【数学】《数学分析》第十七章多元函数微分学

1、精品word可编辑资料- - - - - - - - - - - - -第十七章 多元函数微分学 1 6时 1 可微性 4时 一 可微性与全微分：第 25 页，共 14 页- - - - - - - - - -1. 可 微 性 ： 由 一 元 函 数 引 入 .x 2y2 亦 可 写 为xy ,x ,y 0 , 0 时 , 0 , 0 .2. 全微分 :例 1考查函数f x, yxy 在点 x0 ,y0 处的可微性 .1 p105e1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法 :2.偏导数的几何意义 :1 p109 图案 171.3. 求偏导数 :例 2 , 3 , 4 .1 p142 143 e2

2、, 3 , 4 .例 5 设f x, yx 3y2,x 2x 2y 20 ,x 2y 20 ,y 20.证明函数f x, y 在点 0 , 0 连续 , 并求f x 0 , 0 和f y 0 , 0 .证limxf x, ycos , ysinlim2 cos3sin 2x, y 0,0 lim0cos3sin 200f 0,0 .f x, y 在点 0 , 0 连续 .3f x 0 , 0 limf x,0f 0,0limx0 ,x 0xx0 x | x |f y 0 , 0 limf 0, yf 0,0limy2不存在 .y 0yy0 y | y |ex1 p116 1171， 2 4 .

3、三.可微条件 :1. 必要条件 :th1设x0 ,y0 为 函 数f x, y定 义 域 的 内 点 .f x, y 在 点 x0, y0 可 微f x x0, y0 和f y x0 ,y0 存在 ,且df x0,y0 df x0 , y0f x x0, y0xf y x0 ,y0 y . 证由于 xdx ,ydy ,微分记为df x0 , y0 f x x0, y0 dxf y x0, y0 dy .定理 1 给出了运算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分 .例 6 考查函数f x, yxy,22xy0 ,x 2y2x 2y20 ,在原点的可微性 .1 p110e

4、5 .02. 充分条件 :th2 如函数 zf x, y的偏导数在的某邻域内存在, 且f x 和f y 在点 x0 ,y0 处连续.就函数 f 在点x0 , y0 可微 .证 1 p111th3如 f y x, y 在 点 x0 , y0 处 连 续 ,f x x, y 点 x0 , y0 存 在 , 就 函 数 f 在 点x0证, y0 可微 .f x0x , y0yf x0 , y0 f x0x , y0yf x0x , y0 f x0x , y0 f x0 , y0 f y x0x , y0yyf x x0 , y0 xx01,0f y x0 , y0yf x x0, y0 xx0f x

5、 x0 ,y0 xf y x0, y0 yxy.即 f 在点x0 ,y0 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件.例 7 设f x, y22 xy0 , sin1,x2y 222xy0 ,x2y 20 .验证函数f x, y 在点 0 , 0 可微, 但f x 和f y 在点 0 , 0 处不连续 .f x, y证x2y 2sin1x2y 20 ,x, y0 , 0.因 此 f x, y , 即f x, yf 0,00x0y ,f 在 点0 , 0可 微 ,f x 0,00 ,f y 0,00 . 但 x, y 0 , 0 时, 有f x x, y2 xsin1x2y 2xx2y

6、 2cos1,x2y2沿方向 ykx,limxlimx不存在 ,沿方向 ykx, 极限x0x2y2x 0 | x |1k 2limxcos1不存在 ; 又 x, y 0 , 0 时,2xsin10 ,x0x 2y 2x 2y2x 2y2因此 ,limf x x, y不存在 ,f x 在点 0 , 0 处不连续 .由 f 关于 x 和 y 对称 ,f y 也在 x, y 0, 0点 0 , 0 处不连续 .四.中值定理 :th4 设函数 f 在点x0, y0 的某邻域内存在偏导数. 如 x,y 属于该邻域 , 就存在x01 xx0 和y02 yy0 ,011, 021, 使得f x, yf x0

7、, y0 f x , y xx0 f y x0 , yy0 . 证 例 8 设在区域 d 内f xf y0 . 证明在 d 内f xc .五.连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六.可微性的几何意义与应用：1. 可微性的几何意义：切平面的定义 . 1 p115.th5 曲面 zf x, y 在点p x0, y0 ,f x0, y0 存在不平行于z 轴的切平面的充要条件是函数f x, y 在点p0 x0 , y0 可微 .证略 2. 切平面的求法 :设函数f x, y 在点p0 x0, y0可微，就曲面 zf x, y 在点p x0, y0 ,f x0, y0 处的切平面方程为其中 z0f x0

8、 , y0 zz0f x x0 , y0 xx0 f y x0 , y0 yy0 ，法线方向数为f x x0 , y0 ,f y x0, y0 ,1，法线方程为x x0y y0z z0.f x x0 , y0 f y x0 , y0 1例 9试 求 抛 物面zax2by 2 在点m x0, y0, z0 处 的 切 平 面方 程 和 法 线 方 程 .1 p115 e63. 作近似运算和误差估量:与一元函数对比 ,原理 .例 10 求1.083.96 的近似值 .1 p115 e7例 11 应用公式 s1 ab sin c 运算某三角形面积 .现测得 a 212.50 , b8.30 ,c30

9、 .如测量a , b 的误差为0.01 ,c 的误差为0.1.求用此公式运算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.1 p116 e8ex1 p116 1175 14 ；2复合函数微分法 （ 5 时 ）简介二元复合函数:zf x, y ,xs,t , y s, t .以以下三种情形介绍复合线路图:参阅 4 p327 328 .zf x,y ,x s, t , ys, t ;uf x, y, z ,x s, t , ys, t ,zs, t ;uf x, y, z ,xs, t, z , y s, t, z .一.链导法就 :以“外二内二”型复合函数为例.th设 函 数 xs,t , ys,t

10、在 点 s, td可 微 ,函 数 zf x, y 在 点x, y s, t , s, t可微 , 就复合函数 zf s, t , s, t 在点 s,t 可微 , 且z s,t sz x, yxxs,t sz x, yyy s,t ,sz s,t tz x, yxxs,t tz x, yyy s,t t. 证 1 p155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘” ）来概括 .对所谓“外三内二” 、“外二内三” 、“外一内二”等复合情形，用“并联加，串联乘” 的原就可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对

11、外函数的可微性假设不能减弱.如1 p156 的例.对外 m 元f u1 ,u2 ,um , 内 n 元 uki x1, x2 , xn k1 , 2 , m , 有fmfuk，i1, 2 , n .xik 1ukxi外 n 元内一元的复合函数为一元函数. 特称该复合函数的导数为全导数.例 1zln u 2v ,uex y ,vx2y . 求z 和 zxy2.1p157 e1例 2zu 2 vuv 2 ,ux cos y ,vx sinzzy .求和.xy例 3z2 x2 3x y zz y,求和.2xy例 4 设函数f u,v, w可微 .f x, y, zf x, xy, xyz . 求 f

12、x 、 fy 和fz .例 5 用链导公式运算以下一元函数的导数: yxx ; y1x2 ln x.1 p158 e4sin xcos x例 6 设函数 uux, y 可微. 在极坐标变换 xr cos,yr sin下 , 证明22u1urr 222uu.1 p157 e2xy例 7 设函数f u 可微 ,zyf x2y 2 .求证y 2z xxyz yxz.二.复合函数的全微分 : 全微分和全微分形式不变性.例 8zexy sin xy. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出z 和 z .xy1 p160 e5ex1 p160 1611 5.三.高阶偏导数 :1. 高阶偏导数的定义、记

13、法：3 z例 9zex 2 y ,求二阶偏导数和y x2.1 p167 e1例 10zarctgy .求二阶偏导数 .1 p167 e2x2.关于混合偏导数 :1 p167170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数:公式 ,1 p171例 11zf x ,x2 z . 求2 和z .1 p171 e32yxx y4. 验证或化简偏微分方程:例 12zlnx 2y.证明z+z0 . laplace方程 222x2y2例 13将方程 xuyyu0 变为极坐标形式 .x解xrcosr,yrxsin.xrx 2ryy 2 ,arctg y .xyx2,xx 2yryr,xr 2.yr 2uur

14、uxuxrxxrrryuuuru2,yryyuxu2;yrrr因此 ,xuyuyxxyurrx2ur 2xyurry 2ur 2x2y 2uu.r 2方程化简为u0 .例 14 试确定 a 和 b , 利用线性变换s xay ,t xby将方程24u 2u23u022xx yy2 u0 .s tuusutuuxsxtxst化为解,uyusutsytyaubu .st2uuu2us2ut2us2 ut=x 2x2 usts22u2 u+xs t+xt s+=xt 2x=s2 +2s t +t 2 .2uuu2 us2 ut22usut=x yyst2u+s2ys t22uu+yt s+=yt 2

15、y= as2+ ab+ b2 .s tt2uuu2222=aba 2u + 2abu + bu .因此 ,y 2ysts224u2u2u232s tt 2214ax3a 2 x yy2u+ 24a4b6ab2u+14b3b 2 u .令14a3a 20 ,12us224b3b0 ,2 u2us t1a,b32u1 或 at 211 , b3或 ,此时方程430 化简为0 .x2x yy 2s tex1 p1831， 2 . 3方向导数和梯度 （ 3 时 ） 一方向导数：000001. 方向导数的定义：0定义设三元函数 f 在点p x , y , z 的某邻域p r3 内有定义 . l 为从点p

16、 动身的射线 . p x, y, z为 l 上且含于 p0 内的任一点 ,以表示 p 与 p0 两点间的距离 .如极限lim0f pf p0 liml f0存 在 , 就 称 此 极 限 为 函 数 f 在 点f l x0 , y0, z0 .p0 沿 方 向 l 的 方 向 导 数 , 记 为flp0或fl p0 、对二元函数 zf x, y 在点p0 x0, y0, 可仿此定义方向导数 .易见 ,f 、 f和f 是三元函数 f 在点xyzp0 分别沿 x 轴正向、 y 轴正向和 z 轴正向的方向导数.例 1f x, y, z = xy 2z3 .求 f 在点p0 1, 1 ,1 处沿 l

17、方向的方向导数 ,其中 l 为方向 2 ,2 , 1 ; l 为从点 1, 1 ,1 到点 2 ,2 ,1 的方向 .解 l 为方向的射线为 x12y1z1令t 210 .即x2t1 ,y2t1 ,zt1, t0 .f p0 f 1 ,1,13,f pf 2t1 ,2t1, t1 2t12t1 2 t1 3t 37t 2t3 x1 2 y1 2z1 22t 2 2t 2t 23t .因此 ,f3limf pf p0 lim t7t 2t1.lp00t03t3 从点 1 , 1 , 1 到点 2 ,2 ,1 的方向 l 的方向数为1 ,3 , 0 ,l 方向的2射线为xt1 ,y3t1 ,z1

18、, t0 .f pf t1 ,3t1,1 9t5t3,f p0 f 1,1,1 3 ; x1 2 y1 2 z1 2t 23t 210t .因此 ,flimf pf p0 lim9t 25t5.lp00t010t102. 方向导数的运算 :th如函数 f 在点p0 x0 , y0, z0 可微 , 就 f 在点p0 处沿任一方向 l 的方向导数都存在,且f l p0 f x p0 cos+f y p0 cos+f z p0 cos,其中 cos、 cos和 cos为 l 的方向余弦 . 证 1 p163对二元函数f x, y ,fl p0 f x p0 cos+f y p0 cos,其中和是

19、l 的方向角 .注： 由fl p0f x p0 cos+f y p0 cos+f z p0 cos=f x p0 ,f y p0 ,f z p0 cos,cos,cos,可见 ,f l p0 为向量f x p0 ,f y p0 ,f z p0 在方向 l 上的投影 .例 2 上述例 1 解 l 的方向余弦为cos=22,cos=2,cos1=.222 213233f x p0 =1 ,f y p0 = 2 y y 12,f z p0 = 3z23 .因此 ,f = fxlp0cos+f y p0 cos+f z p0 cos= 2z 132 2 3 11 .333 l 的方向余弦为21cos=

20、1,cos=3,cos= 0.因此 ,212 2f1=12l101231011 210105.10可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例 31 p164 e2 .二.梯度 陡度 :1. 梯度的定义 :gradff x p0 ,f y p0 ,f z p0 .| gradf|=2f x p0 2f y p0 2f z p0 .易见 , 对可微函数 f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义 :对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向.这是由于f l p0 gradfl| gradf p0 | cos.其中是 l 与gradfp0 夹角 . 可见0 时f l p0 取

21、最大值 , 在 l 的反方向取最小值.3. 梯度的运算 : grad ucgrad u . grad u +v =grad u +grad v .grad u v =u grad v + v grad u.vugradvvgradugrad2.uugradf u =f u gradu .证 vuv xxu u 2uxv,v uvy2uyuuyv.gradv u12uvxuu xv ,uvyuy v 1 uv, u v u 2xy ux v, uy v 1uvu 2x, vy vu x, u y ugradvvgradu.u 2ex1 p1651， 2 ，3 ， 6 .4taylor公式和极值问

22、题 （ 4 时 ）一中值定理：凸区域 .th 1设二元函数 f 在凸区域 dr 2 上连续 , 在 d 的全部内点处可微. 就对 d 内任意两点pa,b ,q ah , bkintd , 存在 01 , 使f ah , bkf a, bf x ah , bkhf ah , bkk .证令t f ath , btk ,.在闭凸区域上的情形 :1 p173 174.推论如函数 f 在区域 d 上存在偏导数, 且 f x二.taylor公式:f y0 , 就 f 是 d 上的常值函数 .th 2 taylor 公式 如函数 f 在点p0 x0 ,y0 的某邻域 p0 内有直到 n1 阶连续偏导数,

23、就对 p0 内任一点 x0h , y0k ,存在相应的0 ,1 ,使f x0h , y0kn1hi 0 i.xikf x0 , y0 y1h n1.xn 1kf x0yh , y0k.证1 p175例 1求函数f x, yx y 在点 1 , 4 的 taylor 公式 到二阶为止 . 并用它运算 1.08 3.96 .三.极值问题 :1. 极值的定义 :留意只在内点定义极值.例21 p176 e5ex1 p1835， 6， 7 .2. 极值的必要条件：与一元函数比较.1 p175 176 e4 .th 3设 p0 为函数f p 的极值点 . 就当f x p0 和存在时 ,有f x p0 =f y p0 0 .证函数的驻点、不行导点， 函数的可疑点 .3. 极值的充分条件 :代数预备 :给出二元 实 二次型gx, yax 22bxycy2 .其矩阵为a b.b c gx, y 是正定的 ,次序主子式全0 ,|kg x, y 是半正定的 ,次序主子式全0 ; gx, y 是负定的 ,1 k| aij10 ,其中 | aij|k 为 k 阶次序主子式 .1gx, y 是半负定的 , 1 k| aij