单倒置摆控制系统的状态空间设计

1、现代控制理论基础期中作业 题 目： 单倒置摆控制系统的状态空间设计及matlab仿真 2012 年 5 月 11 日单倒立摆控制系统的状态空间设计和仿真摘要倒立摆是研究控制理论的典型实验平台。由于倒立摆系统本身所具有的不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定，并且可以承受一定的干扰，设计状态反馈控制器的方法进行系统性能的改良，使满足一定的性能的指标。abstractsummary: experimental platform

2、 for classic inverted pendulum is the study of control theory. due to the inverted pendulum by instability of the system itself, more variable and nonlinear strong-coupling characteristics and many researchers of modern control theory has been regarded as typical of the subjects it, continue to iden

3、tify new control strategy and control methods. controller design of inverted pendulum system is the core content, because the inverted pendulum is a system of absolute instability, to keep it stable, and can withstand a certain amount of interference, state feedback controller design method for impr

4、ovement of system performance, to meet certain performance targets.第一章 绪论1. 单倒立摆是日常生活中许多重心在上、支点在下的控制问题的抽象模型，对倒立摆系统的控制就是使小车以及摆杆尽快地达到预期的平衡位置，而且还要使它们不会有太强的振荡幅度、速度以及角速度，当倒立摆系统达到期望位置后，系统能克服一定范围的扰动而保持平衡。作为一种控制装置，它具有形象直观、结构简单、便于模拟实现多种不同控制方法的特点，倒立摆的应用背景为火箭、导弹等发射前的稳定性控制模型。单级倒立摆系统的控制对象是一个单输入和多输出的非最小相位系统，对倒立摆系

5、统进行控制的方法有很多，常见的有以下几种：2.（1）常规pid控制：通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出非线性模型，在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，就可以设计出pid控制器来实现其控制。（2）自适应控制：采用设计出自适应控制器的方法对倒立摆进行控制。（3）模糊控制：首先确定基本语言值，接着确定语言值的隶属函数，在隶属函数建立后，就可以建立模糊控制规则，它主要是依据人的传统控制经验和直觉推理来建立的，主要采用了“if-then”规则以及连接词 and、or和also等。完成了上述步骤后，就基本上建立了倒立摆系统的模糊控制器，给定输

6、入后，经过模糊控制规则的作用后，就产生了输出，当然必须对输出进行解模糊化，才能得到我们所需要的能够直接作用于被控对象的信号。除了上述一些控制方式外，还可以采取将不同控制算法相结合的方法，例如模糊自适应控制、模糊神经网络控制等。3. simulink是matlab环境下的模拟工具，通过建立倒立摆系统的数学模型,应用状态反馈控制配置系统极点设计倒立摆系统的控制器,实现其状态反馈,从而使倒立摆系统稳定工作。在倒立摆的控制研究试验过程中,以状态空间表达式形式建立倒立摆数学模型,采用matlab控制工具箱直接对倒立摆进行控制设计和仿真,之后在simulink环境下建立倒立摆的控制仿真模型,将通过matl

7、ab控制工具箱设计的控制参数直接运用到simulink仿真模型中,通过matlab设计平台,大大加快了倒立摆系统的建模、控制仿真设计和实现过程。第二章 倒立摆模型的数学建模 因为倒立摆系统本身是一个自不稳定的系统，因此实验建模存在一定的困难。然而，经过谨慎的假设，忽略掉一些次要因素。此课题中忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。能使倒立摆系统成为一个典型的运动的刚体系统，使之在惯性坐标系内应用经典力学理论就能建立系统的动力学方程。单倒置摆系统的原理图如图1所示，设摆长为l，质量为m，用铰链安装在质量为m的小车上，小车由直流电动机拖动，设小车瞬时位置为z，倒摆置

8、出现的偏角为。 图1 单倒置摆系统的原理图分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。 现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析： (1) 对小车有： (1)(2)对摆心有： 水平方向上运动为 故水平方向受力为 (2)由(1)、(2)两式得 (3) 摆心垂直方向上位移为 故受力为 即 (4)由(2)、(4)两式得: （5）故由(3)、(5)可得以下运动方程组： 以上方程组为非线性方程组，故需做线性化处理。由于：控制目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可认为、均接近零，此时sin，1

9、，且可忽略，故线性化后运动方程组简化为 解方程组，可得 （6） （7） 消去中间变量，可得输入量为u、输出量为z的微分方程为 （8）第三章 进行系统状态空间方程的求解：以摆角、角速度、小车位移z、速度作为系统状态变量，y为输出，u为输入，以及考虑，以及式（6）、（7）、（8），可列系统的状态空间表达式为： （9a） (9b) 式中 为方便研究，假定系统的参数m=1kg,m=0.1kg,l=1m,则系统状态方程中参数矩阵为： ,， （10）此时倒置摆的状态空间模型表达式为： （11） 其系统的结构图如下：图2 单倒置摆开环系统结构图四 被控对象特性分析1. 能控性分析根据能控性的秩判据，并将式（

10、11）的有关数据带入该判据，可得 （12）因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态转移到零。 代码：a=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;n=size(a);n=n(1);sys0=ss(a,b,c,d);s=ctrb(a,b);f=rank(s);if f=ndisp(系统能控)elsedisp(系统不能控)end结果： 2. 稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为 （13） 解得特征值为0,0，-。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆

11、系统，即被控系统不稳定的。用matlab仿真结果： 图3 单倒置摆开环系统的个变量的阶跃响应曲线由上图可知倒摆的开环响应不稳定，不能到达控制目的。因此须对被控系统进行反馈综合，使4个特征值全部位于根平面s左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。下面设计两种控制器方案来使系统到达控制的目的。五 方案设计 采用全状态反馈。取状态变量z、为反馈信号，状态控制规律为 （14） 设 式中，分别为z、反馈至参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为 设置期望闭环极点为-1，-2，-1+i,-1-i由matlab可求得： =-0.4，=-1，=-21.4，=-6状态反馈系统结构

12、图如下图：图4 单倒置摆全状态反馈系统结构图用matlab仿真结果:图5 单倒置摆全状态反馈的阶跃响应曲线如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。观察仿真曲线：单位阶跃的作用下，输出变量逐渐趋于某一常数，状态变量则是逐渐趋于0。当参考输入v单位阶跃时，状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定，这时摆杆回到原始位置（即=0），小车也保持稳定（即z=某一常数）。方案一：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、的信息。因此，需要设置z、的4个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测

13、装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信号，从而使状态反馈在实际中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。（1）判定系统状态的能观测性将式（11）中的数值代入能观测性秩判据，得： （15）可见被控系统的4个状态均是可观测的，即意味着其状态可由一个全维（四维）状态观测器给出估值。 其中，全维观测器的运动方程为 （16） 式中 全维观测器已g配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。全维观测器的特征多项式为 （17） 设置状态观察器的期望闭环极点为-2，-3，-2+j,-2-j。则期望特征多项式为 （18）令（17）与（18）同次项的系数相等，可求得 =9，

14、=42，=-148，=-492由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状态变量估计值至少以规律衰减。状态反馈系统结构图如下图图5 单倒置摆全反馈的全维观测器的结构图仿真：代码：a=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0; v=obsv(a,c);m=rank(v);if m=4disp(系统能观)elsedisp(系统不能观)end结果1：仿真状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线为注：“”表示z的阶跃响应； “”表示的阶跃响“”表示的阶跃响应； “”表示的阶跃响应； 系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误

15、差曲线图6 带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线由上图可知，全维状态观测器观测到的4个变量的阶跃响应曲线与全状态反馈时的阶跃响应曲线基本相似，但是二者还是有误差的，只不过误差很小（如系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线图6所示，它们的误差都在级别的，很小），全维状态观测器所得的性能基本满足要求。方案二：降维观测器的设计 由于系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（3维）状态的观测器。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说，将z作为第四个状态变量，则按照被控系统的状态和输出方程可变

16、换为： （19） 简记为 （20）式中 ，, ,单倒置摆三维子系统动态方程为 （21） （22）降维状态观测器动态方程的一般形式为 （23） （24）式中，使用matlab可求出降维状态观测器特征多项式为 （25）设期望的观测器闭环极点为-3，期望特征多项式为 （26）令式（25）和式（26）同次项的系数相等，解得=7，=-28， =-92所以由matlab的仿真可得降维观测器的动态方程为 （27） （28）使用降维状态观测器实现状态反馈的的单倒置摆系统结构图如图7所示图7 单倒置摆全反馈的降全维观测器的结构图仿真：代码：a=0,-1,0,0;0,0,1,0;0,11,0,0;1,0,0,0;

17、b=1;0;-1;0;c=0,0,0,1;d=0;n=size(a);n=n(1);sys=ss(a,b,c,d);s=ctrb(a,b)f=rank(s);if f=ndisp(系统能控)elsedisp(系统不能控)endv=obsv(a,c);m=rank(v);if m=ndisp(系统能观)elsedisp(系统不能观)endp_s=-1,-2,-1+i,-1-i;k=acker(a,b,p_s);syms h0 h1 h2syms sh=h0;h1;h2;a11=0,-1,0;0,0,1;0,11,0;a12=0;0;0;p=-3,-2+i,-2-i;a22=0;a21=1,0,0

18、;eq=collect(det(s*eye(3)-(a11-h*a21),s)systemeq=expand(s-p(1)*(s-p(2)*(s-p(3)h0,h1,h2 =solve(h0=7,-11-h1=17,-11*h0-h2=15)h=h0;h1;h2;aw=(a11-h*a21)b1=1;0;-1;b2=0;bu=b1-h*b2by=(a11-h*a21)*h+a12-h*a22结果：系统能控系统能观eq =s3+h0*s2+(-h1-11)*s-h2-11*h0systemeq =s3+7*s2+15+17*sh0 =7h1 = -28 h2 = -92 aw = -7, -1,

19、 0 28, 0, 1 92, 11, 0bu = 1 0 -1by = -21 104 336其中，aw、bu、by分别为降维观测器的动态方程中w、u、的系数矩阵。仿真结果:（1）降维状态观测器时，变量z以及变量的阶跃响应曲线（2）降维状态观测器时，变量以及变量的阶跃响应曲线 分析比较两种设计方案的性能比较两种不同的观测器下的发现：在单位阶跃的作用下，变量z在降维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间要小于全维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间。即小车的水平位置z在降维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能较全维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能要好一些，它们的稳态性能则基本一致。在单位阶跃的作用下，变量在降维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间要小于全维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间，但是降维观测器下的单位阶跃曲线的超调量大于全维观测器下的单位阶跃曲线的超调量，即倒置摆出现的偏角在降维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能比全维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能要好一些，同样二者稳态性能则基本一致。 结论分析两种状态观测器下的单倒置摆全状态反馈系统的变量的单位阶跃响应，可知降维状态观测器下的变量单位阶跃响应曲线的动态性能比全维状态观测器下的