函数的平均变化率(上课用)

1、2021/6/1612021/6/162“突变突变”与与“渐变渐变”美国康乃大学曾经做过一个有名的美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验青蛙试验”9090的水烫不死青蛙，不到的水烫不死青蛙，不到7070的水反而烫死了青蛙，的水反而烫死了青蛙，这是为什么呢？这是为什么呢？试验人员把一只青蛙投入试验人员把一只青蛙投入9090的热水盆中，这只青蛙的热水盆中，这只青蛙遇到高温刺激，迅速做出反应，遇到高温刺激，迅速做出反应，“嗖嗖”的一声蹦出了的一声蹦出了水盆，结果安然无恙。水盆，结果安然无恙。试验人员又把该青蛙投入试验人员又把该青蛙投入3030的冷水盆中的冷水盆中, ,然后开始然后开始慢慢加热慢慢加

2、热，当水温还没有达到，当水温还没有达到7070时，这只青蛙就被时，这只青蛙就被烫死了。烫死了。变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人感叹和惊讶!2021/6/163时间时间t t3 3月月1818日日4 4月月1818日日4 4月月2020日日日最高气温日最高气温T T3.53.5191933.833.8实例分析实例分析1 1问题问题1 1：从：从3 3月月1818日到日到4 4月月1818日和从日和从4 4月月1818日到日到4 4月月2020日，日， 哪一段时间气温变化得更哪一段时间气温变化得更“大大”？问题问题2 2：从：从3 3月月1818日到日到4 4月月1818日

3、和从日和从4 4月月1818日到日到4 4月月2020日，日， 哪一段时间气温变化得更哪一段时间气温变化得更“快快”？问题问题3 3：如何量化温度变化的：如何量化温度变化的“快快”与与“慢慢”？2021/6/164193.5o1323433.8t (d)T(oC)A(1,3.5)B(32,19)C(34,33.8)(3(3月月1818日为第一天日为第一天) )实例分析实例分析1 1温度随时间变化的图象如图所示温度随时间变化的图象如图所示问题问题4 4：图中哪一段曲线更为：图中哪一段曲线更为“陡峭陡峭”？2021/6/165甲和乙两人做生意，甲用甲和乙两人做生意，甲用5 5年时间年时间挣到挣到1

4、010万元，万元， 乙用乙用6 6个月时间个月时间挣到挣到2 2万元，甲、万元，甲、 乙两人谁的乙两人谁的经营成果更好？经营成果更好？乙的经营成果更好！乙的经营成果更好！甲和乙两人做生意，甲挣了甲和乙两人做生意，甲挣了1010万元，乙挣了万元，乙挣了2 2万万元。你能否判断甲、元。你能否判断甲、 乙两人谁的经营成果更好？乙两人谁的经营成果更好？实例分析实例分析2 22021/6/166 如何用数学知识如何用数学知识来反映山势的平缓来反映山势的平缓与陡峭程度？与陡峭程度？2021/6/167HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图例：如图，是一座山的剖面示意图: A

5、是登山者的出发点是登山者的出发点,H是山顶是山顶,登山路线用登山路线用y=f(x)表示表示 ； 其中自变量其中自变量x表示登山者的水平位置，函数值表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所表示登山者所在高度。想想陡峭程度应怎样表示？在高度。想想陡峭程度应怎样表示？登山问题登山问题x2021/6/168HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路选取平直山路AB放大研究放大研究 :若若),(),(1100yxByxA01xxx01yyy自变量的改变量自变量的改变量函数值的改变量函数值的改变量xyxxyyxxyyk10100101直线直

6、线AB的斜率的斜率:xy2021/6/169D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)xyxxyyk0101直线直线AB的斜率的斜率:xyxxyyk23231直线直线CD1的斜率的斜率:x2021/6/1610 竖直位移与水平位移之比的竖直位移与水平位移之比的绝对值绝对值越大，即越大，即高度的高度的平均变化量越大平均变化量越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。，山坡越陡；反之，山坡越平缓。 现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量

7、刻画弯曲山路的陡峭程度呢？样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。（举例：地球表面与平面）（举例：地球表面与平面）(微分思想微分思想) 也就是说，也就是说，“线段线段”所在直线的斜率的绝对值所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。越大，山坡越陡。2021/6/1611 注意各小段的注意各小段的 是不尽相同的。但不是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差

8、与横坐标之以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值差的比值 来度量。来度量。由此我们引出由此我们引出函数平均变化率函数平均变化率的概念。的概念。 yx11()()kkkkf xf xyxxx2021/6/1612平均变化率的概念：平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0). 则当x0时，商称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。00()()f xxf xyxx隐含是什么数？中 xxxx,002021/6/1613 观察函数观察函数f(x)的

9、图象的图象平均变化率平均变化率几何意义是什么几何意义是什么?f(x1010)()f xyxxxOABxyY=f(x)x0 x1f(x1)f(x2)x1-x0=xf(x1)-f(x0)=y割线割线AB的斜率的斜率2021/6/1614思考思考：（：（1） x 、 y的符号是怎样的？的符号是怎样的？ （2）该两变量应如何对应？）该两变量应如何对应？理解：理解：2.若函数f (x)为常函数时， y=0； 3 对应性：若).()(,0101xfxfyxxx则;, 0101但可正可负、xxx.)()(01可正可负，也可为零xfxfy).()(,1010 xfxfyxxx则2021/6/1615例1求函数

10、y=x2在区间x0，x0+x (或x0+x，x0)的平均变化率。解：函数y=x2在区间x0，x0+x (或x0+x，x0)的平均变化率为220000()()()f xxf xxxxxx02xx1、当 取定值, 取不同数值时, 该函数的平均变化率也不一样.x0 x2、x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。2021/6/1616一次函数一次函数y=kx+b在区间在区间m，n上的上的平均变化率有什么特点？平均变化率有什么特点？求函数求函数f(x)=2x1在区间在区间3，1上上 的平均的平均变化率。变化率。 变题变题.求函数求函数g(x)=2x在区间在区间3，1

11、上上 的的平均变化率。平均变化率。 感知感知.体会体会22k定值2021/6/1617练习：求函数练习：求函数 在在 到到 之间之间的平均变化率的平均变化率xy10 xxx0时割线的斜率作割线，求出当）（）和（两点、1 . 01 ,11 , 12xyxQPxy00000011()()1()f xxf xxxxxxxx x 10110 2021/6/1618例例2已知函数已知函数f(x)=x2+x的图象上的一的图象上的一点点A(1, 2)及临近一点及临近一点B(1+x, 2+y), 则则 xy3x2021/6/1619例例3 3、某婴儿从出生到第、某婴儿从出生到第1212个月的体重变化如图所示，

12、个月的体重变化如图所示， 试分别计算下列体重的平均变化率试分别计算下列体重的平均变化率 （1 1）从出生到第）从出生到第3 3个月个月T(月)W(kg)639123.56.58.611解解.从出生到第从出生到第3个月个月,婴儿体重的婴儿体重的平均变化率为平均变化率为从第第6个月到第个月到第12个月该婴儿体个月该婴儿体重的平均变化率为重的平均变化率为6.53.51(/)30kg月11 8.62.40.4(/)12 66kg月反思反思:两个不同的平均变化率的实际意义是什么？两个不同的平均变化率的实际意义是什么？(2) 第6个月到第12个月数学应用数学应用2021/6/1620WW乙（t）1tW甲（

13、t）Ot标准标准0t1l2lA A（1,201,20）B B（1,121,12）C C（8,58,5）业的排污量）分别表示甲、乙两企（），（其中结果如图所示进行检查，其连续监测两企业达标日期前，对甲、乙国家环保局在规定排污例乙甲tWtW. 4问题问题1 1：哪个企业的治污效果好一些？：哪个企业的治污效果好一些？问题问题2 2：在区间：在区间 t t0 0，t t1 1 上，哪一个企业的排污平均上，哪一个企业的排污平均 变化率大一些？变化率大一些？甲乙2021/6/1621曲线越曲线越陡峭陡峭，平均变化率，平均变化率越大越大，气温升高气温升高越快越快WOt1t标准标准0t甲甲乙乙陡陡 峭峭程程

14、度度平均变化率平均变化率 的绝对值的绝对值（越大）（越大）（越小）（越小）（越小）（越小）（越大）（越大） t(d)2030 342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210 (以3月18日作为第1天)曲线越曲线越陡峭陡峭，平均变化率，平均变化率越小越小，企业治污效果企业治污效果越好越好实际问题实际问题2021/6/1622to路程路程甲甲乙乙练习练习：（：（1 1）甲乙二人跑步路程与时间的关系如图甲乙二人跑步路程与时间的关系如图(1)(1)所示，问甲乙二人哪一个跑得快？所示，问甲乙二人哪一个跑得快？甲 (1) (2) (1) (2)（2 2）甲乙二人百米赛路程与时间的关系如图甲乙二人百米赛路程与时间的关系如图(2)(2)所所示，问快到终点时甲乙二人谁跑得比较快？示，问快到终点时甲乙二人谁跑得比较快？tyo0tm100甲甲乙乙乙2021/6/1623练习题练习题1.设函数设函数y=f(x)，当自变量，当自变量x由由x0改变到改变到x0+x时，函数的改变量为（）时，函数的改变量为（） Af(x0+x)B f(x0)+x Cf(x0 ) x Df(x0+x) f(x0)D 2. 一质点运动的方程为一质点运动的方程为s=12t2，则在一段时，则