Matlab求解线性方程组、非线性方程组6页

1、求解线性方程组solve，linsolve例：A=5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1;%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=3;1;1;0X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。例如：F=sym（u(x,y)*v(x,y)）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解fsolve(fun,x0,options)其

2、中fun为待解方程或方程组的文件名；x0位求解方程的初始向量或矩阵；option为设置命令参数建立文件fun.m：function y=fun(x)y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2), .x(2) - 0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2);clear;x0=0.1,0.1;fsolve(fun,x0,optimset(fsolve)注：.为续行符m文件必须以function为文件头，调用符为；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB

3、中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“”。如：X=AB表示求矩阵方程AXB的解；XB/A表示矩阵方程XA=B的解。对方程组XAB，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程XB/A同理。如果矩阵A不是方阵，其维数是mn，则有：mn 恰定方程，求解精确解；mn 超定方程，寻求最小二乘解；mm。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=Ab）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小

4、二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；【例7】求解超定方程组A=2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b3 0 3 -6;rank(A)ans=3x1=Abx1=1.00002.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可见x1并不是方程Ax=b的精确解

5、，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。三欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。【例8】解欠定方程组A1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5b=1 -1 5x1=AbWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015x1=0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四方程组的非负最小二乘解在某些条

6、件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A)*norm(A,1)*eps，矩阵的1范数越大，求解的误差越大；（3）X,W=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。【例9】求方程组的非负最小二乘解A=3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261;b=-1.000 1.5000 2.5000;X,W=nnls(A,b)X=00.65630.6998W=-3.6820-