高等数学同济版习题课件

1、高等数学同济版习题1高等数学同济版习题21 1、区域、区域 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1）邻域）邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2）区域）区域高等数学同济版习题3（3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一

2、个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.（4）n维空间维空间 设设n为为取取定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标.高等数学同济版习题42 2、多元函数概念、多元函数概念定义定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数高等数学同济版习题5定义定义 设函数

3、设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为,D),(000yxP是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在，总存在正 数正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称A为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）. .3 3、多元函数的极限、多元函数的极限高等数学同济版习题6说明：说明：（1）

4、定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时时，设设高等数学同济版习题75 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性定定义义 设设n元元函函数数)(Pf的的定定义义域域为为点点集集0, PD是是其其聚聚点点且且DP 0， 如如果果)()(lim00Pf

5、PfPP 则则称称 n元元函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.高等数学同济版习题8 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介上取得介于这两值之间的任何值至少一次于这两值之间的任何值至少一次（

6、1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质高等数学同济版习题9定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，当当y固固定定在在0y而而x在在0 x处处有有增增量量x 时时，相相应应地地函函数数有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ，如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对x的的偏偏导导数数，记记为为7 7、偏导数概念、偏导数概念高等数学同济版习题10同理可定义

7、函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.高等数学同济版习题11如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，x

8、f ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.高等数学同济版习题12、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.高等数学同济版习题13 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量)

9、,(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=yBxA .、全微分概念、全微分概念高等数学同济版习题14多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导沿任意方向的方向导数存在沿任意方向的方向导数存在高等数学同济版习题1510

10、10、复合函数求导法则、复合函数求导法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数，则复合函数数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz高等数学同济版习题16高等数学同济版习题171111、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全

11、微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .高等数学同济版习题180),()1( yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式1212、隐函

12、数的求导法则、隐函数的求导法则高等数学同济版习题19隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF高等数学同济版习题20

13、0),(0),()3(vuyxGvuyxF隐隐函函数数存存在在定定理理 3 3 设设),(vuyxF、),(vuyxG在在点点),(0000vuyxP的的某某一一邻邻域域内内有有对对各各个个变变量量的的连连续续偏偏导导数数，且且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且且偏偏导导数数所所组组成成的的函函数数行行列列式式（或或称称雅雅可可比比式式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(高等数学同济版习题21在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯

14、一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 高等数学同济版习题22vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 高等数学同济版习题231313、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()

15、()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 高等数学同济版习题24()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线. 0),(: zyxF 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 高等数学同济版习题251414、方向导数、方向导数.),(),(lim0 yxfyyxx

16、flf 的的方方向向导导数数沿沿方方向向则则称称这这极极限限为为函函数数在在点点在在，时时，如如果果此此比比的的极极限限存存趋趋于于沿沿着着当当之之比比值值，两两点点间间的的距距离离与与函函数数的的增增量量定定义义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 记为记为高等数学同济版习题26.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义（ 其其中中222)()()(zyx ）),(yxfz ),(yxPcoscosyfxflf定理如果函数定理如果函数在点在点那末函数在该点沿任意方向那末函数在该点沿任意方向L L的方向导数都存在，且

17、有的方向导数都存在，且有是可微分的，是可微分的，的方向余弦。是，其中lcoscos高等数学同济版习题27定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在平平面面区区域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点DyxP ),(，都都可可定定出出一一个个向向量量jyfixf ，这这向向量量称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP的的梯梯度度，记记为为 ),(yxgradfjyfixf .梯度的概念梯度的概念高等数学同济版习题28 函函数数在在某某点点的的梯梯度度是是这这样样一一个个向向量量，它它的的方方向向与与取取得得最最大大方方向向导导数数的的方方向向一一致

18、致,而而它它的的模模为为方方向向导导数数的的最最大大值值梯梯度度的的模模为为 22| ),(| yfxfyxgradf.梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系高等数学同济版习题291515、多元函数的极值、多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极

19、小小值值；定义定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值.使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点.高等数学同济版习题30定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，称为多元函一阶偏导数同时为零的点，称为多元函数的数的驻点驻点.高等数学同济版习题31定定理理 2 2（充

20、充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .高等数学同济

21、版习题32求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.高等数学同济版习题33拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由

22、由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 ,yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值高等数学同济版习题34典型例题典型例题1、求极限yxyxyx00lim法一法一 原式011100 xyyxlim法二法二 令,xky 则, 原式010kkxxlim法三法三 令,sin,cos ryrx则00 sincossincoslimrr实际上若令xxy2则 原式12230 xxxxlim 所以所以极限不存在极限不存在！前面三法均不正确,时，下列算法是否正确是

23、否正确?原式高等数学同济版习题35不存在。不存在。、证明、证明yyxx002limyyxx00lim:证证明明xyyxelnlim00 xkyln取取xyxkyxelnlnlim0 xxkxelnlnlim0ke.lim不不存存在在yyxx00高等数学同济版习题3623222222003)(sinlimyxyxyxyx、30 sinlim2031 coslim6160 sinlim高等数学同济版习题37解解.)(lim22004yxxxyyx、求求极极限限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等等价价于于则则yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)c

24、os(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故高等数学同济版习题3814215232yeyxyxyxfxxyarctan)()(),(、),( 21xf求求),( 21yf:解解),( 21xf12xxf ),(1202xxx122222xxxxx)ln(44ln),( 21yf1122yyyyf)( ),(高等数学同济版习题39,xzyzyxu 、6.),(121du求求:解解112112xdxxduxu),(),(442112xxxx )(212111ydyyduyu),(),(12yy)(112121zdzzduzu),(),(4221ln)(zzzdzdydxdu)l

25、n(),(424121高等数学同济版习题400002222232222yxyxyxyxyxf,)(),(7 7、证明、证明: :提示提示: : 利用利用 ,222yxyx212241)(),(yxyxf),(),(lim00000fyxfyx在在 (0,0) (0,0) 连续连续f(0,0)(0,0)0 xyff知知在点在点(0,0)(0,0)处处连续连续且且偏导数存在偏导数存在 , , 但但不可微不可微 . .由偏导数定义：由偏导数定义：高等数学同济版习题417、0002222232222yxyxyxyxyxf,)(),(证明证明： 在点(0,0)处连续连续且偏导数存在偏导数存在 , 但不可

26、微不可微 .),(yxf而),(00f当00yx，时,2200)()(),(yxf22222)()( )()(yxyx0 f 在点(0,0)不可微不可微 ! !232222)()( )()(yxyx高等数学同济版习题428 8、解解.,)(),(yxzyzyzfxyxyfxz2223求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 高等数学同济版习题43xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(221

27、4fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 高等数学同济版习题44. 922222xuatuatxatx 化化简简方方程程，利利用用变变量量代代换换 解解 tututu uaua 22tu)(222tutua)(222tutua 222222222uauaua22222222 uuuxu类类似似地地，高等数学同济版习题45042222222 uaxuatu由由02 u得得 22tu222222222 uauaua22222222 uuuxu高等数学同济版习题461010、 设设其中其中 f 与与F 分别分别,),(,)(0zyxFyxfxz解法解法1.1. 方程两边对方程两边对

28、 x 求导求导, ,得得xdzd)(023FFfxxdzd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx具有一阶连续导数或偏导数具有一阶连续导数或偏导数, , 求求fxfxdzdxdydfx132FxdzdFxdydFf fx)(xdyd1.xdzdxdydF203xdzdF高等数学同济版习题47解法解法2.2.0),(, )(zyxFyxfxzxdzd, , 求求方程两边求微分方程两边求微分, ,得得化简化简消去消去 即可得即可得ydxdzdydF203zdFydfx0 zd)(ydxdfxxdfzd 0321zdFydFxdFxdfxf)(xdF1高等数学同济

29、版习题4811.设),(zyxfu 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, , 且且,sintxz2, )ln(yxt求.,yxuxu2解:uzyxtxyxxu1f( 3ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2)cossin2(231yxtxtxff 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin(yxtxtx22 3fyxtx12 cos22 )(yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1高等数学同济版习题49解解,dxdzzfdxdyyfxfdxdu,cosxdxdy 显显然然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzex

30、y ,02321 dxdzdxdyexy 1212、., 0),(,sin, 0),(),(2d xd uzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设高等数学同济版习题50于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故高等数学同济版习题51解解?,),(0000222222模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的具具有有什什么么关关系系时时的的方方向向导导数数，问问的的向向径径处处沿沿点点在在点点求求cbarzyxMczbyaxu 1313、 ,20202000000zyxrzyxr .cos,

31、cos,cos000000rzryrx 处处的的方方向向导导数数为为在在点点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 高等数学同济版习题52002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处的梯度为在点 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax 高等数学同济版习题53,2424242000czbyaxgraduM ,时时当当cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazyxzyxaruM ,

32、0MMgraduru .,模模此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的相相等等时时故故当当cba高等数学同济版习题54极大值，但无极小值。极大值，但无极小值。有无穷多个有无穷多个、证明函数、证明函数yyyexezcos)(114:证明证明0101yyyxeyxzxez)(cossin)(令令21202ynxynx )(,和和解解得得xezyxxcos)( 1xezyxysinyyyeyxz)(cos2高等数学同济版习题55处处在在)0 ,2( n02020122ABAC，且且)(2,0n （）202),( nz极极大大值值为为处处在在)2,)12( n，010142222eeeeBAC)(21)2-n（，）.故函数无极小值故函数无极小值是极大值点不是极值点高等数学同济版习题56之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz1515、解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP高等数学同济版习题57),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )