电路分析-非线性电路简介

1、19.1 非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性19.2 非线性电阻的串联、并联电路非线性电阻的串联、并联电路19.4 小信号分析方法小信号分析方法19.3 非线性电阻电路的方程非线性电阻电路的方程19.6 非线性电阻电路方程的数值求解方法非线性电阻电路方程的数值求解方法 牛顿牛顿拉夫逊法拉夫逊法19.5 非线性电阻电路解答的存在与唯一性非线性电阻电路解答的存在与唯一性19.7 用友网络模型求解非线性电阻电路用友网络模型求解非线性电阻电路本章重点本章重点19.8 非线性动态电路元件非线性动态电路元件19.9 二阶非线性动态电路的状态方程二阶非线性动态电路的状态方程19.10 非线性动态电路方

2、程的数值求解方法非线性动态电路方程的数值求解方法 本章重点本章重点 非线性电阻电路的方程非线性电阻电路的方程 非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性 小信号分析方法小信号分析方法 返回目录返回目录 非线性动态电路的方程非线性动态电路的方程 非线性动态元件的伏安特性非线性动态元件的伏安特性 非线性动态电路的数值求非线性动态电路的数值求解解19.1 19.1 非线性电阻的伏安特性非线性电阻的伏安特性 一、线性电阻元件（一、线性电阻元件（linear resistor）consttg iuR二、非线性电阻元件（二、非线性电阻元件（nonlinear resistor）+-ui电路符号电路符号 u

3、= f ( i ) i = g ( u )伏安特性（伏安特性（Volt-ampere characteristic） iuPui uiR+- -例例1 隧道二极管隧道二极管 +_uiiu0 给定一个电压，有一个对应的电流；而给定一个电流，给定一个电压，有一个对应的电流；而给定一个电流， 最多可有最多可有3个对应的电压值。即个对应的电压值。即 i = f (u)。称为。称为“压控型压控型” 或或 “ N型型”。例例2 充气二极管充气二极管 +_ui例例3 整流二极管整流二极管 +_ui-ISui伏安特性伏安特性 给定一个电流，有一个对应的电压；而给定一个电压，最多给定一个电流，有一个对应的电压；

4、而给定一个电压，最多可有可有3个对应的电流值。即个对应的电流值。即 u = f (i)。称为。称为“流控型流控型”或或 “ S型型”。b0IS 0b：与电荷、温度有关：与电荷、温度有关 IS：反向饱和电流反向饱和电流 式中式中ui0伏安特性伏安特性 iu三、非线性电阻的静态电阻三、非线性电阻的静态电阻 RS 和动态电阻和动态电阻 Rd 静态电阻（静态电阻（static resistance）动态电阻（动态电阻（dynamic resistance） iuP0 （1）静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当）静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点位置点位置不同时，不同时，RS 与与 Rd 均变化。

5、均变化。 （2） RS反映了某一点时反映了某一点时 u 与与 i 的关系，而的关系，而 Rd 反映了在反映了在 某一点某一点 u 的变化与的变化与 i 的变化的关系，即的变化的关系，即 u 对对i 的变化率。的变化率。 （3）对）对“S”型、型、“N”型非线性电阻，下倾段型非线性电阻，下倾段 Rd 为负，为负， 因因此，动态电阻具有此，动态电阻具有“负电阻负电阻”性质。性质。ui0ui0说明说明 含有非线性电阻的电路都是非线性电路。含有非线性电阻的电路都是非线性电路。 KCL和和KVL对非线性电路都适用。对非线性电路都适用。 注意：注意： 叠加定理对非线性电路是不成立的。叠加定理对非线性电路是

6、不成立的。 返回目录返回目录19.2 19.2 非线性电阻的串联、并联电路非线性电阻的串联、并联电路一、非线性电阻的串联一、非线性电阻的串联2121uuuiii 在每一个在每一个i 下，图下，图 解解法求法求 u，得一个交点，将，得一个交点，将一系列交点连成曲线即得一系列交点连成曲线即得串联等效电阻的伏安特性串联等效电阻的伏安特性 （仍为非线性）。（仍为非线性）。u i 0)(1iu)(2iu)(iu1u 2u i21uuu i1i+ + -+ u)(2iu)(1iui2 串联电路电流相等，总串联电路电流相等，总 电压等于各分电压之和。电压等于各分电压之和。二、非线性电阻的并联二、非线性电阻的

7、并联 同一电压下将电同一电压下将电 流流 相加可得并联等相加可得并联等 效电阻的伏安特性效电阻的伏安特性 。iuo1i 2i i 1i u )(ui)(1ui)(2ui2121uuuiii i+ + -+ ui1i2u1u2 并联电路电压相等，总并联电路电压相等，总 电流等于各分电流之和。电流等于各分电流之和。u= f (i) P工作点（工作点（operating point） 三、含有一个非线性电阻元件电路的求解三、含有一个非线性电阻元件电路的求解 用用图解法图解法求解非线性电路（求解非线性电路（nonlinear circuit） uSPI0u1u2I0uSu1= iR1 u2= f2(i

8、) u2u1u1=iR1，u2 = f2(i) u= f(i)u i 0+u1_+_u2i+_uSR1R2+_uiRUu1S2 其特性为一直线。其特性为一直线。 线性线性含源含源电阻电阻网络网络i+-u2ab也可先用也可先用戴维南等效电路化简，戴维南等效电路化简，再用图解法求解。再用图解法求解。 两曲线交点两曲线交点 Q即为即为所求解答所求解答 ，u1则则可由下式求得：可由下式求得：），（02iu011iRu ai+-u2bR1+US-+u12uuiUS0i1SRU) , (02iuQu2=f(i)0返回目录返回目录建电路方程建电路方程元件性能元件性能 非线性非线性 电路的连接电路的连接 KC

9、L，KVL 例例1 已知已知i1 = u1 , i2 =u25, i3 =u33 ，求，求 u 。 i1+i2+i3=0 u1+u25+u33=0 u- -2+(u- -1)5+(u- -4) 3=0 u 19.3 19.3 非线性电阻电路的方程非线性电阻电路的方程 非线性电阻是压控电阻，非线性电阻是压控电阻，列列KCL非线性代数方程非线性代数方程 +_2V+_1V+_4VR1R2R3+_u1+_u2+_u3i1i2i3u5155314433315105UIUIUI 例例2 G1和和G2为线性电导，非线性电阻为压控电阻。列为线性电导，非线性电阻为压控电阻。列 节点方程。节点方程。解解 000S

10、24543321 IIIIIIIII+-2I2G3U4USU1G5USI1nU2nU3nU-3I1I5I4I512n5/155313n2n3/14432n1n3333n1n22S1n111515)(1010)(55)()(UUIUUUIUUUIUUGIUUGI 则节点方程为则节点方程为 0)()(10015)(10)(50)(5)()(S3n1n2313n2n512n313n2n32n1n32n1n3n1n2S1n1 IUUGUUUUUUUUUUUGUUG+-2I2G3U4USU1G5USI1nU2nU3nU-3I1I5I4Ii3=il2 u3=u 020)()(312212S21211 ll

11、lllliiiRUiiRiR例例3 已知已知 u3 =20 i31/3, 求节点电压求节点电压 u 。 +- -3uSUR1u1i1R2u2- - -i2i3il1il2u非线性电阻为流控型电阻，非线性电阻为流控型电阻， 则则列列 KVL方程。方程。 也可以先将线性部分做戴维南等效也可以先将线性部分做戴维南等效 其中其中 U0= US R2 /(R1+R2) , R=R1R2 /(R1+R2) 由此得由此得 U0 =R i3 +20 i31/3 i3u3=u R1R2R3US+_u3i3RR3U0+_u3i3u3 =20 i31/3 返回目录返回目录 已知图中已知图中Us为直流电源，为直流电源

12、，us(t) 为为交流小信号电源，交流小信号电源，Rs为线性电阻，任为线性电阻，任 何时刻何时刻US | uS(t) |。非线性电。非线性电 阻的阻的伏安特性为伏安特性为 i = g(u)。求。求 u(t) 和和 i(t)。19.4 19.4 小信号分析（小信号分析（small-signal analysissmall-signal analysis）方法）方法 由由KVL 得方程得方程 -+iuRSuS(t)Us-分析：分析： 第一步：不考虑第一步：不考虑 uS(t) ，即，即 uS(t)=0，US作用。作用。P点称为静态工作点，表示电路没有小信号时的工作情况。点称为静态工作点，表示电路没有

13、小信号时的工作情况。 I0，U0 同时满足同时满足i=g(u)US= RSi+ uI0=g(U0) US= RS I0 + U0 即即 用图解法求用图解法求 u(t) 和和 i(t)。 iui=g(u)I0U0USUS/RSPORSRUS+_ui第二步：第二步： US 0 ， uS(t) 0 | uS(t) | US u(t) 和和 i(t)必定在工作点附近。必定在工作点附近。 可以写成可以写成u(t) = U0 + u(t)i(t) = I0 + i(t)（ u(t) 和和 i(t)为信号电压引起的为信号电压引起的 偏差偏差 ， 相对于相对于U0和和I0是很小的量）是很小的量）几何意义：用过

14、几何意义：用过P点的切线代替曲线。点的切线代替曲线。 由由 i=g(u) )()(00tuUgtiI I0 = g(U0)()(dd)(00dtuGtuugtiUU 得得 泰勒（泰勒（Taylor）级数展开，取线性项。）级数展开，取线性项。 )(dd)(00tuugUgU US+ uS(t )= RS I0 + i(t) + U0 + u(t) 得得 US= RSI0 + U0 直流工作状态直流工作状态 )()( )(1)()()()(dSdSSStiRtiRtiGtiRtutiRtu 上式表示工作点处由小信号产生的电压和电流的关系。上式表示工作点处由小信号产生的电压和电流的关系。 代入方程代

15、入方程 将将 u(t) = U0 + u(t) i(t) = I0 + i(t) u(t)=uS(t) Rd /(RS+Rd) i(t)= uS(t)/(RS+Rd) 即可求出工作点处由小信号产生的电压和电流。即可求出工作点处由小信号产生的电压和电流。 ，画小信号工作等效电路。，画小信号工作等效电路。 )()()(dSStiRtiRtu 据式据式+_uS(t)RS+_ u (t) i(t)001UUddGR 得得 第三步：电路中总的电压和电流是两种情况下的代数和。第三步：电路中总的电压和电流是两种情况下的代数和。 u(t) = U0 + u(t) i(t) = I0 + i(t) 讨论讨论：分

16、析时分两步：分析时分两步 uS(t)=0 ，US 0 US 0 ， uS(t) 0 叠加叠加 结论：非线性电路叠加原理不适用。结论：非线性电路叠加原理不适用。 例例 已知已知 e(t)=7+Emsinw w t V，w w=100rad/s， Em - I0 时时 有唯一解有唯一解 当当 IS C 0 u = f (i) 0d)(ddd iifiu伏安特性伏安特性 严格渐增严格渐增 非线性电阻电路有唯一解的一个定理非线性电阻电路有唯一解的一个定理 （1）电路中的每一电阻的伏安特性都是严格递增的，且）电路中的每一电阻的伏安特性都是严格递增的，且 每个电阻的电压每个电阻的电压 u 时，时，电流分别

17、趋于电流分别趋于 。 （2）电路中不存在仅由独立电压源构成的回路和仅由独）电路中不存在仅由独立电压源构成的回路和仅由独 立电流源构成的割集。立电流源构成的割集。u1u2i1i2ui0返回目录返回目录19.6 19.6 非线性电阻电路方程的数值求解方法非线性电阻电路方程的数值求解方法 牛顿牛顿- -拉夫逊法（拉夫逊法（Newton-RaphsonNewton-Raphson Algorithm Algorithm） 一、具有一个未知量的非线性代数方程求解一、具有一个未知量的非线性代数方程求解 0 xf(x) x 设方程设方程 f(x) = 0 解为解为x*，则则f(x *) = 0 。x*为为

18、f(x) 与与 x 轴交点。轴交点。基本思路基本思路：线性化。：线性化。具体做法具体做法：有指导的猜试、：有指导的猜试、迭代。迭代。 0)( 0 xf设设 x0f(x0) = 0 x0 就是解就是解 0)( 1 xf设设 x1 f(x1) = 0 x1 就是解就是解 f(xk) 停止停止 实际处理实际处理: xk xk-1 xk 就是解。就是解。 利用牛顿利用牛顿-拉夫逊法求拉夫逊法求x* 步骤如下。步骤如下。 （1） 选取一个合理值选取一个合理值x0，称为迭代初值。此时，称为迭代初值。此时x0 一一 般与般与 x* 不等。不等。 （2） 迭代迭代 。 取取x1 =x0+ x0 作为第一次修正

19、值，作为第一次修正值， x0 充分小。充分小。将将 f ( x0+ x0 ) 在在 x0 附近展开成台劳级数：附近展开成台劳级数： 20220000)(! 21)()(00 xdxfdxdxdfxfxxfxx)()(000001xfxfxxxx （3）若）若 xk+ +1 xk 则则 xk+ +1 就是方程的解就是方程的解 x* 。 , 3 , 2 , 1 , 0)()(1 kxfxfxxkkkk迭代公式迭代公式 )()(dd)(0dd)(00000000 xfxfxfxfxxxfxfxx 几何解释：几何解释： 将将 f(x) 在在 x0 处线性化。处线性化。取线性部分，并令取线性部分，并令)

20、()(1kkkkxfxfxx xk+ +1 - xk k=k+1k=0 x0No Yes x* * =xk+ +1 程序流程程序流程 1x2x)x(f1)x(f00 xf(x) x)(2xf0 x001xxx )()(000 xfxfx )()( 111112xfxfxxxx 叠代过程的几何解释：叠代过程的几何解释： 收敛性：与函数本身有关，与初值有关。收敛性：与函数本身有关，与初值有关。 切线切线 解：列节点方程解：列节点方程n2n31S32n2UUIIIRU 0237n2n UU237)( n2nn UUUf令令。求求已知：已知：n3233321S 2)( 3 ,A2 UUUUfIRI 例

21、例 +IS1UnI3U3R2)()(nnnkkkUfUfU 取取 ，迭代结果如下表。，迭代结果如下表。00n U )()(nnnnn1nkkkkkkUfUfUUUU 3722372237n2nnn2nn kkkkkkUUUUUUnnnnnd ()7()2d3kkkUf UfUUU kUnk)(nkUf012340-20.857140.734690.675630.032950.666690.000090.666670.00001经四次迭代后，得经四次迭代后，得000001. 0)(V00002. 0V 66667. 0nnn UfUU注意：初估值选择不好会产生振荡注意：初估值选择不好会产生振荡

22、（迭代不收敛）。（迭代不收敛）。237)( n2nn UUUf 3722n2n1n kkkUUU二、具有多个未知量的非线性方程组的求解二、具有多个未知量的非线性方程组的求解设设 n 个未知量个未知量n21 , , ,xxx0) , , ,( 0), , ,(0), , ,(n21nn212n211 xxxfxxxfxxxf一般表示为一般表示为 n , , 2 , 10) , , ,(n21 jxxxfj设第设第 k 次迭代时次迭代时 n , , 2 , 1 ) , , ,(n21 jxxxffkkkjkj若若 ，则则 即为所求的一组解答。即为所求的一组解答。0 kjf) , , ,(n21kk

23、kxxx下面分析每次修正值下面分析每次修正值 xj ( j=1，2，n)的计算的计算 对对 先选一组初估值先选一组初估值 进进 行第一次计算，然后不断修正，进行迭代运算。行第一次计算，然后不断修正，进行迭代运算。）（0n0201 , , ,xxx）（n21 , , ,xxx若若 ，则进行修正，则进行修正，寻找寻找 0 kjf) , ,(1n1211 kkkxxx) ,( ,22111122121111knknkkkkjkjknknknkkkkkkxxxxxxffxxxxxxxxx 将将 在在 xik 附近附近展成台劳级数，取线性部分，并令其展成台劳级数，取线性部分，并令其 等于零，等于零， 得

24、得1 kjfkjnikikijnikikijkjkkjkkjkkjkjkjfxxfxxffxxfxxfxxfff 11nn22111 0 1,2, , jn 简记为：简记为： J 称为称为雅可比矩阵雅可比矩阵 ) 111kkkkkkkkFJXXFXXJ ( 1XXkk 得方程组的解得方程组的解 X k +1 kkkkkkkfffxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfn21n21nn2n1nn22212n12111 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：返回目录返回目录19.7 19.7 用友网络模型求解非线性电阻电路用友网络模型求解非线性电阻电路 基本思想：基本思想： 找出由找出由k次迭代值求第

25、次迭代值求第k+1次迭代值的线性化模型。次迭代值的线性化模型。i = f ( u ) 令令 uk， uk+1 分别为第分别为第 k 次和第次和第 k+1 次的电压初值，其次的电压初值，其 对应的电流分别为对应的电流分别为)( ),(11 kkkkufiufi+ui与牛顿法的区别：与牛顿法的区别： 牛顿法：对非线性方程不断线性化。牛顿法：对非线性方程不断线性化。 友网络：对非线性电阻伏安特性不断线性化。友网络：对非线性电阻伏安特性不断线性化。 把把 在在 处展开成台劳级数处展开成台劳级数，)(11 kkufiku 22211dd! 21dd)( )()(kukukkkkkuufuufufuufu

26、fikk取线性部分，即将非线性电阻在取线性部分，即将非线性电阻在 处线性化处线性化， kukkkkkkkkkkukkuGuGiuuGufuufufikd1d1d1 )()( dd)( 式中式中 为非线性电阻在为非线性电阻在 点处的动态电导。点处的动态电导。 ),(kkiukkuukuiufGdddd d 得得 得得 将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型将电路中所有非线性电阻分别用各自的线性化模型 代替，就可得到和原电路对应的代替，就可得到和原电路对应的“友网络模型友网络模型”。逐次。逐次 迭代计算，即可得到所要求的解。迭代计算，即可得到所要求的解。 非线性电阻在第非线性电阻在第 k+1

27、 次迭代时的次迭代时的“线性线性 化化”模型。模型。kkkkkkuGuGiid1d1 1 kikkkuGid kGd+1 ku-在进行第在进行第 k+1 次迭代时，次迭代时， 是已知的。是已知的。kkkkGuufid,),( 上述关系可用如下等效电路来描述上述关系可用如下等效电路来描述： 解解 画出友网络模型。画出友网络模型。1 kikkkuGid kGd1 kuS1i2R+-unk +1。求求已知：已知：n3233321S 2)( 3 ,A2 UUUUfIRI 例例 +-IS1UnI3U3R2列节点方程（列节点方程（ k+1次迭代时次迭代时）：）： )()1(nd1S1nd2kkkkkUGi

28、iUGR kkkuuun2n1n2372 将上述关系代入将上述关系代入 前前 式，得式，得 2222ddn333d3 kkukuuuiGk已知已知 ,23233uui A2 ,31S2 iR。时时，得得方方程程解解nn1n uuukk u2i22几何解释几何解释 ui0u0i00u1i11P切线切线 小结小结 （1） 友网络是非线性电阻电路第友网络是非线性电阻电路第k+1次迭代计算时的线次迭代计算时的线 性性化模型，是线性电路。化模型，是线性电路。 （2）友网络模型和非线性电阻电路具有相同的拓扑结构，）友网络模型和非线性电阻电路具有相同的拓扑结构，每次迭代时拓扑结构不变，仅需改变非线性电阻线性

29、化参数值。每次迭代时拓扑结构不变，仅需改变非线性电阻线性化参数值。返回目录返回目录19.8 19.8 非线性动态电路元件非线性动态电路元件一、非线性电容一、非线性电容: q与与u 的关系不成正比的关系不成正比a. 压控电容压控电容 q = f ( u ) q可以用可以用u的单值函数表示，的单值函数表示，b. 荷控电容荷控电容 u = h(q ) u可以用可以用q的单值函数表示，的单值函数表示，c. 单调型单调型ui+- -q1. 分类分类 2. 非线性电容的静态电容非线性电容的静态电容CS 和动态电容和动态电容Cd uquq库伏特性库伏特性 p静态电容静态电容动态电容动态电容3. 压控电容压控

30、电容 q = f (u) 的的u、i 关系关系 tuuCtuuuftuftqiddd)(ddd)(dd)(ddd Cd 为动态电容，是电压为动态电容，是电压u的函数的函数 4. 非线性电容的储能非线性电容的储能 QtCtutuiW0-dd0quQ5. 非线性电容示例非线性电容示例LRCU0+_uS25 . 0 kuq 非线性电容特性非线性电容特性020000)5 . 0(dddd)(kUkukuuuquCUUUUd 改变工作点改变工作点U0即可改变即可改变Cd以达到谐振。以达到谐振。二、非线性电感二、非线性电感: 与与i 的关系不成正比的关系不成正比a. 流控电感流控电感 = h(i ) 可以

31、用可以用i 的单值函数表示，的单值函数表示，b. 链控电感链控电感 i =f( ) i可以用可以用 的单值函数表示，的单值函数表示，c. 单调型单调型ui+- -1. 分类分类 2. 非线性电容的静态电容非线性电容的静态电容CS 和动态电容和动态电容Cd i i 链流特性链流特性 p静态电感静态电感动态电感动态电感3. 流控电感流控电感 = f (i) 的的u、i 关系关系 ddd ( )d ( ) dd( )dddddf if iiiuL ittitt Ld 为动态电感，是电流为动态电感，是电流i的函数的函数 4. 非线性电感的储能非线性电感的储能 000ddddd itittuiWttL0

32、i 返回目录返回目录一、一、动态电路的状态方程动态电路的状态方程19.9 19.9 非线性动态电路的状态方程非线性动态电路的状态方程),(dd),(dd21222111txxftxtxxftx 若方程右端函数项不显含时间变量若方程右端函数项不显含时间变量t ),(dd),(dd21222111xxftxxxftx 上述方程称为自治方程，对应电路称为上述方程称为自治方程，对应电路称为自治电路（自治电路（autonomous circuit）。）。自治自治(autonomous)方程：方程：凡电路元件参数不随时间变化，在恒凡电路元件参数不随时间变化，在恒定激励或零输入情况下电路的状态方程都是自治方

33、程。定激励或零输入情况下电路的状态方程都是自治方程。非自治非自治(nonautonomous)方程：方程：凡电路元件参数随时间变化凡电路元件参数随时间变化和有参数随时间变化的的激励（如正弦激励）的电路和有参数随时间变化的的激励（如正弦激励）的电路的状态方程都是非自治方程。的状态方程都是非自治方程。二、二、动态电路状态方程的列写动态电路状态方程的列写例例1LRC+_uS+_uCi3)( bafi L为链控电感为链控电感解：取解：取uC与与 为状态变量为状态变量 3S3Sdd ()CLCCiiabuuRiutuR abu 状态方程为状态方程为33SddddCCuabtCCuaRbRut S3d10

34、0d1d1dCCuutuCabRt 写成矩阵形式：写成矩阵形式：例例R5+_iS+_uLi2R4i1i3i5i4+_uC1uC2)()()(333222111 fiqfuqfuLCC 列写状态方程，以列写状态方程，以q1、q2、 3为状态变量为状态变量 。 312123ddd,dddqqiiuttt 1143S33S1133442235333322553121122d1()()()dd1()()()dd()()dCsCCCuqiiiifif qftRRuqiifff qtRRuuf qf qt 解解 写成矩阵形式：写成矩阵形式：1411222S53331d01d()1d101()0d()0d110dqRtf qqf qitRft 返回目录返回目录19.10 19.10 非线性动态电路方程的数值解法非线性动态电路方程的数值解法非线性动态电路的方程一般为非线性微分方程，一般非线性动态电路的方程一般为非线性微分方程，一般难以用解析的方法求解，多采用数值解法。难以用解析的方法求解，多采用数值解法。1. 前向欧拉法前向欧拉法（forward Eulars method）1 ktkt1 kxkxt0 x设有一阶微分方程设有一阶微分方程:00d( , )d( )( , ),xf x tatbtx txf x tx t （初初始始条条件件）是