第二章轴向拉压应力与力学性能

1、第二章第二章 拉伸与压缩拉伸与压缩第一节第一节 概述概述第二节第二节 轴力与轴力图轴力与轴力图第三节第三节 截面上的应力截面上的应力第四节第四节 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能第十一节第十一节 应力集中概念应力集中概念第六节第六节 拉、压杆的强度条件拉、压杆的强度条件第九节第九节 装配应力和温度应力装配应力和温度应力第五节第五节 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能第七节第七节 杆的变形杆的变形 胡克定律胡克定律第八节第八节 拉、压杆超静定问题拉、压杆超静定问题第十节第十节 拉伸（压缩）时的应变能拉伸（压缩）时的应变能2.1 概概 述述 在不同形式的外力作用下，杆件的变形与应力也

2、相应不在不同形式的外力作用下，杆件的变形与应力也相应不同。杆件受力或变形的一种最基本形式为同。杆件受力或变形的一种最基本形式为 拉杆拉杆2.1 概概 述述 本章研究拉、压杆的本章研究拉、压杆的内力和应力内力和应力，材料在拉伸和压缩，材料在拉伸和压缩时的时的力学性能力学性能，以及拉压杆的，以及拉压杆的强度、刚度计算等强度、刚度计算等。PPmmPNFNFN0FPP, 0 xF得：NFP2.2 轴力与轴力图轴力与轴力图例例1:2.2 轴力与轴力图轴力与轴力图x111NFN110,0 xFFPN112.5kNFP222NFN2120,0 xFFPPN2121.5kNFP P 2NFxFN /kN5 .

3、 25 . 1拉伸压缩杆件变形前后，各截面仍保持平面。拉伸压缩杆件变形前后，各截面仍保持平面。横截面上应力均匀分布。横截面上应力均匀分布。NdAAFNAFNFAN( )( )( )FxxA x2.3 截面上的应力截面上的应力PPPNFPNFPNp AFApAcosAAcosp2cos2sin2,0时当max,45时当2maxcospsinp则：则：p2.3 截面上的应力截面上的应力PABC2m121.5mPB（1）求两杆的轴力）求两杆的轴力mm1NF2NFxyN2N10,cos0 xFFFN20,sin0yFFPsin2/2.5,cos1.5/2.5N130kNFN250kNF（2）求两杆的应

4、力）求两杆的应力N111FA3N122630 10/ 41610/ 4FdMPa2 .149Pa102 .1496N222FA36650 105 10 Pa5MPa100 100 10 圣维南圣维南(Saint-Venant)原理原理2.3 截面上的应力截面上的应力试验设备试验设备2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质标准压缩试件dLbbL高度 L 与 d 或 b 的比值在13之间标准拉伸试件标准拉伸试件2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质塑性材料拉伸曲线的四个阶段塑性材料拉伸曲线的四个阶段2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉

5、伸时的力学性质lPo图lP拉伸图：拉伸图：应力应变曲线：应力应变曲线：APll epabo图2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质epabo图低碳钢拉伸曲线的四个阶段：低碳钢拉伸曲线的四个阶段：EtanEpeep2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质scdfbeepabo图应力变化很小，变形应力变化很小，变形增加很快，卸载后变形不能完全恢复。增加很快，卸载后变形不能完全恢复。s屈屈服极限服极限；应力在试件表面出现应力在试件表面出现与轴线成与轴线成45的滑移线。的滑移线。s240MPa屈服极限屈服极限 是衡量材料强是衡量材料强度的重要指标。度的重要指标。2.4 材料拉伸时的力

6、学性质材料拉伸时的力学性质bb380 470MPafhscdfbeepabo图dgp12.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质强度指标：强度指标：s屈服极限屈服极限b强度极限强度极限塑性指标：塑性指标：%1001lll伸长率伸长率延伸率，延伸率，%5%5%30%20%1001AAA断面收缩率断面收缩率；fhscdfbeepabo图dgp12.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质例例4：脆性金属拉伸应力应变曲线脆性金属拉伸应力应变曲线动画：铸铁拉伸实验 2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质其它材料拉伸曲线其它材料拉伸曲线动画：其它拉伸曲线有些材料不存在有些材料不存在明

7、显的屈服阶段明显的屈服阶段，工程中通常以，工程中通常以卸载后产生数值卸载后产生数值为为0.2%的残余应的残余应变的应力作为屈变的应力作为屈服应力，称为服应力，称为屈屈服强度或名义屈服强度或名义屈服极限服极限。2.4 材料拉伸时的力学性质材料拉伸时的力学性质低碳钢压缩曲线低碳钢压缩曲线 2.5 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质铸铁压缩曲线铸铁压缩曲线脆性材料的抗压脆性材料的抗压强度一般均大于强度一般均大于其抗拉强度。其抗拉强度。2.5 材料压缩时的力学性质材料压缩时的力学性质作作 业业 (习题习题)P61-62 2-1(c)、(f) ，2-6, 2-8辽宁盘锦大桥垮落现场 2.6 拉、压

8、杆的强度条件拉、压杆的强度条件maxsmaxb极限应力极限应力 u ssn bbn一般地一般地sbnn 安全系数，得到的安全系数，得到的应力称为许用应力：应力称为许用应力： unNFAs1.52.2nb3.05.0n2.6 拉、压杆的强度条件拉、压杆的强度条件(1) 强度条件强度条件 NmaxFANNmaxFF(2) 强度计算的三类问题强度计算的三类问题 NmaxFA NFA NFA max若 max若2.6 拉、压杆的强度条件拉、压杆的强度条件kN30kN65kN45kN50ABCD1A1A2ANFxkN45kN20kN3036145 10150MPa300 10ABABFA36220 10

9、143MPa140 10BCBCFA试校核强度。试校核强度。 5.04kNP ABC5mP12m6m8mPxyABFBCF0.619 ;0.952ABBCFPFP0,coscos0BCABXFF0,sinsin0BCABYFFP 8.08kNABABFPA由得5.04kNBCBCFPA由得 030cos15sin, 0015cos60cos, 021PNyNPFFx简易悬臂起重机，撑杆简易悬臂起重机，撑杆AB为空心为空心钢管，外径钢管，外径105mm，内径内径95mm。钢索钢索1和和2平行，且设钢索可作为相当于直径平行，且设钢索可作为相当于直径d=25mm的圆杆计算。材料的许用应力的圆杆计算。

10、材料的许用应力同为同为 =60MPa。试确定起重机的许可试确定起重机的许可吊重。吊重。解：解： 画出滑轮画出滑轮A的受力图，斜撑的受力图，斜撑AB受压，轴受压，轴力为力为N，钢索钢索1受力为受力为F1，F2=P，有，有yxF2F1PN450300150APAB45030015021PPNFPPN74. 1)60cos1 (15cos35. 315sin30cos1解得：解得：简易悬臂起重机，撑杆简易悬臂起重机，撑杆AB为空心为空心钢管，外径钢管，外径105mm，内径内径95mm。钢索钢索1和和2平行，且设钢索可作为相当于直径平行，且设钢索可作为相当于直径d=25mm的圆杆计算。材料的许用应力的

11、圆杆计算。材料的许用应力同为同为 =60MPa。试确定起重机的许可试确定起重机的许可吊重。吊重。yxF2F1PN450300150APAB45030015021maxmax94.2kN;94.228.1kN3.353.35NANP1max11max29.5kN;17kN1.74FAFP现确定许可吊重：现确定许可吊重：同理，钢索同理，钢索1允许的拉力为：允许的拉力为：结论：允许吊重结论：允许吊重17 k N。PPll1轴向变形轴向变形lll1llNFPAAE胡克定律胡克定律NF lPllllEEAEA 胡克定律胡克定律即为即为杆件轴向变形的计算公式杆件轴向变形的计算公式轴向应变轴向应变横截面应力

12、：横截面应力：线弹性线弹性杆件的抗拉刚度杆件的抗拉刚度bb1一、轴向变形、胡克定律一、轴向变形、胡克定律沿轴线方向的变形沿轴线方向的变形N1ni iiiiF llE A p2.7 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 胡克定律胡克定律横向变形：横向变形：bbb1横向应变：横向应变：bbbbb1横向应变与纵向应变的关系：横向应变与纵向应变的关系：常数 称为横向变形系数或称为横向变形系数或泊松比泊松比 和和 E ，是材料的两个弹性常数，由实验测定。，是材料的两个弹性常数，由实验测定。是一个无量纲量，对于大多数材料，是一个无量纲量，对于大多数材料，00.5。的的符符号号总总是是相相反反和和钢材的钢材的 E

13、约为约为200GPa, 为为0.25-0.332(1)EG垂直于轴线方向的变形垂直于轴线方向的变形PPll1bb12.7 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 胡克定律胡克定律2.7 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 胡克定律胡克定律xFN /kN602030计算杆的变形：计算杆的变形：321llll60kN80kN50kN30kN1m2m1.5mN1 1N2 2N3 3F lF lF lEAEAEA30.65 10 m0.65mm计算杆的应变：计算杆的应变：4N1116 10FEA4111.8 104N2222 10FEA 5226 10 4N3333 10FEA 5339 10 A = 500mm2；

14、200GPa，0.3，（1）杆的总变形；）杆的总变形；（2）杆的横向应变。）杆的横向应变。2.7 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 胡克定律胡克定律已知已知：E1=200GPa， A1 =127mm2，l1=1.155m , E2=70GPa， A2 =101mm2，P=9.8kN。试求：试求：A点的位移。点的位移。解：解： (1)、计算各杆的轴力（截面法）、计算各杆的轴力（截面法）N119.6kN,F 解得N216.97kNF BC12P30AAP30N2FN1Fxy(2)、计算杆的变形、计算杆的变形1 杆的伸长杆的伸长3N1 11961119.6 101.1550.89mm200 10127

15、10F llE A (受压受压)N1N20cos300XFFN10sin300YFP3N2 22962216.97 101.0002.4mm70 10101 10F llE A 2 杆的缩短杆的缩短BC12P30A22.4mm()xl (3)、节点、节点A的位移的位移1A125.94mm( )sin30tan30yll22222.45.946.4mmxyAD与结构原尺寸相比为很小的变形，称为与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形小变形。2A 在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状与尺寸计算约束力与内力，并可采用算约束力与内力，并可采用切线代圆

16、弧切线代圆弧的方法确定位移（又的方法确定位移（又称称J.V.Williot图解法，图解法，1877，法国）。，法国）。DDAD1l2l2.7 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 胡克定律胡克定律已知：杆已知：杆 AB 和和 BC 的拉压刚度的拉压刚度 EA 相同，且相同，且B 点受集中力点受集中力 P。试求：试求：B 点的位移。点的位移。ABCPaaa解：解：1、计算各杆的轴力、计算各杆的轴力B 点的平衡方程为点的平衡方程为2、计算、计算AB、BC杆的变形杆的变形AB杆的变形杆的变形BC杆的变形杆的变形0cos450BCABXFF0sin450BCYFP2BCABFPFP()AB ABABF lPa

17、lEAEA伸长CCC222()BBBF lPaPalEAEAEA伸长PxyABFBCF2.7 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 胡克定律胡克定律3、求节点、求节点 B 的位移的位移2B1BBABlBClB切线代圆弧确定切线代圆弧确定B的新位置，如图所示。的新位置，如图所示。B 点的水平位移为点的水平位移为B 点的铅垂位移为点的铅垂位移为B3 即为即为 B 点的新位置，为计算方便，作辅助线点的新位置，为计算方便，作辅助线 BB，则，则3B1()BxABPaBBlEA ByBBtan45sin45BCABll222(1 2 2)( )PaPaPaEAEAEA2.7 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 胡克定

18、律胡克定律已知：杆已知：杆 AB 和和 BC 的拉压刚度的拉压刚度 EA 相同，且相同，且B 点受集中力点受集中力 P。试求：试求：B 点的位移。点的位移。ABCPaaa作作 业业 (习题习题)P63-65 2-11，2-15, 2-19, 2-25能由静力平衡方程求出能由静力平衡方程求出全部未知量全部未知量的问题的问题 称为称为静定问题静定问题系统的未知量数系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数系统所具有的独立平衡方程数不能由静力平衡方程求出不能由静力平衡方程求出全部未知量全部未知量的问题的问题 称为称为静不定问题静不定问题系统的未知量数系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数系统所具

19、有的独立平衡方程数静不定次数静不定次数 = 系统的未知量数系统的未知量数 系统所具有的独立平衡方程数系统所具有的独立平衡方程数P1l23BCDA PA 1N2N3N一次静不定一次静不定二次静不定二次静不定P1NAyFAxF2N3NAEPABCDaaaE 刚性杆刚性杆2.8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题根据系统静不定的次数，由变形几何关系，根据系统静不定的次数，由变形几何关系，寻求补充方程。然后，与平衡方程联立求解。寻求补充方程。然后，与平衡方程联立求解。P1l23BCDA PA 1NF2NF3NF图示桁架。已知：图示桁架。已知：E1=E2，A1=A2，E3，A3，P。求各杆的轴力。求各杆的

20、轴力。解：解：（1）建立系统的）建立系统的平衡方程平衡方程N1N2FF（1）N1N32cos0FFP（2）（2）建立变形几何方程）建立变形几何方程A11l2l3lcos31ll（3） 变形协调方程变形协调方程（3）建立变形与轴力的关系方程）建立变形与轴力的关系方程 物理方程物理方程N1 1111F llE A N3 3333F llE AN111cosF lE AN333F lE A（4）2.8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题联立求解平衡方程（联立求解平衡方程（1）、（）、（2）与补充方程（）与补充方程（5），得：），得：2N1N233311cos2cosPFFE AE AN33113312

21、cosPFE AE A解题步骤小结：解题步骤小结：（1）建立系统的平衡方程）建立系统的平衡方程（2）建立变形协调方程）建立变形协调方程（3）建立物理方程）建立物理方程补充方程补充方程（4）联立求解平衡方程和补充方程）联立求解平衡方程和补充方程（4）由变形协调方程和物理）由变形协调方程和物理方程，得出方程，得出补充方程：补充方程：N1N31133coscosF lF lE AE A（5）P1l23BCDA PA 1NF2NF3NFA11l2l3l2.8 拉、压超静定问题拉、压超静定问题PABCDaaaE 刚性杆刚性杆例例 12: 图示结构，图示结构，AE为刚性杆，杆、为刚性杆，杆、 和的和的抗拉

22、刚度分别为抗拉刚度分别为E1A1、E2A2 、E3A3，长度均为，长度均为 l 。求：求：各杆的拉力。各杆的拉力。解：解：建立平衡方程：建立平衡方程：N1N2N30,2330AMF aFaFaPa建立变形协调方程：建立变形协调方程：AEP1NF2NF3NFxyAxFAyF2l3l1l122 ll133 ll22N2N1112E AFFE A33N3N1113E AFFE A建立补充方程建立补充方程N1111F llE A N3333F llE AN2222F llE A建立物理方程建立物理方程33N3N1113E AFFE AN1N2N30,2330AMF aFaFa P a22N2N1112

23、E AFFE A联立求解方程（联立求解方程（1）、（）、（5），可得），可得N1332211113149PFE AE AE AE AN233112222649PFE AE AE AE AN311223333949PFE AE AE AE A当当3个杆抗拉刚度相等时，有个杆抗拉刚度相等时，有N1314PFN2614PFN3914PFAEP1NF2NF3NFxyAxFAyF2l3l1l0Am0cos2312NNP 平衡方程：平衡方程：解：解：设设1、2杆的轴力分别为杆的轴力分别为N1和和N2，设横梁设横梁AB的变形可以忽略，的变形可以忽略，1、2两杆的材料相同，横截面积相等。两杆的材料相同，横截面

24、积相等。试求：试求：1、2两杆的内力。两杆的内力。ABcos2211EAlNlEAlNl 物理方程物理方程122cosll 几何方程几何方程l112CCl2aaaPl12ABN1N21cos4cos6;1cos4332231PNPN 联立上式求解，得联立上式求解，得 倾斜放置的杆，以固定端为圆心倾斜放置的杆，以固定端为圆心，以，以原长原长+ 变形量变形量为半径画弧，为半径画弧，或者以或者以“切线代圆弧切线代圆弧”来建立变形来建立变形间三角函数关系。间三角函数关系。0cos2312NNP122cosll1212cosN lN lllEAEA 结论：结论：垂直（水平）放置的杆，直接计算其变形量；垂

25、直（水平）放置的杆，直接计算其变形量；l112CCl2abABCP图示两端固定等直杆图示两端固定等直杆AB，在截面，在截面 C 处沿轴处沿轴线方向作用一集中力线方向作用一集中力P，试求：试求：两端的约束力。两端的约束力。ABCPR1FR2F解：解： （1）建立系统的平衡方程）建立系统的平衡方程R2R10,0ixFFFP（1）（2）建立变形协调方程）建立变形协调方程设设AC 段的变形为段的变形为l1 , BC 段的变形为段的变形为l2, 应有应有120ll （2）（3）建立物理方程）建立物理方程NFxR1FR2F（4）建立补充方程）建立补充方程R1R20F aF bEAEAR1R2F aF b（

26、4）联立求解方程（联立求解方程（1）和（）和（4），得），得R1PbFabR2PaFab12N1 1R1111,F lF alE AEA N2 2R2222F lF blE AEA （3）1、 热应力热应力由于温度变化引起材料热胀冷缩，在结构中产生的应力。由于温度变化引起材料热胀冷缩，在结构中产生的应力。TTl求解步骤：求解步骤：lAB1. 建立平衡方程建立平衡方程RRABFF2. 建立变形协调方程建立变形协调方程 设由于约束力设由于约束力FRA、FRB引起的压缩变形为引起的压缩变形为l，温度变化引起的伸长变形为温度变化引起的伸长变形为lT，llT3. 建立物理方程建立物理方程RBF llEA

27、 lTlTHooke 定律：定律：其中：其中： 线膨胀系数线膨胀系数单位：单位：1/C（单位温度变化、单位（单位温度变化、单位长度杆件的线膨胀量）长度杆件的线膨胀量）T 温度变化量；温度变化量；l 杆件原长。杆件原长。由于约束的作用，有由于约束的作用，有RBF lTlEARBFTEA 热应力：热应力：NRBTFFAAETATEAl将物理方程代入变形协调方程将物理方程代入变形协调方程R AF2.9 温度应力与装配应力温度应力与装配应力热应力问题热应力问题 超静定问题超静定问题TBFRAFR变形协调变形协调方程：方程：21llll装配应力问题的变形协调条件装配应力问题的变形协调条件lABR AFR

28、 BF2.9 温度应力与装配应力温度应力与装配应力2、 装配应力装配应力由于构件加工误差而在安装时结构内产生的应力。由于构件加工误差而在安装时结构内产生的应力。解：解：设三根杆的内力分别为：设三根杆的内力分别为：N1，N2，N3，AB梁的受力如图梁的受力如图，由平衡得：由平衡得：设横梁设横梁AB为刚性梁，为刚性梁，1杆由黄铜制成，杆由黄铜制成，A1=2 cm2，E1=100GPa，1=16.510-6/。2，3两杆由碳钢制成，两杆由碳钢制成，A2=1cm2，A3=3cm2，E2=E3=200GPa， 2= 3=12.510-6/。设温度。设温度升高升高20，P=40kN, c=0.25m, =

29、0.2mm，l=2m， a=1.5m，b=1.0m。试求：试求：各杆的应力。各杆的应力。l1l2l3N1PABN3N2C变形如图，则协调方程为：变形如图，则协调方程为：1230,0YNNNP（1）130,0CMNaP cNb （2）1323llllbab（3）1111111AElNTll2222222AElNTll3333333AElNTll各杆变形等于载荷产生的变形与温度引起各杆变形等于载荷产生的变形与温度引起的变形之和，有：的变形之和，有：cPl12AB3ab1323llllbab1111111AElNTll2222222AElNTll3333333AElNTll将三杆变形表达式带入协调方

30、程得：将三杆变形表达式带入协调方程得：333333111111222222111111AElNTlAElNTlAElNTlAElNTlbab代入数据，联立方程（代入数据，联立方程（1）（）（2）（）（3），解得），解得各杆内力分别为：各杆内力分别为：kN92. 71NkN2 .102NkN9 .213N由此得各杆的应力分别为：由此得各杆的应力分别为：MPa6 .391021092. 743111ANMPa102101102 .1043222ANMPa73103109 .2143333AN一、应变能概念一、应变能概念应变能：弹性体因变形而储存的能量。用应变能：弹性体因变形而储存的能量。用 Vs 表示。表示。由能量守恒定律得：由能量守恒定律得： Vs = W其中：其中：W 为外力所做功之和。为外力所做功之和。二、外力功与应变能计算二、外力功与应变能计算以受拉杆件为例来研究轴向载荷在变形过程中所以受拉杆件为例来研究轴向载荷在变形过程中所做之功以及杆件的应变能。做之功以及杆件的应变能。在缓慢加载过程中在缓慢加载过程中f 所作总功为：所作总功为：2.10 拉伸、压缩时的应变能拉伸、压缩时的应变能0dWf载荷所作总功在数值上等于载荷