初二数学上册--多边形及其内角和

1、2021/3/141温故而知新温故而知新 在在ABCABC中中, ,（1 1）C C = 90 = 90,B B=30=30, , 则则 A A = =; ;（2 2）A A = 100 = 100,B B=C C , , 则则 B B = =；（3 3）若若ABCABC中的三个内角度数之比为中的三个内角度数之比为2 2: :3 3: :4 4, , 则相应外角之比为则相应外角之比为（4 4）三角形的三个内角中，最多有）三角形的三个内角中，最多有个锐角，最个锐角，最 多有多有个直角，最多有个直角，最多有个钝角个钝角 2021/3/14211.3.1多边形2021/3/143观察下列图案观察下列

2、图案由这图形你抽象出什么几何图形由这图形你抽象出什么几何图形?2021/3/144生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形?三角形三角形2021/3/145 长方形长方形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形?2021/3/146由这图形你抽象出什么几何图形? 四边形四边形生活中的平面图形2021/3/1472021/3/148 六边形六边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形?2021/3/149 八边形八边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形?2021/3/142021/3/141010三角形三角形 长方形长方形 六边形六边形 四边形四边形 八边形八边形在平面内

3、在平面内,由若干条不在同一条直线上由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做叫做多边形多边形。多边形的定义你能仿照三角形的定义给出多边形的你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗定义吗?2021/3/142021/3/141111了解一下了解一下顶点顶点内角内角边边对角线对角线对角线对角线:连接多边形不相邻的两个顶连接多边形不相邻的两个顶点的线段。点的线段。可表示为可表示为:五边形五边形ABCDE或或五边形五边形DCBAEABCDE2021/3/142021/3/141212ABCD12345内角内角:多边形相邻两边组成的角多边形相邻两边组成的角

4、外角外角:多边形的边与它的邻边多边形的边与它的邻边 的延长线组成的角。的延长线组成的角。内角内角外角外角6789102021/3/142021/3/141313比一比你能说出这两幅图形的异同点吗?（1）（2） 如图（如图（1 1）这样）这样, ,画出多边形的任何一条边所在的直线画出多边形的任何一条边所在的直线, ,整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。2021/3/142021/3/141414想一想想一想: :观察下面多边形观察下面多边形,它们的边它们的边,角有什

5、么特点角有什么特点? 在平面内在平面内,内角都相等内角都相等,边也都相边也都相等的多边形叫做等的多边形叫做正多边形正多边形2021/3/142021/3/14151511.3.2 11.3.2 多边形的内角和多边形的内角和2021/3/1416v1、在平面内、在平面内,_叫叫做多边形。做多边形。v、在多边形中连接、在多边形中连接_的线段叫做多边形的对角线。的线段叫做多边形的对角线。v、三角形的内角和是、三角形的内角和是_度度v、你能够利用三角形的内角和求四边形、你能够利用三角形的内角和求四边形的内角和吗的内角和吗?试试看？试试看？ABCD思路思路:多边形问题转化为多边形问题转化为三角形问题来解

6、决三角形问题来解决四边形的内角和为四边形的内角和为360由一些线段首尾顺次相接组成的图形由一些线段首尾顺次相接组成的图形多边形不相邻的两个顶点的线段多边形不相邻的两个顶点的线段18002021/3/1417问题问题, ,新知新知 长方形的内角和是长方形的内角和是多少多少?为什么？为什么？如果是任意如果是任意四边形呢四边形呢?2021/3/1418BADC（1 1）四边形）四边形ABCDABCD的内角的内角 和是多少和是多少? ?（2 2）你是怎样求的？）你是怎样求的？2021/3/1419(1)(1)从顶点从顶点A A可以画几条对可以画几条对角线角线? ?分别是哪几条？分别是哪几条？(2)(2

7、)这样五边形被分成了这样五边形被分成了几个三角形几个三角形? ? (3)(3)五边形的内角和是多少五边形的内角和是多少度度? ?ABDCE2021/3/1420你来探索六边形的内角和你来探索六边形的内角和,你一定行你一定行!ABCDEF被分得三角形个数被分得三角形个数六边形的内角和六边形的内角和4 41802021/3/1421这种探索方法你掌握了吗这种探索方法你掌握了吗?请完成下表请完成下表多边形的多边形的边数边数34567n分成的三分成的三角形个数角形个数12多边形的多边形的内角和内角和18018021803345n-2180 5(n-2) 180180 4想一想想一想:从表中你能发现什么

8、从表中你能发现什么?2021/3/1422n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n(n2)2)1801802021/3/1423想一想想一想 An A5 A1 A4 A2 A3 An A5 A1 A4 A2 A3PP(1)(2)你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗你还有其他的方法将多边形分割成三角形吗?2021/3/1424ABCDABCDEABCDEF 该图中该图中n边形共有边形共有n个三角形个三角形,故所有三角故所有三角形内角和为形内角和为n180 ,但每个图中都有一个以但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆周角红圈圈住的点，它是一个圆周角360 ，因此，因此n边形的内角和为边形

9、的内角和为 n180 - 360 = (n-2)180 多了什么多了什么?如何处理？如何处理？2021/3/1425多了什么多了什么?如何处理？如何处理？ABCDABCDEABCDEF 这种分割方式这种分割方式,将多边形分成将多边形分成n-1个三角形个三角形,故故所有三角形的内角和为（所有三角形的内角和为（n-1）180 ，边上，边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因此此n边形的内角和为边形的内角和为 （n-1）180 - 180 = (n-2)180 2021/3/1426例1:求八边形的内角和的度数。 解:（n2）180（82）180 1080

10、答:八边形的内角和为1080。 2021/3/1427例2:一个正多边形的一个内角为一个正多边形的一个内角为150150, , 你知道它是几边形吗你知道它是几边形吗? ? 解:设这个多边形为n边形,根据题意得:（n2）18010n n12答：这个多边形是12边形。另解:由于多边形外角和等于360 而这个正多边形的每个外角都等于 18015030, 所以这个正 多边形的边数等于 3603012。2021/3/1428例题例题3 3、已知两个多边形的内角和为、已知两个多边形的内角和为14401440, ,且两且两多边形的边数之比为多边形的边数之比为1 13, 3,求它们的边数分别是求它们的边数分别

11、是多少多少? ? 解解:设它们的边数分别是设它们的边数分别是x,y.由题意得：由题意得： （x-2）180+（ y -2）180=1440 x : y=1 : 3 解之得解之得 x =3 y =9 答：它们的边数分别是答：它们的边数分别是3和和9。2021/3/1429 牛刀小试牛刀小试: :（1 1）八边形的内角和等于）八边形的内角和等于 。（2 2）已知一个多边形的内角和等于）已知一个多边形的内角和等于23402340, , 它的边数是它的边数是 。（3 3）小明在计算多边形的内角和时求得的）小明在计算多边形的内角和时求得的 度数是度数是10001000, ,他的答案正确吗他的答案正确吗?

12、 ?为为 什么？什么？ 1080152021/3/1430 （4 4）已知四边形）已知四边形4 4个内角的度数比是个内角的度数比是1 12 23 34,4, 那么这个四边形中最大角的度数那么这个四边形中最大角的度数是是 。（5 5）一个五边形的三个内角是直角）一个五边形的三个内角是直角, ,另两个内角另两个内角 都是都是n n，则，则n=n= 。（6 6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则则 这个六边形的每个内角是这个六边形的每个内角是 。 （7 7）在四边形）在四边形ABCDABCD中，中，A A与与C C互补，那么互补，那么B B 与与D D有

13、什么关系呢有什么关系呢? ?为什么？为什么？ 1441351202021/3/1431探索探索 （1 1）什么是三角形的外角）什么是三角形的外角? ?外角有什么性外角有什么性质？质？ （2 2）类似地）类似地, ,在多边形中找出在多边形中找出外角外角DEABCF多边形的一边与另一边的多边形的一边与另一边的延长线的夹角延长线的夹角, ,叫做叫做多边形多边形的外角的外角。 2021/3/1432（1 1）如图）如图, ,求求ABCABC的三个外角的和。的三个外角的和。 321ABC三角形的三个外角三角形的三个外角之和为之和为3603600 0 2021/3/1433（2 2）四边形的外角和等于多少

14、度）四边形的外角和等于多少度? ? 4321DABC（3 3）五边形的外角和怎么求）五边形的外角和怎么求?n?n边形呢？边形呢？ 2021/3/1434猜想与说理猜想与说理:n边形的外角和是多少度呢边形的外角和是多少度呢? 答:都是360.因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角,所以n边形的外角和加内角和等于n180,内角和为(n2)180,因此，外角和为:n180(n2)180= 360. 结论结论: :多边形的外角和都等于多边形的外角和都等于360. 2021/3/1435例例1:一个多边形的内角和等一个多边形的内角和等 于它的外角和的于它的外角和的3倍倍,它它 是几边形是几边形?解解:设

15、它是设它是n边形边形,则则(n-2).180=3360解得解得:n=8答：它是答：它是8边形边形2021/3/1436例例2 2:一个正多边形的每个内角比相邻外角大36求这个多边形的边数。 解:设一个外角为x, 则内角为（x36） 根据题意得: x+x+36180 x72 360725答：这个正多边形为正五边形。2021/3/14372021/3/1438 1. 三角形三个内角的度数分别是（三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且且xy0,则该三角形有一个内则该三角形有一个内角为角为 （）（）A、30OB、45OC、60OD、90O2.一个正多边形每一个内角都是一个正多

16、边形每一个内角都是120o,这个这个多边形是（）多边形是（）A、正四边形正四边形B、正五边形、正五边形C、正六边形、正六边形D、正七边形、正七边形CC2021/3/1439一个多边形木板一个多边形木板,截去一个三角形后（截线不经截去一个三角形后（截线不经过顶点）过顶点）,得到新多边形内角和为得到新多边形内角和为2160o，则原多，则原多边形的边数为（边形的边数为（ ）A、13条条B、14条条C、15条条D、16条条4. 下列说法中，错误的是（下列说法中，错误的是（ ）A、一个三角形中至少有一个角不大于、一个三角形中至少有一个角不大于60O;B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；、有一个外角

17、是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；、三角形的外角中必有两个角是钝角；D、锐角三角形中两锐角的和必然小于、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；AD2021/3/14405.5.小明绕五边形各边走一圈小明绕五边形各边走一圈, ,他共转了他共转了_ _ _度。度。6.6.下列正多边形下列正多边形（1 1）正三角形（正三角形（2 2）正方形（）正方形（3 3）正）正五边形（五边形（4 4）正六边形）正六边形, ,其中用一种正多边形能镶其中用一种正多边形能镶嵌成平面图案的是嵌成平面图案的是; ;360（1）、（）、（2）、（）、（4） 7. 7.如下图如下图,AD,AD是是BCBC边上的高边上的高,BE,BE是是 ABDABD的的角平分线，角平分线，1=401=40，2=302=30，则，则C=C=_ _ _BED=BED= 。6560ABCD1 2E2021/3/14418 8、两个多边形的边数比是、两个多边形的边数比是1:2,1:2,两个多边形两个多边形的内角和为的内角和为14401440度度, ,求这两个多边形的边数求这两个多边形的边数, ,2021/3/1442思考、有一六边形思考、有一六边形,截去一三角形截去一三角形,内角和内角和会发生怎样变化会发生怎样变化?请画图说明。请画图说明。内角和减少内角和减少1