第三章材料力学 扭转

1、1第三章第三章 扭扭 转转21. 概概 述述 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA3扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。mmOBA42. 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：

2、P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）53 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x64 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT7例例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动

3、轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。（轮系如何按排更合理？）nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m8nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37

4、6 , 0 4243.mTmT9绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37103. 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。112.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变

5、，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。12 acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：13二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。14三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 0故dx

6、dytdxdytmz上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz15四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。16 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克

7、定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。17G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1 ( 2EG184. 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变

8、形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：19二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。202. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 213. 静力学关系：

9、静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT22pIT横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。23单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实

10、心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO24对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd25 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。26 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdI

11、WWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt27三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。链接至扭转变形链接至扭转变形281. 点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：(d) x29(d) xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由

12、平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 302cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 0 45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。31四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴

13、：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt32 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt335 . 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的

14、变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp34二、单位扭转角二、单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。35刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max GT Ip

15、 max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。36 例例33长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD37314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT3840NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）( 0330

16、4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP39 例例44 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m4016 31TdWt mm4671070143421016163

17、632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)41 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd42 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814436. 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问

18、题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。44 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：02BAmmm45几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm46二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1. 1. 应力的计算应力的计算=+ Q TtTQWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT472. . 弹簧丝的强度条件弹