考研数学拓展班第1讲函数极限课件

1、考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限第一讲第一讲 函数、极限函数、极限1 函函 数数1 1函数的定义函数的定义因变量因变量自变量自变量数集数集D 叫作这个函数的定义域叫作这个函数的定义域, ,),(DxxfyyW函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集称为函数的称为函数的值域值域 , ,记作记作)(xfy 定的数值和它对应，则称定的数值和它对应，则称y y是是x的的函数函数, , 设设x 和和y是两个变量是两个变量, ,D 是一个给定的数集，如是一个给定的数集，如Dx果对于每个数果对于每个数 , ,变量变量 y 按照一定法则总有确按照一定法则总有确 记作记作 )(Df考研数学

2、拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限2 2函数的一些几何特性函数的一些几何特性(1) 有界函数有界函数: : 如果存在如果存在 M 0 使得使得Dx , Mxf)(则称函数则称函数 f(x) 在在D上上有界有界 , 否则称函数否则称函数 f(x) 在在D上上无界无界 M-MyxOy = f (x)X注：注：1 有界性和函数定义区间有关有界性和函数定义区间有关2 函数可单边有界，即可以函数可单边有界，即可以 有上界或下界有上界或下界考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(2) 单调函数单调函数: :21xx 若对任意的若对任意的 只要只要 , ,有有,Dx , x21)

3、()(21xfxf( (或或 ) ) )()(21xfxf则称则称 f (x) 在在 D 上上单调增加单调增加 (单调减少单调减少)21xx 若对任意的若对任意的 只要只要 , ,有有,Dx x21)()(21xfxf( (或或 ) ) )()(21xfxf则称则称 f (x) 在在 D 上上严格单调增加严格单调增加 (严格单调减少严格单调减少)注：注： 函数函数y=c既是单调增加函数，也是单调减少函数。既是单调增加函数，也是单调减少函数。 但它不是严格单调函数。但它不是严格单调函数。考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(3) 函数的奇偶性函数的奇偶性:)()()()(xfx

4、f xfxf),(llx若对任一若对任一 总有总有设函数设函数 f (x) 在区间在区间 上有定义上有定义, ,),(ll则称则称 f (x) 在在 上是上是偶函数偶函数 (奇函数奇函数),(ll注：注： 定义区间一定是对称区间。定义区间一定是对称区间。考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(4) 周期函数周期函数:设函数设函数 f (x) 定义域为定义域为D , ,如果存在如果存在 ()( )f x Tf x 则称则称 f (x) 为以为以T为周期的为周期的周期函数周期函数 , T 称为称为 f (x) 的的 任意的任意的 总有总有 , ,并且并且,DxxTD 常数常数T 0

5、 , 使对使对周期周期 ( 这里是指最小正周期这里是指最小正周期)注：注：1 周期函数的定义域既无上界也无下界周期函数的定义域既无上界也无下界思考：思考：xxfsin)( 是周期函数吗？是周期函数吗？ 答：答：不是不是.2 并非任何一个周期函数都有最小正周期并非任何一个周期函数都有最小正周期.答：常量函数答：常量函数，Cxf )(每一个正数都是其周期每一个正数都是其周期.考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例1 下列函数是不是周期函数下列函数是不是周期函数21xxxftansin)( )( 22 xxxgcossin)( )( 周期函数和或积是否为周期函数，取决于两周期函数

6、周期函数和或积是否为周期函数，取决于两周期函数的周期是否有公倍数（即两周期之比是否为有理数）的周期是否有公倍数（即两周期之比是否为有理数）解（解（1）xsin的周期的周期 1T2xtan的周期的周期 22 T 22212121 TTTT )(xf是是 周期函数周期函数T=2 xsin的周期的周期 ， 21 T2 xcos的周期的周期42 T（2） 221 TT所以所以 g (x) 不是周期函数不是周期函数考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例2 设设f (x) 与与 g(x) 为奇函数或偶函数，试讨论复合为奇函数或偶函数，试讨论复合函数函数 f (g(x) 的奇偶性的奇偶性

7、 解解 （1）如果）如果 g(x) 为偶函数，即为偶函数，即 )()( )()(xgfxgfxgxg （2）如果）如果 g(x) 为奇函数，即为奇函数，即 )()( )()(xgfxgfxgxg f (g(x) 恒为偶函数恒为偶函数1）若）若f (x) 为偶函数为偶函数 f (g(x) 为偶函数为偶函数 f (g(x) 为奇函数为奇函数2）若）若f (x) 为奇函数为奇函数考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限3反反函数、复合函数函数、复合函数（1）反函数）反函数 设设y=f (x) 的定义域为的定义域为D，值域为，值域为W. 若对若对W中任意中任意y，通过通过 y=f(x)

8、确定确定 D 中唯一的中唯一的x 值与其对应值与其对应 ,得到一个得到一个 新的函数，我们把这个新的函数称为新的函数，我们把这个新的函数称为y=f(x)的的反函数反函数， 记作记作 , yfx)(1习惯上常将习惯上常将 y=f(x) 的反函数，记为的反函数，记为)(xfy1注注 1 y = f(x) 与与 的图象关于的图象关于y = x 对称对称 )(xfy12 若若 y=f (x) 在在 D上严格单调上严格单调 ,则在则在 f (D) 上上 y=f(x) 存在严格单调存在严格单调 (具有相同单调性具有相同单调性)的反函数。的反函数。考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限（2）

9、复合函数）复合函数设函数设函数 y=f (u) , u U ; u=g(x) , x X ,若若 g(X)U , 则称函数则称函数 )()(UxgxDx , xgfy是由函数是由函数 y = f (u) 和和 u=g(x) 复合而成的复合而成的复合函数复合函数 ,变量变量 u 称为称为中间变量中间变量 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限4分段函数，初等函数，积分上限函数分段函数，初等函数，积分上限函数（1）分段函数）分段函数在定义域的不同区域上用不同表达式表出的在定义域的不同区域上用不同表达式表出的函数称为函数称为分段函数。分段函数。 （2）初等函数）初等函数1) 基本初等

10、函数基本初等函数: 常数、幂函数、对数函数、常数、幂函数、对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数指数函数、三角函数、反三角函数2）初等函数：初等函数：基本初等函数经过有限次四则运算基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算能用一个解析式子表示的函数及有限次复合运算能用一个解析式子表示的函数 .考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限（3）变上限积分函数）变上限积分函数)()()()()()(xxxadttfxg , dttfxF说明：说明： 用方程、极限、导数、无穷级数也可表示函数用方程、极限、导数、无穷级数也可表示函数 nnnnnnxdxdxg , xxxxf)()(li

11、m)(139432（4）原函数）原函数若若F(x)为连续函数为连续函数f(x)的原函数，可以用变上限函数表示的原函数，可以用变上限函数表示0( )( )+C xF xf t dt 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例3求函数求函数 的反函数的反函数 )sgn()(xxy21 解解 ,),( , ,01000122xxxxxy当当 x 0 时，时，112 xy反函数反函数11 yyx,当当 x 0 , 满足满足 的只有有限项的只有有限项 aan(B) 对于任给的对于任给的 0 , 总有相应的项总有相应的项 ,naaan(C) 存在某个正数存在某个正数 , 除有限项外除有限项

12、外 , 都有都有00aan(D) 存在某个正数存在某个正数 , 有无限多项满足有无限多项满足0aan0解解选选 ( D )11 aann,)(112 5() ,.nnaa 11 aann,)(考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限2极限的性质极限的性质(1) 极限的唯一性极限的唯一性若若 , 则极限唯一。则极限唯一。Axfxx)(lim0(2) 极限的有界性极限的有界性若若 , 则存在则存在 使使 f(x) 在在 Axfxx)(lim0)(0 xN)(0 xN上有界上有界 ( 局部有界性局部有界性)函数极限函数极限:数列极限数列极限: 若若 , 则则 是有界数列是有界数列aan

13、nlimna( 整体有界性整体有界性)考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(3) 极限的局部保号性极限的局部保号性 若若 ),()(lim000A Axfxx ,0当当 时时, 00 xx有有 , xf0)(（或（或 f(x) 0 )注注: 性质性质(3),(4) 常用于证明题；但结论反过来不成立常用于证明题；但结论反过来不成立 (4) 极限的局部保序性极限的局部保序性 若若 , 且且 A 0 , 当当 时时, 有有 f (x) g(x),(0 xNx考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(5) 极限的几个等价关系极限的几个等价关系(证明题、计算极限）证明题、

14、计算极限）)()()(limxAxf Axfxx0)(lim( xxx001)（常被用来讨论分段函数在分段点处的极限）（常被用来讨论分段函数在分段点处的极限）Axfxf )()(0000 Axfxx)(lim02)aaa aannnnnn122limlimlim3)考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(6) 极限的四则运算法则极限的四则运算法则如果如果 ， 则有则有Bxg , Axf)(lim)(lim1）)(lim)(lim)()(limxgxf xgxf2）)(lim)(lim)()(limxgxf xgxf3）)()(lim)(lim)()(lim0B xgxf xgx

15、f考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例5已知已知,lim012baxxxx求求 a , b .解解 122xbxbaaxxx)(lim原式原式 0112 xbxbaxax)()(lim 001baa解得解得 11 ba, 此时此时01112 xbaxxxxxlimlim考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例6求求)sin(limxxeexxx 41012解解)sin(lim)(xxeefxxx 410120013402111sinlim()xxxxexexe 1121200410 )sin(lim)(xxeefxxx10000 )()(ff由由1124

16、10 )sin(limxxeexxx考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例7 若若 计算计算 ,)(sinlim0630 xxxfxx206xxfx)(lim解解206( )limxf xx 2066cos6lim3xxx 306( )limxxxf xx 30sin6( )6sin6limxxxf xxxx 306sin6limxxxx 201 cos62lim36xxx 所以所以206( )lim=36xf xx 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例8证明证明不存在不存在 . .证 取两个趋于取两个趋于 0 的数列的数列021 nxn及及0212

17、nxn有有nnx1sinlim nnx 1sinlim所以所以不存在不存在 .),2,1( n02sinlim nn1)2sin(lim2 nn二者不相等二者不相等,01limsinxxxy1sin 01limsinxx考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(7) 极限存在的判定准则极限存在的判定准则(a) 单调有界准则：单调有界准则：(b) 夹逼定理：夹逼定理：单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .(2)limlimnnnnyza (1)(1, 2,)nnnyxzn axnn lim 如果数列如果数列 nnnzyx,满足满足注：注： 函数极限有类似的夹逼定理函数极限有

18、类似的夹逼定理考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例9设设 )(211nnnxaxx ),2,1( n,0 a,01 x, 且且求求.limnnx 分析分析易知易知，由由01 x), 2, 1(0 nxnxn的单调性如何？的单调性如何？nnnnnxxaxxx )(211)(21nnxxa nnxxa22 0？关键：关键：(2,3,)?nxa n 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限证证1有界性有界性.有有下下界界nx)()(2122nnxax 易知易知10 x 由由，)., 2, 1(0 nxnnnxax )(211nnnxaxx a ), 2, 1( n

19、2单调性单调性nnnnnxxaxxx )(211)(21nnxxa nnxxa22 .单单调调减减少少且且有有下下界界nx), 3, 2(0 n，令令Axnn lim考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限 nxaxxnnn，令令由由)(211得得 ),(21limlim1nnnnnxaxx ),(21AaAA 即即 （舍舍去去）或或解解得得aAaA .limaxnn 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例10 求求 nnnnnnnnn2222211lim解解nnnnnnnnxn 2222211设设 ，则，则 nxnnnnnnnnnn2222111211222

20、 nnnnnnn)()()()( 12122122 nnnnxnnnnn由由 及夹逼定理得及夹逼定理得2112122122 )()(lim)()(lim nnnnnnnnnn原极限原极限21 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限. 9)93(lim1 nnnn解解nnn939 nnn1 939 即即而而, 99lim n nn29lim, 919 所以所以nn2lim9 ,92n , 29n 例例11 求极限求极限1lim(39 ) .nnnn 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(8) 重要极限重要极限1)10 xxxsinlim2)exxxxxx1011

21、1limlim例例12 已知已知 , 求常数求常数 a 9xxaxaxlim解解xxxxaxaaxax 21limlim92 ae3ln aaxaxaaxxaxa 2221lim考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限 例例13 若若 ，问，问a为何值时，为何值时， 0012xxaxxxxf,sin)()(limxfx0存在且极限值为多少？存在且极限值为多少？解解010000 xxxffxxsinlim)(lim)(axaxffxx )(lim)(lim)(20000为使极限为使极限 存在存在)(limxfx0)()(0000 ff即即 0 a此时此时00 )(limxfx考研数

22、学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限3 无穷小与无穷大无穷小与无穷大1无穷小与无穷大无穷小与无穷大(1) 无穷小无穷小(量量):若若 , 则称在此极限过程中则称在此极限过程中,0)(limxf f (x) 是一是一无穷小无穷小(量量) (2) 无穷大无穷大(量量): 若若 , 则称在此极限则称在此极限过程过程 lim 中中, f(x) 是一是一无穷大无穷大(量量) )()(limxf无穷小量和无穷大量一定与自变量的某个无穷小量和无穷大量一定与自变量的某个 变化过程相联系的变化过程相联系的 ；注注:2 0是无穷小量；是无穷小量； 4 若若 则则 , xf)(lim01)(limxf(

23、 无穷大的倒数是无穷小无穷大的倒数是无穷小 )3 无穷大是无界量，但无界函数未必是无穷大；无穷大是无界量，但无界函数未必是无穷大；考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限1) 有限个无穷小的和是无穷小有限个无穷小的和是无穷小2) 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小3) 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小2无穷小的运算性质无穷小的运算性质3无穷大的运算性质无穷大的运算性质(a) 若若 则则, xg , Axf )(lim)(lim xgxf)()(lim(b) 若若 (可为可为 ) , 则则 0 Axf)(lim, xg )(lim xgxf)(

24、)(lim考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例14 设数列设数列 和和 满足满足 则则 nxny, yxnnn0lim下列断言正确的是下列断言正确的是(A) 若若 发散发散 , 则则 必发散必发散 nxny(B) 若若 无界无界 , 则则 必有界必有界 nxny(C) 若若 有界有界 , 则则 必为无穷小必为无穷小 nxny(D) 若若 为无穷小为无穷小 , 则则 必为无穷小必为无穷小 nx1ny解解 (A) 反例反例 ，而，而21nynxnn ,01 nyxnnnnlimlim(B) 反例反例, ,0020102010nynxnn 00 nnnnyxlimlim考研数学

25、拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限(C) 反例反例11 nnynx,01 nyxnnnnlimlim(D) 正确正确令令 ，则，则nnnyxw 0 nnwlim01 nnnnnxwylimlim所以选所以选 (D)考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限设设,)(lim0 x 0 )(lim x 1) 若若,)()(lim0 xx 则称则称(x) 是是(x) 高阶无穷小高阶无穷小 ,记为记为)()(xox 2) 若若,)()(lim0 lxx 则称则称 (x) , (x)在该趋限过程在该趋限过程).()(xOx 中是中是同阶无穷小同阶无穷小 , 记为记为3) 若若,)

26、()(lim1 xx 则称则称 (x) , (x)在该趋限过程在该趋限过程),()(xx中是中是等价无穷小等价无穷小 , 记为记为4无穷小的阶无穷小的阶4) 若若, k xxOxk)()()(00则称则称 (x)为为 k 阶无穷小阶无穷小 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限)( )( limxx若若 且且 存在存在 ，则，则, xx , xx)( )()( )()( )( lim)()(limxxxx5利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限注：注： 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小代换在用等价无穷小代换时，要用与分子或分母时，要用与分

27、子或分母整体整体等价的无穷小代换等价的无穷小代换.对于代数和中各无穷小对于代数和中各无穷小, 一般不能分别代换一般不能分别代换. 即遇无穷小即遇无穷小 “+”, “ ”时时, 一般一般不能不能代换；代换；ab 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价无穷小遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价无穷小进行代换进行代换.考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限6常用等价无穷小常用等价无穷小时，时，当当0 xxx sinxx arcsinxx tanxx arctan221cos1xx xx )1ln( xex1 xx 1)1( )0( 常常数数考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数

28、极限7洛比塔法则洛比塔法则, )( )( lim , )( Axgxfxgax 0设设 f(x) , g(x) 在在, )( )(lim 0 xf),( )(lim 0 xg),( aN上可导上可导 , 且且 则则 )( )( lim)()(lim Axgxfxgxfaxax 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限说明说明:(1) 将将 xa 换成换成 x , x , ax ax,结论继续成立结论继续成立 (2) 若若 不存在不存在 , 对原极限无明确结论对原极限无明确结论 . xgxf ax)( )( lim(3) 其余的五种不定型其余的五种不定型:0010,0 , , ,

29、可化为可化为 或或 的不定型来处理的不定型来处理 00考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例15计算极限计算极限111220 xxxcoslim解解原式原式)cos)(coslimxxxx 121112011122120 xxxcoslim2212121221220 )(limxxx考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例16 计算极限计算极限xxxxxeexxx21310sin)ln()(tan)cos)(limtan 解解原式原式xxxxxeexxxx213110sin)ln()(tan)cos)(limtan xxxxxxxx232120 )(tan

30、)()(tanlim49229220 xxxlim考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例17 设设 f(x) , g(x) 在在 x = 0 某邻域内连续且某邻域内连续且 x 0 时时 ,f (x) 是是 (x) 的高阶无穷小的高阶无穷小 , 则则 x 0 时时, xtdttf0sin)(是是 的的 ( ) 无穷小无穷小 xdttt0)( (A) 低阶低阶 (B) 高阶高阶 (C) 同阶非等价同阶非等价 (D) 等价等价解解)(sin)(lim)(sin)(limxxxxfdttttdttfxxxx 0000 0100 xxxxfxsin)()(lim 所以选所以选 (B)

31、考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例18当当 x 0 时时, 下列无穷小中下列无穷小中: xxxxxxxxln ; cos ; tan ; sin ; )sinln(61112 哪个阶最高哪个阶最高 ? 哪个阶最小哪个阶最小 ? 解解xxxsin)sinln( 1（关于（关于 x 是是1 阶的）阶的）33333616161xxoxxxoxxxx )()(sin2xxxtan（关于（关于 x 是是 2 阶的）阶的）（关于（关于 x 是是 3 阶的）阶的）考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限246226264212111xxxxxxxx cos)cos(co

32、s（关于（关于 x 是是 2 阶的）阶的）xxxxxxxxx11000lnlimlnlimlnlim 01120 xxxlim同理有同理有0100 )ln(limlnlimxxxxxx010 xxxlnlimxln1关于关于 x 是是 低阶的低阶的所以所以 阶数最高，阶数最高，xx sinxln1阶数最低阶数最低考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例19计算下列极限计算下列极限 tan)(lim )(2111xxx xxxtanarcsinlim )( 02解解 sinlim 22211 xx2122111xxxxxxx coslimcossin)(lim (1) 原式原式

33、 (2) 原式原式 )ln(arcsintanlimxxxe0 )ln(arcsintanlimxxxe0 )ln(arcsinlim)ln(arcsintanlimxxxxxx00 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限220011111xxxxxxx arcsinlim)ln(arcsinlim)ln(arcsinlim)ln(arcsintanlimxxxxxx00 020 xxxarcsinlim所以所以 10 xxxtanarcsinlim 考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限xxxxxx 222222lim224422222)2241(lim xxxxxxxxxxx原原极极限限解解：4 e例例2020考研数学拓展班第考研数学拓展班第1讲函数极限讲函数极限例例2121).(lim, 612sin)(1lim00 xfxxxfxx 求求已已知知解解)12sin)(1(