E 不能作为常量不能作为常量从积分号内分离出来，使得计算相当困难。这时应该用点电荷从积分号内分离出来，使得计算相当困难。这时应该用点电荷的场强公式和场强叠加原理这一基本方法求解电场分布。的场强公式和场强叠加原理这一基本方法求解电场分布。9.4 静电场中的环路定律静电场中的环路定律 电势电势 9.

27、4.1. 静电场的环路定理静电场的环路定理 u 静电场力作功静电场力作功 单个点电荷产生的电场单个点电荷产生的电场rrqqbarrd14200bLaablFA)(dcosd )(0bLalEq与路径无关与路径无关rrqqbLad )14()(200 )11(400barrqq baLbrrarldrd qEOq0rrdbLaablFA)(dbLaniilEq)(10d)(nibLailEq1)(0dibii airrqq)11(400 电场力做功只与始末位置有关，与路径无关电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以所以静电力静电力是是保守力保守力，静电场是静电场是保守场保守场。 任意带电体系

28、产生的电场任意带电体系产生的电场在电荷系在电荷系q1、q2、的电场中，移动的电场中，移动q0，静电力所作功，静电力所作功为为: bLanlEEEq)(210d)(bLalEq)(0d结论结论q0abLnq1nqiq2q1qq0在静电场中，沿闭合路径移动在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功，电场力作功LLablEqlFAdd0bLabLalEqlEq)(0)(021ddL1L2bLalEq)(01d0u 静电场的环路定理静电场的环路定理aLblEq)(02dabq00d LlE(1) 环路定理要求电力线不能闭合，环路定理要求电力线不能闭合，是是无旋场无旋场。(2) 静电场是静电场是有源有源

29、、无旋场无旋场，可引进电势能。，可引进电势能。讨论讨论静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。环路定律环路定律u 电势能电势能9.4.2. 电势电势 电势差电势差1p2pq0q0 电荷电荷q0自自p1 点移至点移至 p2 点过程点过程中电场力所做的功定义为中电场力所做的功定义为电荷电荷q0在在 p1 、p2 两点的两点的电势能之差电势能之差，即，即1212d012ppppWWlEqA)(21ppWW 取电势能零点取电势能零点 W“p2” = 0 000d11applEqAWq0 在电场中某点在电场中某点 p1的的电势能电势能： 电荷在电场中某点所具有

30、的电荷在电场中某点所具有的电势能电势能等于将电荷从该处等于将电荷从该处移至电势能为零的参考点的过程中电场力做的功。移至电势能为零的参考点的过程中电场力做的功。 (1) 电势能应属于电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统所共有。和产生电场的源电荷系统所共有。(3) 选电势能零点原则：选电势能零点原则：(2) 电荷在某点电势能的值与电势能电荷在某点电势能的值与电势能零点有关零点有关, ,而两点的差值而两点的差值与电势能与电势能零点无关零点无关实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。当当( (源源) )电荷分布在电荷分布在有限范围内有限范围内时，一般选时，

31、一般选无穷远无穷远处。处。无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在有限远处一点。选在有限远处一点。说明说明u 电势电势 定义定义0dpplEu01qWp有关有关布布电介质及其他导体的分电介质及其他导体的分考察点的位置考察点的位置场源性质场源性质01qWp 与与q0 0无关，只与无关，只与移动移动单位正电荷单位正电荷自该点自该点“势能零点势能零点”过程中电场力作的功过程中电场力作的功 。 电势差电势差00qWqWbabaabuuu0qAabbalEd移动移动单位正电荷单位正电荷自自 ab过程中电场力作的功。过程中电场力作的功。说明说明（1 1）电势能的值在零点确定后，不仅与电场有

32、关，还与电荷）电势能的值在零点确定后，不仅与电场有关，还与电荷q0 有关。它是电场和电荷整个系统共有的，它并不直接描述有关。它是电场和电荷整个系统共有的，它并不直接描述电场中某一点的性质电场中某一点的性质. .但电势却与但电势却与q0无关，只决定于场源的情无关，只决定于场源的情况以及场中给定的位置。所以况以及场中给定的位置。所以电势和场强一样是反映电场本身电势和场强一样是反映电场本身客观性质的物理量。客观性质的物理量。（2 2）电势是一个）电势是一个标量标量，在国际单位制中，电势的单位为，在国际单位制中，电势的单位为V。产生电场的电荷分布一旦确定，场中的电势分布就确定。产生电场的电荷分布一旦确

33、定，场中的电势分布就确定。（3 3）电场中各点）电场中各点电势电势的大小与参考点的位置选择有关，但两的大小与参考点的位置选择有关，但两点之间的点之间的电势差电势差与参考位置的选取无关。电势只有相对意义，与参考位置的选取无关。电势只有相对意义，而电势差才有绝对意义。而电势差才有绝对意义。一般地，一般地，如果场源电荷分布在有限空间，则可选取无穷如果场源电荷分布在有限空间，则可选取无穷远处为零电势点。（如果场源电荷分布在无限空间，则只远处为零电势点。（如果场源电荷分布在无限空间，则只有在选取空间某一确定点为零电势点才有意义。）有在选取空间某一确定点为零电势点才有意义。）u 电势叠加原理电势叠加原理a

34、rldq 点电荷的电势点电荷的电势aalEud02014rrqE0 ddrrlrrrqd1420 rq04 Erqua041 1q2q1E2E1r2rP 点电荷系的电势点电荷系的电势PlEEd)(21PPlEud PPlEudPlEEd)(211d4201rrrq 2201104141rqrq 对对n 个点电荷个点电荷:niiiarqu104 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和。这称为在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理电势叠加原理。2d4202rrrq PPlElEdd21对连续

35、分布的带电体：对连续分布的带电体：Qarqu04d 结论结论1q2q1E2E1r2rP半径为半径为R均匀带电球面，所带电量为均匀带电球面，所带电量为q。例例求求 带电球面产生的电势分布带电球面产生的电势分布OR解解 由电荷分布的球对称性，用高斯定理由电荷分布的球对称性，用高斯定理很容易求出电场强度的分布为：很容易求出电场强度的分布为： )41020RrrqRrE（）（ 对球面外一点对球面外一点P：rEuPd 外外 rrrq204d rq041 对球面上一点对球面上一点P：上u对球面内一点对球面内一点P：rEuPd 内内 RRrrErEdd Rrrqd41020 Rq041 均匀带电球面产生的均

36、匀带电球面产生的电势分布为：电势分布为： RrrqRrRqu004141 Rrrq204dRq041OROR半径为半径为R，带电量为，带电量为q 的均匀带电球体的均匀带电球体解解根据高斯定根据高斯定律可得：律可得：求求 带电球体的电势分布带电球体的电势分布例例+RrPRr 3014RqrE Rr 2024rqE 对球外一点对球外一点P：对球内一点对球内一点P1：rEuPd1 内内 RRrrErEdd21)3(82230rRRq rEuPd2 外外 rrrq204d rq04 +RP1求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长带电直线空间中的电势分布的无限长带电直线空间中的电势分布解解 取无穷远为势

37、能零点取无穷远为势能零点例例xE02 PuxxPxd 20 )ln(ln20Px 取取a 点为电势零点，点为电势零点，a 点距离直线为点距离直线为xa )()(daPPlEuxxaPxxd 20 )ln(ln20paxx 0ln , 1 aaxx(场中任意一点场中任意一点P 的电势表达式最简捷的电势表达式最简捷)xuPln20 XO P离带电直线的距离离带电直线的距离xp axa取取均匀带电圆环半径为均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为，电荷线密度为 。解解建立如图坐标系，选取电荷元建立如图坐标系，选取电荷元 dq例例圆环轴线上一点的电势圆环轴线上一点的电势求求lqdd RPOxdqrrqu04

38、dd 2204dxRl RPxRlu202204d 22042xRR 当当x=0 时，即圆环中心时，即圆环中心O 处的电势为：处的电势为：RQuRQp0412 ，此此时时令令当当xR 时，时，xQup041 RPOx（另解（另解 ）由电荷分布，先求出来电场强度的分布由电荷分布，先求出来电场强度的分布ixRQx2/3220)(41 E取无穷远处为电势零参考点取无穷远处为电势零参考点 pplEud xxRQxpd412/3220 pxRxxQ2/3220d4 2/122041xRQ 9.4.3. 场强与电势的关系场强与电势的关系u 等势面等势面电场中电势相等的点连成的面称为等势面。电场中电势相等的

39、点连成的面称为等势面。(1)E(2)电力线指向电势降的方向电力线指向电势降的方向(3) 等势面的疏密反映了电场强度的大小等势面的疏密反映了电场强度的大小等势面等势面u 电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系取两个相邻的等势面，把点电荷从取两个相邻的等势面，把点电荷从P移到移到Q，电场力做功为：，电场力做功为：nqEdlqElEqAdcosdduquuuqAd-)d(dnuEddEnd电场强度的大小等于沿过该点等电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率势面法线方向上电势的变化率某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电

40、场强度的微分关系。场强度的微分关系。 )grad()(ukzujyuixuE在直角坐标系中：在直角坐标系中：QoRr x qd求半径为求半径为R，带电量为，带电量为Q (电荷无规则分布电荷无规则分布)的细圆环轴线上任的细圆环轴线上任意一点的电势和电场强度按轴线的分量意一点的电势和电场强度按轴线的分量xrqu04dd2204dxRqQqxRud41220 xuEx23220)(4xRQx例例解解P2204xRQ9.5 静电场中的导体静电场中的导体 电容电容 9.5.1. 静电场中的导体静电场中的导体 导体内存在大量的自由电荷导体内存在大量的自由电荷. .无外场无外场时时，整个金属的电量代数和为零

41、，呈电，整个金属的电量代数和为零，呈电中性，这时电子只是作无规则的热运动。中性，这时电子只是作无规则的热运动。u 金属导体的金属导体的电结构电结构 当把导体引入场强为当把导体引入场强为E0的外场后，的外场后，导体中的自由电子就在外电场的作用导体中的自由电子就在外电场的作用下，沿着与场强方向相反的方向运动，下，沿着与场强方向相反的方向运动，从而引起导体内部电荷的重新分布现从而引起导体内部电荷的重新分布现象，这就是象，这就是静电感应静电感应。0 内内Eu 静电平衡静电平衡0内E导体是等势体导体是等势体表面是等势面表面是等势面表面表面导体表面导体表面u 处于静电平衡状态的导体的性质处于静电平衡状态的

42、导体的性质(1) (1) 导体的内部处处不带电，电荷只导体的内部处处不带电，电荷只能分布在导体的表面上。能分布在导体的表面上。0d sSE0d ViiVq 证明：在导体内任取体积元证明：在导体内任取体积元Vd由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取0 导体内各处导体内各处F如果有空腔如果有空腔,且空腔中无电荷且空腔中无电荷,则则F如果有空腔如果有空腔,且空腔中有电荷且空腔中有电荷,则则电荷只能分布在外表面！电荷只能分布在外表面！0EVdS+q-在内外表面都分布有电荷！在内外表面都分布有电荷！设设 P 是导体外紧靠导体表面的一点是导体外紧靠导体表面的一点,相应相应的电场强度为的电场强度为),(z

43、yx ),(zyxE表表 sSEd SSSSESEdddd表表0dd SSE 表表0 表表E设导体表面电荷面密度为设导体表面电荷面密度为nE0 表表确定电场强度确定电场强度E 和电荷密度和电荷密度 的关系的关系:+dsE0EPsdn+E( 为导体外法线方向为导体外法线方向)n孤立孤立导体导体+c尖尖端端放放电电CBAAC导体球导体球孤立带电孤立带电Bu 静电屏蔽静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响腔内、腔外的场互不影响)+已知导体球壳已知导体球壳A带电量为带电量为Q ，导体球，导体球B带电量为带电量为q (1) 将将A接地后再断开，电荷和电势的分布；接地后再断开，电荷和电势的分布；解解041414

44、1202020 RqRqRQUAQ 0 QA与地断开后，与地断开后，qQA 10044RqrqUB ArR1R2B-q电荷守恒电荷守恒(2) 再再将将B接地，电荷和电势的分布。接地，电荷和电势的分布。A接地时，内表面电荷为接地时，内表面电荷为-q外表面电荷设为外表面电荷设为Q 例例求求(1)0AUqQQ 外外内内qqQ 外外20100444RqqRqrqUB 0 21211RRrRrRqrRq 204RqqUAB 球的电势球的电势:QArR1R2B-q设设B上的电量为上的电量为q 0 内内EqQ 内内根据孤立导体电荷守恒根据孤立导体电荷守恒(2)导体附近没有其他导体或导体附近没有其他导体或带电

45、体带电体 电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关。带电无关。9.5.2.孤立导体的电容孤立导体的电容 单位单位:法拉法拉( F )Qu “孤立孤立”导体导体uQ孤立导体的电容孤立导体的电容 C + +QuE 物理意义物理意义：使孤立导体每升高单位电势所：使孤立导体每升高单位电势所需的电量。需的电量。 电势为电势为RQu04 RC04 电容为电容为R 求求半径为半径为R 的孤立导体球的电容。的孤立导体球的电容。pF10F10F11269.5.3. 电容器的电容电容器的电容u 电容器电容器BACDqA导体导体B外无带电体：外无带电体： UA

46、，UB与外界导体有关，但与外界导体有关，但UAUB任不受外界影响，且任不受外界影响，且 腔内电场仅由导体腔内电场仅由导体A所带电量所带电量qA以及以及A表面和表面和B内表面形状决定，与内表面形状决定，与外界情况无关外界情况无关导体导体B外有其他带电体：外有其他带电体：ABAqUUA、B两导体构成的整体称为两导体构成的整体称为电容器电容器。电容器的电容电容器的电容BAAUUqC（电容器电容的大小取决于极板的形（电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介状、大小、相对位置以及极板间介质）。质）。d uS+Q-Q00 SQddEdu dSuQC0 (1) 平行板电容器平行板电容器u

47、 电容器电容的计算电容器电容的计算(2) 球形电容器球形电容器R1+Q-Q024 QEr R2204rQE )11(4210RRQl dEuba 122104RRRRuQC ab(3) 柱形电容器柱形电容器R1R2lh)(2210RrRlQhrhE )(2210RrRrlQE 21d20RRrlrQu )ln(2120RRluQC 120ln2RRlQ u 电容器的串连和并联电容器的串连和并联(1) 电容器的串联电容器的串联niqqqq21niUUUUU21nnnUqCUqCUqCUqC ，222111根据电容的定义根据电容的定义121111nCCCC总的电容和每一个电容的关系为总的电容和每一

48、个电容的关系为 电容器电容器串联串联时的时的电容的倒数等于分电容的倒数和电容的倒数等于分电容的倒数和。串联。串联后的电容器的总电容小于原来任一分电容，即容电能力减小后的电容器的总电容小于原来任一分电容，即容电能力减小了，但是它的耐压能力提高了了，但是它的耐压能力提高了。(1) 电容器的并联电容器的并联niqqqqq21niUUUUU21nnnUqCUqCUqCUqC ，222111根据电容的定义根据电容的定义总的电容和每一个电容的关系为总的电容和每一个电容的关系为12nCCCC 电容器电容器并联并联时，时，总电容等于各分电容之和总电容等于各分电容之和虽然总电容虽然总电容增大了，但整个电容器的耐

49、压能力降低了，为了避免被击穿增大了，但整个电容器的耐压能力降低了，为了避免被击穿的危险，连接外电源时，只能选择电容器中最低的耐压值来的危险，连接外电源时，只能选择电容器中最低的耐压值来确定外加电压确定外加电压 9.6 静电场中的介质静电场中的介质 9.6.1.电介质的极化电介质的极化u 电介质电介质:绝缘体绝缘体-+OH+H+H2OH+-+H+H+NNH3（氨）（氨）+-eP+-eP1.1.有极分子电介质有极分子电介质 分子的等效正、负电荷中心分子的等效正、负电荷中心不重合不重合的电介质称为有极的电介质称为有极分子电介质，如分子电介质，如 HCl 、 H2O、CO、SO2、NH3. 等。等。其

50、分子有等效其分子有等效电偶极子电偶极子、它们的电矩称作分子的固有电、它们的电矩称作分子的固有电矩，记作矩，记作Pe。 分子的等效正、负电荷中心分子的等效正、负电荷中心重合重合的电介质称为无极分子电的电介质称为无极分子电介质。其分子的固有电矩介质。其分子的固有电矩 Pe= 0 如所有的惰性气体及如所有的惰性气体及CHCH4 4等。等。 -+HeH+-+H+H+H+CH4（甲烷）（甲烷）CHe+-2.2.无极分子电介质无极分子电介质u 电介质的极化电介质的极化 在外电场作用下，介质中出现电荷集聚的现象在外电场作用下，介质中出现电荷集聚的现象极极化现象化现象。聚集起来的电荷称为。聚集起来的电荷称为极

51、化电荷极化电荷。(无极分子电介质无极分子电介质)(有极分子电介质有极分子电介质)整体对外不显电性整体对外不显电性（热运动）（热运动）v无外场时无外场时v有外场时有外场时0Ep位位移移极极化化0Ep取取向向极极化化 无极分子电介质无极分子电介质 有极分子电介质有极分子电介质束束缚缚电电荷荷束束缚缚电电荷荷r说明说明两种极化的宏观效果一样。两种极化的宏观效果一样。极化电场与外电场方向相反。极化电场与外电场方向相反。各向同性的均匀介质中极化电荷仅出现在介质的表面处。各向同性的均匀介质中极化电荷仅出现在介质的表面处。00 0EEE极化电荷的电场不能完全抵消外电场，除非介质被击穿。极化电荷的电场不能完全

52、抵消外电场，除非介质被击穿。取向极化中也有位移极化。取向极化中也有位移极化。外电场外电场E0 极化极化 介质内电场介质内电场 E 击穿。击穿。9.6.2.电介质中的电场电介质中的电场在外电场作用下，介质中总场在外电场作用下，介质中总场EEE0外电场外电场0E束缚电荷产生束缚电荷产生的附加场的附加场0E 极化电荷产生的电场在电介质内部总是起着极化电荷产生的电场在电介质内部总是起着削弱削弱外电场的作用外电场的作用电电极化强度极化强度PP每个分子的电每个分子的电偶极矩偶极矩VpPii 定义定义V /q/q/E0E 电偶极子排列的有序程度反映了介质被电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度极化的程

53、度, , 排列愈有序，说明极化愈强烈。排列愈有序，说明极化愈强烈。EPe0 实验表明：对于大多数常见的各向同性的电介质，有实验表明：对于大多数常见的各向同性的电介质，有e - 电极化率电极化率说明说明可以证明，均匀介质极化时，其表面上某点的可以证明，均匀介质极化时，其表面上某点的极化电荷极化电荷面密度面密度，等于该处电极化强度在外法线上的分量即，等于该处电极化强度在外法线上的分量即nP P n可以证明，在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度矢可以证明，在电场中，穿过任意闭合曲面的极化强度矢量的通量等于该闭合曲面内极化电荷总量的负值即量的通量等于该闭合曲面内极化电荷总量的负值即SqSP dSq：S

54、面内包含的极化电荷总和面内包含的极化电荷总和 以充满相对介电常数为以充满相对介电常数为 r 的各向同性均匀电介质的平的各向同性均匀电介质的平行板电容器为例行板电容器为例 ,来讨论来讨论E与与E0的关系。的关系。00 0EEE000 E0 E外电场强度：外电场强度： 附加电场强度：附加电场强度： EEpn000介质中总的场强：介质中总的场强： EEEE0000001111EE另另 ，即相对介，即相对介电常数电常数 ，则，则1r01EEr 该式表明，充满电场空间的该式表明，充满电场空间的各向各向同性均匀电介质同性均匀电介质内部的场强大小等于内部的场强大小等于真空中场强的真空中场强的 1/0倍，这一

55、结论虽然倍，这一结论虽然是从无限大平行金属板间充满电介质是从无限大平行金属板间充满电介质的特例中得到，但它的特例中得到，但它适用于任何其它适用于任何其它形状的带电体形状的带电体情形情形 9.6.3.电位移矢量电位移矢量 电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律)(1d00qqSES平行板电容器加入电介质平行板电容器加入电介质(r )，取高斯面，取高斯面S0dqSDS令：令：电位移矢量电位移矢量 通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。荷的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。这一结论这一结论称为有称为有电

56、介质时的高斯定理电介质时的高斯定理。 00 S其中其中 ，带入上式，带入上式SPqd00d)(qSPESPED0讨论讨论+- - - - - - - - -+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -DE r(1) 电位移线电位移线 由于闭合面的电位移由于闭合面的电位移通量等于被包围的通量等于被包围的自由自由电荷电荷，所以，所以D线发自线发自正自正自由电荷由电荷 止于止于负自由电荷负自由电荷。(2)电位移矢量电位移矢量D只是一个只是一个辅助物理量辅助物理量，描写电场性质的，描写电场性质的物理量仍是电场强度荷电势。不难得出，电位移矢量物理量仍是电场强度荷电势。不难得出，电位移矢量D与电场强度与电场强度E间的关系为间的关系为 EED)1 (0: :介电常数介电常数, ,为决定于电介质种类的常数为决定于电介质种类的常数 R1R2例例 导体球置于均匀各向同性介质导体球置于均匀各向同性介质 中中,