高等数学41不定积分的定义课件

1、高等数学41不定积分的定义1高等数学41不定积分的定义2前言前言 在第二章中讨论了求已知函数导数的问题在第二章中讨论了求已知函数导数的问题,在科学技术领域在科学技术领域 中中,还常常遇到相反的问题还常常遇到相反的问题.即即已知一个函数的导数已知一个函数的导数,如何求这个函数如何求这个函数? 如如:一质点作非匀速直线运动的规律为一质点作非匀速直线运动的规律为s=s(t),则在时刻则在时刻t的速度的速度v v 反之反之,若已知质点运动的速度为若已知质点运动的速度为v(t),如何求如何求质点的运动规律质点的运动规律s=s(t)? 这在数学上归结为这在数学上归结为求导运算的逆运算求导运算的逆运算,称之

2、称之为不定积分法为不定积分法.)()(tStV 高等数学41不定积分的定义3例 S(t)是v(t)的原函数 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间), 0(内内的的原原函函数数.定义定义Definition ：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 Concept of Concept of antiderivative and indefinite integralantiderivative and indefinite integral高等数学41不定积分的定义4原函数存在原函数存在定理定理 theorem简

3、言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题： (1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例 xxcossin xCxcossin （ 为任意常数）为任意常数）C使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？高等数学41不定积分的定义5关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都是都是)(xf的原函数的原函数.（2）若）若 和和 都是都是 的原数，的原数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()(（C 为某个常数）为某个常数）证证P

4、roof )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（C 为某个常数）为某个常数）若若F(x)是是f(x) 的一个原函数，则的一个原函数，则F(x)+c就是就是f(x)的全体原函数的全体原函数. (c为任意常数为任意常数)高等数学41不定积分的定义6任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：Definition of indefinite integral ：CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意称称为为)(xf在在区区间间I内内的的高等数学41不定积分的定义7例例 Ex

5、ample Example 1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例 Example Example 2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx高等数学41不定积分的定义8例例 Example 3Example 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程此曲线方程.解解 solution设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,22

6、 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy高等数学41不定积分的定义9设设函函数数)(xf的的一一个个原原函函数数为为F(x),则则y=F(x)的的 图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族. Y=F(x)+C的图形是的图形是f(x)的全部积分曲线所构的全部积分曲线所构成的积分曲线族成的积分曲线族. 积分曲线族里所有积分曲线在点积分曲线族里所有积分曲线在点x处的切线处的切线彼此平行，斜率均为彼此平行，斜率均为f(x). )()(xfCxF如下图如下

7、图高等数学41不定积分的定义10 xyoxy=F(x)高等数学41不定积分的定义11( )( ),df x dxf xdx ( )( ),df x dxf x dx ( )( ),F x dxF xC ( )( ).dF xF xC 结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知如初等数学中如初等数学中:(0)nnxx x()()nnxx xoxaxa loglog(0)axax x 与与与与arcsin(sinx)=x (x为为弧度），sin(arcsinx)=x(x为实数）乘方与开方互逆乘方与开方互逆指数与对数互逆指

8、数与对数互逆高等数学41不定积分的定义12实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积分表基本积分表 Fundamental integral tableFundamental integral table 高等数学41不定积分的定义13基本积分表基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx说明：说明： , 0 x

9、,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln CxxdxCxdxx 21 cxdxcxdxx 112，0dx C高等数学41不定积分的定义14 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(cos;xC xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csccot;xC (或或-arccotx+C)(或或-arccosx+C)高等数学41不定积分的定义15 xdxxtansec)10(;secCx xdxxco

10、tcsc)11(csc;xC dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 高等数学41不定积分的定义16例例 ExampleExample 4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 高等数学41不定积分的定义17 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证Proof dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的

11、情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质 Properties Properties of indefinite integralof indefinite integral 高等数学41不定积分的定义18 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例Example Example 5 5 求积分求积分解解Solution .)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C （性质（性质（1）（）（2）称为线性性质，导数与积分都具有）称为线性性质，导数与积

12、分都具有线性运算性质线性运算性质,但但sin(x+y) sinx+siny,ln(x+y) lnx+lny都是非线性运算）都是非线性运算） 高等数学41不定积分的定义19例例 Example 6Example 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 高等数学41不定积分的定义20例例 Example 7Example 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1C

13、xx 例例 Example 8dxxx 241dxxx 24111dxxx)111(22 cxxx arctan33高等数学41不定积分的定义21例例9.dxxxx)1)(1( dxxxx)11(23 dxxxdxdxdxx 231cxxxx 2552212221例例10.dxxx 33)1(dxxxxx 332331dxxxxx)33(38353231 cxxxx 311383532113895923cxxxx )111835321(33232高等数学41不定积分的定义22例例11.dxxxx dxx 814121dxx 87cx 815158例例12.dxxxex)2cos3( cxxex

14、 ln2sin3例例13.dxexx2)2( dxeexxxx 22)(22)2( dxeexxx 2)2(24ceeeexxx 22ln)()2ln()2(24ln4ceexxxx 22ln122ln2421高等数学41不定积分的定义23例例14xdx 2tandxx)1(sec2 cxx tan例例15dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossindxxdxx 22sin1cos1cxx cottan例例16dxxx 2sincos122dxxxx )cos1(21)cos1)(cos1( dxx)cos1(2cxx )sin(2（检验结果是否正确，只要把结果求

15、导，看它是否（检验结果是否正确，只要把结果求导，看它是否等于被积函数即可。）等于被积函数即可。）高等数学41不定积分的定义24例例 Example Example 17 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明说明Directions ：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.高等数学41不定积分的定义25例例 Example 18Example 18 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的切线斜率为处的切线斜率

16、为xxsinsec2 ， 且此曲， 且此曲线与线与y轴的交点为轴的交点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程. 解解Solution ,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy高等数学41不定积分的定义26基本积分表基本积分表 (1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念原函数的概念)()(xfxF 不定积分的概念不定积分的概念 CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、 小结小结 Brief summaryBrief summa

17、ry高等数学41不定积分的定义27思考题思考题Consideration question符号函数符号函数Sign function 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),( 高等数学41不定积分的定义28思考题解答思考题解答 Solution to consideration question不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在内不存在原函数原函数 .),( )(xf结论结论每一个含有每一个含

18、有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.高等数学41不定积分的定义29练习题练习题Exercises 高等数学41不定积分的定义306 6、 dxxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；7 7、 xxdx2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；8 8、 dxxx)23(2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；9 9、 dxxx) 1)(1(3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 dxxx2)1 (= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、求求下下列列不不定定积积分分： 1 1. . dxxx221 2 2. .