因式分解经典题及解析

1、2021组卷i.在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比方配方法例如，如果要因 式分解x2+2x- 3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们 可以采用下面的方法：x2+2x - 3=x2+2 X x X 1+11 - 3=(x+1 ) 2 - 22=* 解决以下问题：(1) 填空：在上述材料中，运用了_的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；(2) 显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x- 3;(3) 请用上述方法因式分

2、解x2 - 4x- 5 2 请看下面的问题：把 x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和( x2) 2+ (22) 2的形 式，要使用公式就必须添一项 4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4- 4x2= (x2+2)2 - 4x2= ( x2+2) 2 -( 2x) 2= (x2+2x+2) (x2 - 2x+2)人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做 热门定理请你依照苏菲？热门的做法， 将以下各式因式分解.(1) x4+4y4; (2) x2 - 2ax- b2

3、 - 2ab.3 .下面是某同学对多项式(x2- 4x+2) ( x2- 4x+6) +4进行因式分解的过程.解：设 x2- 4x=y原式=(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2- 4x+4) 2 (第四步)答复以下问题：(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的 .A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式(2) 该同学因式分解的结果是否彻底 .(填 彻底或不彻底)假设不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .(3) 请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x) (x2-2x+2) +1进行

4、因式分解.4.找出能使二次三项式 x2+ax- 6可以因式分解(在整数范围内)的整数值 a,并且将其进 行因式分解.5 .利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.6关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多 项式因式分解.7 .多项式(a2+ka+25)- b2，在给定k的值的条件下可以因式分解请给定一个k值并写出因式分解的过程.&先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2 ( x2+4x+5)(提公因

5、式，得到一个二次项系数为1的二次多项式)=2 ( x2+4x+22 - 22+5)=2 (x+2) 2+1(将二次多项式配方)=2 ( x+2) 2+2(去掉中括号)因为当x取任意实数时，代数式 2 (x+2) 2的值一定是非负数，那么2 (x+2) 2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x=- 2时，原式有最小值 2.请仿照上例，说明代数式-2x2- 8x- 10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么.9 .老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述: 甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1 ;丙：这个多项式的各项有公

6、因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；假设这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.10.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2 (x- 1)(x-9)，而乙同学看错了常数项，而将其分解为2 (x- 2) (x- 4)，请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.11 .观察李强同学把多项式(x2+6x+10) ( x2+6x+8) +1分解因式的过程: 解：设x2+6x=y，那么原式=(y+10) (y+8) +12=y2+18y+81 =(y+9) 2 =(x2+6x+9)(1 )答复以下问题：这位同学的因式分解是否彻底？假设

7、不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：.(2) 仿照上题解法，分解因式：(x2+4x+1) (x2+4x - 3) +4 .12. (1)写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解)(2)阅读以下分解因式的过程，再答复所提出的问题：1+x+x (x+1) +x (x+1)= (1+x) 1+x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)=(1+x) 3 上述分解因式的方法是 ，由到 这一步的根据是 ; 假设分解 1+X+X (X+1) +X( X+1) x2 2ax b2 2ab, =x2 2ax+a2 a2 b2 2ab,=(

8、x a) 2( a+b) 2,=(x a+a+b) (x a a b),=(x+b) (x 2a b).点评：此题考查了添项法因式分解，难度比拟大.+x(x+1) 2006，结果是 _ ； 分解因式：1+X+X (x+1) +x (x+1 ) 2+x(x+1) n (n 为正整数).13 阅读下面的材料并完成填空：因为(x+a) (x+b) =x2+ (a+b) x+ab，所以，对于二次项系数为 1的二次三项式x2+px+q的 因式解，就是把常数项 q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a, b两数满足 a - b=a+b=p，那么有x2+px+q= (x+a) (x+b) 如分解因

9、式x2+5x+6.解：因为 2X 3=6 2+3=5,所以 x2+5x+6= (x+2) (x+3).再如分解因式x2- 5x- 6.解：因为6X 1=- 6, 6+1= - 5,所以 x2 5x 6= ( X 6) (x+1).同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.因式分解：(1) x2+7x+12; (2) x2 7x+12; ( 3) x2+4x 12; (4) x2 x 12.1.请看下面的问题：把 x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和( x2) 2+ (22) 2

10、的形 式，要使用公式就必须添一项 4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4 4x2= (x2+2)2 4x2= (x2+2) 2 ( 2x) 2= (x2+2x+2) (x2 2x+2)人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做 热门定理请你依照苏菲？热门的做法， 将以下各式因式分解.(1) x4+4y4; (2) x2 2ax b2 2ab.考点：因式分解-运用公式法.专题：阅读型.分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.解答：解：(1) x4+4y4=x4+4x2y2+4y2 4x2y2,=(x2+2y2) 2 4x2y2,=(x2+

11、2y2+2xy) (x2+2y2 2xy);2 .下面是某同学对多项式(x2- 4x+2) (x2- 4x+6) +4进行因式分解的过程. 解：设 x2 - 4x=y原式=(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2- 4x+4) 2 (第四步)答复以下问题：(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的C .A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2) 该同学因式分解的结果是否彻底不彻底 .(填 彻底或 不彻底)假设不彻底，请直接写出因式分解的最后结果(X-2) 4 .(3) 请你模仿以上方法尝

12、试对多项式(x2-2x) (x2-2x+2) +1进行因式分解.考点：提公因式法与公式法的综合运用.专题：阅读型.分析：(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；(2) x2- 4x+4还可以分解，所以是不彻底.(3) 按照例题的分解方法进行分解即可.解答：解：(1)运用了 C,两数和的完全平方公式；(2) x2- 4x+4还可以分解，分解不彻底；(3) 设 x2- 2x=y. (x2- 2x) ( x2- 2x+2) +1,=y (y+2) +1,=y2+2y+1,=(y+1) 2,=(x2- 2x+1) 2,=(x - 1) 4.点评:按照提供的方法和样式解答此题考查了运用

13、公式法分解因式和学生的模仿理解能力, 即可，难度中等.3.找出能使二次三项式 x2+ax- 6可以因式分解(在整数范围内)的整数值 a,并且将其进 行因式分解.考点：因式分解-十字相乘法等.分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是-6的两个因数的和，那么-6可分成3X(-2), - 3X2 6X(- 1), - 6X1,共4种，所以将x2+ax- 6分解因式后有4种情 况.解答：解：x2+x- 6= (x+3) ( x-2);x2- x- 6= ( x- 3) (x+2);x2+5x - 6= ( x+6) (x- 1);x2 - 5x- 6= (x - 6) (x+1).点评：此题考查

14、十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并 体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数-6的不同分解是此题的难点.4 利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.考点：因式分解的应用.分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,禾U用平方差公式进行因式分解，即可证出结论.解答:解：设两个连续偶数为 2n, 2n+2,那么有(2n+2) 2-( 2n) 2,=(2n+2+2n) (2n+2 - 2n),=(4n+2) X2=4 (2n+1),因为n为整数，所以4 (2n+1)中的2n+1是正奇数，所以4 (2n+1)是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整

15、除.点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公 式对列出的式子进行整理，此题较简单.5关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多 项式因式分解.考点：因式分解的意义.分析：由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x- 2,所以当x二时多项式的值1为0,由此得到关于 m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案.解答:解：T x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x- 2,当x=W时多项式的值为0,即31亠=0,/ 2+m=0,/ m= - 2; 3x2+

16、x+m=3x2+x- 2= (x+1) (3x- 2);故答案为：m= - 2, (x+1) ( 3x- 2).点评：此题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代 入法求解.6 .多项式(a2+ka+25)- b2，在给定k的值的条件下可以因式分解请给定一个 k值 并写出因式分解的过程.考点：因式分解-运用公式法. 专题 ：开 放型 分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可 解答：解 ：k=10， 假设 k=10，那么有(a2+i0a+25)- b2= (a+5) 2-b2= (a+5+b) (a+5- b).点评：此 题主要考查了运用公式法分解因式，

17、 正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关 键7先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+1 0的值恒大于 0还是恒等于 0或者恒小于 0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解： 2x2+8x+10=2 ( x2+4x+5)(提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式)=2 ( x2+4x+22 - 22+5)=2(x+2) 2+1(将二次多项式配方)=2( x+2) 2+2(去掉中括号)因为当x取任意实数时，代数式2 (x+2) 2的值一定是非负数，那么2 (x+2) 2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x=- 2时，原式有最小值 2

18、.请仿照上例，说明代数式-2x2- 8x- 10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什 么考点 ：配方法的应用；非负数的性质：偶次方 分析：按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案 解答：解：- 2x2- 8x- 10=- 2( x2+4x+5)=- 2( x2+4x+22- 22+5)=- 2(x+2) 2+1=- 2( x+2) 2- 2因为当x取任意实数时，代数式 2 ( x+2) 2的值一定是非负数，那么- 2 (x+2) 2-2 的值一定为负数,所以,原式的值恒小于 0,并且,当 x=- 2 时,原式有最大值- 2 点评：此题考查了配方法与完全平方式的非负

19、性的应用 注意解此题的关键是将原代数式准 确配方8老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为 1 ；丙：这个多项式的各项有公因式； 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法； 假设这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式考点 ：提公因式法与公式法的综合运用专题 ：开 放型分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项为哪一项 两底数积的 2 倍解答：解 ：由题意知,可以理解为：甲：这是一个关于 x三次三项式； 乙：三次项系数为 1，即三次项为X3； 丙：这个多项式的各项

20、有公因式X；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法.故多项式可以为 x ( x - 1) 2=x (x2- 2x+1) =x3 - 2x2+x.点评：此题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个 多项式.答案不唯一.9. 在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2 (x- 1)(x-9),而乙同学看错了常数项，而将其分解为2 (x- 2) (x- 4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.考点：因式分解的应用.分析：此题可以先将两个分解过的式子复原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项 式，最后进行因式分解即可.解答：

21、解：2 ( x- 1) (x- 9) =2x2- 20x+18, 2 (x- 2) (x- 4) =2x2 - 12x+16; 由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项， 那么正确的二次三项式为：2x2- 12x+18;再对其进行因式分解：2x2- 12x+18=2 (x- 3) 2.点评：此题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待.10. 观察李强同学把多项式(x2+6x+10) (x2+6x+8) +1分解因式的过程：解：设x2+6x=y,那么原式=(y+10) (y+8) +1=y2+18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2(1 )答复以下问题：这位同学

22、的因式分解是否彻底？假设不彻底，请你直接写出因式分解的最后 结果：(x+3) 4 .(2)仿照上题解法，分解因式：(x2+4x+1) (x2+4x - 3) +4 .考点：因式分解-十字相乘法等.专题：换元法.分析：(1) 根据x2+6x+9= (x+3) 2,进而分解因式得出答案即可;(2) 仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.解答:解：(1)这位同学的因式分解不彻底， 原式=(y+10) (y+8) +12=y +18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2=(x+3) 4.故答案为：(x+3) 4;(2)设 x2+4x=y,那么原式=(y+1) (y- 3) +4=y2-

23、 2y+1=(y- 1)=(x2+4x - 1)点评：此题主要考查了因式分解法的应用,正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键.11. (1)写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解)(2)阅读以下分解因式的过程，再答复所提出的问题：1+x+x ( x+1) +x ( x+1)= ( 1+x) 1+x+x ( x+1 )=(1+x) 2 ( 1+x)=(1+x) 3 上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由到 这一步的根据是同底数幕的乘法法那么； 假设分解 1+x+x ( x+1) +x ( x+1) 2+x(x+1 ) 2006,结果是(1+x) 2007 ; 分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1 ) 2+x(x+1) n (n 为正整数).考点： 分析：因式分解-提公因式法.(1) 根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；(2) 首先通过分解因式，可发现 中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论 可直接得到答案.解答：解：(1) m3- mn2=m (m2-n2) =m ( m- n) (m+n)