连续型随机变量的分布与例题讲解

1、连续型随机变量的分布(一)连续型随机变量及其概率密度函数1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X)，假设存在非负函数f(x),使对x于任意的实数x，有F(X) f(t)dt，那么称X为连续性随机变量，f(x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度。注：F( x)表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为1。2 .密度函数f(x)的性质：注：f (x)不是概率。1) f( x) 0f I 工2) f(X)dx.13) PxiXX2 f (x)dx 二 F(X2)F(xJxi特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即PX ： x ： 0.(但X=x并不一定是不可能事件)因此 P( a Xw b)=

2、 P( aXb)= P( a Xb) = P( aX b)=F(b)-F( a)4) 假设f(x)在点x处连续，那么F (x)f(x).分布函数性质i) 0 w F( x) w 1;ii) F(- g )=0,F(+ g )=1 ;iii) 当 X1 w X2 时，F(X1)w F(X2);(单调性)iv) F( x)是连续函数注：iv)与离散型随机变量不同，离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。例1设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+B arctanx,求(1)系数 A, B (2) P(-1X1) ;(3 )密度函数 f( x)分析：主要是应用分布函数的性质。解 (1)

3、由 F(- g)=0,F(+ g)=1 得八1A -B 0A -2解之，得21 A -B 1B -21 1(2) 由 (1)知 F(x)= _ 一arctanx,2根本内容备注1arcta n1 ( 2-1X.f(x) dx 1 得解：由? f(x) dx =.f (x)dx-y-0 f (x)dxx0,试确定常数x 0,ke xdx k /31,k 3.3b, x0,0,x0.f(x)当 x0时，F(x) X 0dt 0当 x) 0 时，F(x)二仁0dt - 3e3tdt 二 1一 e曰是,F(x)1_e3x, x 0,0, x0.PX 0.1二1-PX(1二1-F(1)二 1一(1 一

4、e0.3) .e(二)正态分布(1)设随机变量X的概率密度函数为1f(x)兀 e其中，X N(关于x(x )22 2r:J(0)为常数，那么称2).其图象为(右图)X为服从参数为 ，的正态分布，记作。其中： 称为位置参数，f(x)的图形对称， 影响f(x)的最大值及曲线的形状。分布函数为根本内容备注x1JF (x)je 2dt。性质：1. 曲线关于x对称，这说明对于任意h 0有P -h X PXh.12. 当X时，f (x)取到最大值：f( ),_ .(2)标准正态分布特别地，当0,1时，称X服从标准正态分布，记为X N (0,1).相应的概率密度函数和分布函数分别记为1兰1x (x)=e 2

5、，(x)e 2dt.v2n易知(x) 1(x)。(x)即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。例3设随机变量XN(0,1)，查表计算：(1) P(X ; (3) P(|X| =1- P(Xw =1-=(3) P(|X| =PX =-=2 -1=2X =2X引理 假设 XN(,),那么 Z N(0,1).rX-证 Z的分布函数为(t )2X1x 2PZ x Px PXx丄e 2 dt ,422t1 X 匕X令 u,得L e 2du(x),可知 Z N(0,1).根本内容备注于是，假设XN( , 2),那么它的分布函数 F(x)可写成：XxxF(x) PX x P().对于任意区间(xx?,

6、有x.Xx2PR X XP 12(x2) (J).注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。例如，设XN(1,4)，那么P0 X 1.6 P0-1 耳气2 2 21.6 1 0 1 (0.3)( 0.5) 0.6179 1(0.5) 2 20.6179 1 0.6915 0.3094.例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量 X(以克计)是随机变量,XN(500,25),求：(1) 随机抽查一包，其重量大于510克的概率；(2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率；(3) 求常数C,使每包的重量小于 C的概率为。山510 500解

7、:(1)PX5101 PX 5101()51(2)1 0.97720.0228(2) P| X 5001 8P492 X 508(508 500)(492 500)(5)(5)(1.6)( 1.6)2 (1.6) 12 0.9452-10.89043求常数C,使之满足PXC=,即C 5000.055由于 1.645 0.05,即 C-5001.645,得 C 491.775.5根本内容备注例5某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。设报考该大学的考生共 3000人，且考试成绩服从正态分布， 这些考生中成 绩在600分以上的有200人，重点线(500分)以下的2075人，问

8、该大学的实 录线(即录取最低分)是多少分析 设学生考试成绩XN( , 2)，首先应求出及2之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。解设学生成绩XN( ,2)，由题设知应有200 P(X 600) 0.066730002075P(X 500) 0.69173000从而得 1()0.0667,() 0.6917即(60) 0.9333 以及(50) 0.69176001 5450查表得解之得5001000.5故知,XN(450,1002)又设该大学实录线为 a,由题设知：800a 450P(X a) 0.2667 即 1()0.26673000100十口口a 4

9、50于是可得()0.7333100a 450查表得0.623,解之得a 512.3.100即是说该大学的实录线约为512分。(三) 对数正态分布定义：假设随机变量X的概率密度函数为1(In x )2f (x)xe 2 0根本内容备注其中，0为常数，那么称 X服从参数为 和的对数正态分布，记作X LN(2).对数正态分布的分布函数为F(x)x 1 (lnt0、2te)22 2 dt x 0假设 X LN ( , 2),那么Px, X(lnx2(ln x.(四)Weibull 分布定义：假设随机变量X的概率密度函数为f(x) m(xm(x )、m 1)ex其中，m,0为常数，那么称X服从参数为m,的 Weibull分布，记作X W(m,).Weibull分布的分布