北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析课件

1、北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析直线和圆的方程教材分析直线和圆的方程教材分析 北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析n地位和作用地位和作用n教学内容的调整教学内容的调整n知识结构及课时安排知识结构及课时安排n教学要求及高考要求教学要求及高考要求n教学建议教学建议北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析一、一、 地位和作用：地位和作用：知识基础知识基础 直线与圆的方程是平面解析几何学的基础知识直线与圆的方程是平面解析几何学的基础知识, ,通过通过对直线和圆的研究，解析几何的基本思想和理论框架都对直线和圆的研究，解析几何的基本思想和理论框架都有所体现，有所体现，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线

2、方程的是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础基础, ,也是学习导数也是学习导数, ,微分微分, ,积分等的基础积分等的基础. .2. 2. 方法基础方法基础 坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一 种广泛应用于其他领域的重要数学方法，通过坐标系把点种广泛应用于其他领域的重要数学方法，通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来了，达到了数形结合。对培和坐标、曲线和方程联系起来了，达到了数形结合。对培养学生数学思维品质有着重要的作用。养学生数学思维品质有着重要的作用。 数学思想与方法集中：方程的思想，运动变化的思数学思想与方法集中：方程的思想，运

3、动变化的思想，转化的思想，坐标法，参数法等。想，转化的思想，坐标法，参数法等。北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析3.3.高考的必考内容高考的必考内容 直线与圆的方程在高考中一般为直线与圆的方程在高考中一般为1 1或或2 2道小题，道小题，解答题中经常把直线和圆锥曲线放在一起考查。解答题中经常把直线和圆锥曲线放在一起考查。 常考内容：倾斜角与斜率，直线方程，平行与垂常考内容：倾斜角与斜率，直线方程，平行与垂直，距离与夹角，线性规划，对称问题，曲线方程直，距离与夹角，线性规划，对称问题，曲线方程与圆，直线与圆，直线与圆锥曲线的位置关系，切与圆，直线与圆，直线与圆锥曲线的位置关系，切线与导数等。

4、线与导数等。一、一、 地位和作用：地位和作用：北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析二、二、 教学内容的调整与变化：教学内容的调整与变化： 1. 1. 在解析几何的教学中，引入向量工具；在解析几何的教学中，引入向量工具； 2. 2. 解析几何整体结构有所调整，减轻学生负担；解析几何整体结构有所调整，减轻学生负担； 3. 3. 例题与习题的选配更加接近高考；例题与习题的选配更加接近高考； 4. 4. 更加强调解析几何基本思想和基本方法更加强调解析几何基本思想和基本方法. .北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析二、二、 教学内容的调整与变化：教学内容的调整与变化： 1. P34 1. P34 删

5、掉旧有向线段、定比分点公式、距离公式；删掉旧有向线段、定比分点公式、距离公式； 2. P352. P35 斜率公式的推导，以向量的方法推导避开分类斜率公式的推导，以向量的方法推导避开分类 讨论；讨论； 3. P36 3. P36 引入方向向量；引入方向向量； 4. P46 4. P46 用平面向量来研究垂直的位置关系；用平面向量来研究垂直的位置关系； 5. P50 5. P50 删掉用方程组的解来判断位置关系；增加例题删掉用方程组的解来判断位置关系；增加例题6. P55-P56 6. P55-P56 增加阅读材料增加阅读材料: : 向量与直线；向量与直线；7. P57-P67 7. P57-P

6、67 增加简单的线性规划；增加简单的线性规划；北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析二、二、 教学内容的调整：教学内容的调整：8. P69 8. P69 曲线与方程增加一段话曲线与方程增加一段话,“,“坐标法坐标法”，阐述解析，阐述解析 几何的方法；几何的方法；9. P73 9. P73 增加阅读材料增加阅读材料: :笛卡儿和费马笛卡儿和费马, ,了解数学史，了解数学史， 进一步领悟解析几何的基本思想；进一步领悟解析几何的基本思想；10. P79 10. P79 增加了圆的参数方程；增加了圆的参数方程； 11. P85 11. P85 增加了例题，更加贴近高考增加了例题，更加贴近高考 12.

7、P87 12. P87 复习参考题难度加大。复习参考题难度加大。 北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析点斜式点斜式 1平行与垂直平行与垂直 2直线与方程直线与方程夹角和到角夹角和到角 1点到直线的距离点到直线的距离 1两条直线的交点两条直线的交点 1线性规划线性规划 3倾斜角、斜率倾斜角、斜率1直线方程直线方程一般式一般式 1有斜率有斜率无斜率无斜率两点式两点式 1参数式、点法式参数式、点法式位置关系位置关系曲线与方程曲线与方程求曲线方程求曲线方程 2求曲线交点求曲线交点 1 圆与方程圆与方程对称对称 2圆的方程圆的方程 直线与圆直线与圆 2标准式标准式 1一般式一般式 1参数式参数式 1线

8、性规划实习作业线性规划实习作业 3北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析四、四、 教学要求及高考要求：教学要求及高考要求：1 1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式， 握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。2 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线的夹角和点到直线的距离掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线的夹角和点到直线的距离

9、公式；能够根据直线方程判断两条直线的位置关系。公式；能够根据直线方程判断两条直线的位置关系。3 3会用二元一次不等式表示平面区域。会用二元一次不等式表示平面区域。4 4了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用。了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用。5 5通过线性规划的研究性课题与实习作业，培养解决实际问题的能力。通过线性规划的研究性课题与实习作业，培养解决实际问题的能力。6 6了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法。了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法。7 7掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数掌

10、握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。方程。8 8结合教学内容，进行对立统一观点的教育。结合教学内容，进行对立统一观点的教育。（一）教学要求（一）教学要求北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析(1).(1).直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率; ; (2).(2).直线方程的点斜式和两点式直线方程的点斜式和两点式; ; (3).(3).直线方程的一般式直线方程的一般式; ; (4).(4).两条直线平行与垂直的条件两条直线平行与垂直的条件; ;(5).(5).两条直线的交角两条直线的交角; ; (6).(6).点到直线的距离点到直线的距离; ;(7).(7).用二元

11、一次不等式表示平面区域用二元一次不等式表示平面区域; ; (8).(8).简单线性规划问题简单线性规划问题. .(9).(9).曲线与方程的概念曲线与方程的概念; ; (10).(10).由已知条件列出曲线方程由已知条件列出曲线方程; ;(11).(11).圆的标准方程和一般方程圆的标准方程和一般方程; ; (12).(12).圆的参数方程圆的参数方程. .（二）高考考点及要求（二）高考考点及要求1高考考点高考考点北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析高考要求高考要求(1)(1)理解直线的倾角和斜率的概念理解直线的倾角和斜率的概念, ,掌握过两点的直线的斜率公式掌握过两点的直线的斜率公式, ,

12、掌掌握直线方程的点斜式握直线方程的点斜式, ,两点式和一般式两点式和一般式, ,并能根据条件熟练地求出直线并能根据条件熟练地求出直线的方程的方程. . (2)(2)掌握两条直线平行与垂直的条件掌握两条直线平行与垂直的条件, ,掌握两条直线的夹角和点到直线掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式的距离公式; ;能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. .(3)(3)了解二元一次不等式表示平面区域了解二元一次不等式表示平面区域. . (4)(4)了解线性规划的意义了解线性规划的意义, ,并会简单的应用并会简单的应用. . (5)(5)了解解析几何的基本思想了

13、解解析几何的基本思想, ,了解用坐标法研究几何问题了解用坐标法研究几何问题. . (6)(6)掌握圆的标准方程和一般方程掌握圆的标准方程和一般方程, ,了解参数方程的概念了解参数方程的概念, ,理解圆的参数理解圆的参数方程方程. . 北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析五、五、 教学建议：教学建议：解析几何是用代数方程研究几何性质的数学分支，解析几何是用代数方程研究几何性质的数学分支，它以坐标系为工具，坐标法为方法，所以教学中要始终它以坐标系为工具，坐标法为方法，所以教学中要始终贯彻解析思想，将几何问题代数化。贯彻解析思想，将几何问题代数化。 . . 注意渗透解析几何的基本思想注意渗透解析几

14、何的基本思想（2004.2004.上海理）教材中上海理）教材中“坐标平面上的直线坐标平面上的直线”与与“圆圆锥曲线锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是两章内容体现出解析几何的本质是用代数的方用代数的方法研究图形的几何性质法研究图形的几何性质 . .北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析直角坐标系直角坐标系点点有序数对（有序数对（x,y）按规律按规律运动运动平面曲线平面曲线x,y满足一定满足一定的约束条件的约束条件方程方程f(x,y)=0直角坐标系直角坐标系曲线的方程，方程的曲线曲线的方程，方程的曲线代数方法研代数方法研究几何问题究几何问题两曲线的交点与方两曲线的交点与方程组的解对应程组的解对

15、应曲线的性质与方程曲线的性质与方程的特征相对应的特征相对应通过方程组求交点，通过方程组求交点，讨论位置关系讨论位置关系由运动规律求方程由运动规律求方程由方程画曲线，研究性质由方程画曲线，研究性质二元不等式与二元不等式与平面区域对应平面区域对应实际生活中实际生活中的广泛应用的广泛应用北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析例（例（20052005年天津年天津2020题）某人在一山坡题）某人在一山坡P P处观看对面山项上的一座铁处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高塔，如图所示，塔高BC=80BC=80（米），塔所在的山高（米），塔所在的山高OB=220OB=220（米），（米），OA=200O

16、A=200（米），图中所示的山坡可视为直线（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点，且点P P在直线在直线l上，与上，与水平地面的夹角为水平地面的夹角为 ,tan ,tan =1/2=1/2，试问此人距水平地面多高时，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角观看塔的视角BPCBPC最大（不计此人的身高）？最大（不计此人的身高）？(60(60米米) )北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析6401602886426402800121601tan2xxxxxxxxkkkkBPCPCPBPCPB).200(28864016064xxx设点设点P P的坐标为（的坐标为（x x，y y） 北京地区高二数学

17、直线和圆的方程教材分析五、五、 教学建议：教学建议：. . 注重对概念的教学注重对概念的教学核心概念：点与坐标、曲线与方程等核心概念：点与坐标、曲线与方程等如表示直线方向的概念：倾斜角、斜率、方向向量如表示直线方向的概念：倾斜角、斜率、方向向量北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C C（看作适合某种条（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的实数解的实数解建立了如下关系：建立了如下关系： （1 1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹

18、性）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性） （2 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性） 那么，这个方程叫做那么，这个方程叫做曲线的方程曲线的方程，这条曲线叫做，这条曲线叫做方程的方程的曲线曲线 事实上，曲线可以看作一个点集事实上，曲线可以看作一个点集C C；一个二元方程的解；一个二元方程的解作为坐标的点，也组成一个点集作为坐标的点，也组成一个点集F F。FCCF2FC1 ）的内容）的内容（）的内容）的内容（北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析例、下列各题中，图所示的曲线例、下列各题中，图所示的曲线C C是所列的方程的曲是所列

19、的方程的曲线，对吗？说明理由。线，对吗？说明理由。1（1，2）（-1，2）0) 1yx)(1yx(1,1)0yx北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析(4,1)x4y 北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析斜率与斜率公式：斜率与斜率公式：a. a. 倾斜角不为倾斜角不为的正切值叫做直线的斜率；的正切值叫做直线的斜率；c. c. 斜率公式的推导，直线的方向向量。斜率公式的推导，直线的方向向量。b. b. 倾斜角为倾斜角为的直线斜率不存在；的直线斜率不存在；. .注意倾斜角范围与斜率范围的关系；注意倾斜角范围与斜率范围的关系；. .用斜率解题时要注意斜率不存在的情况。用斜率解题时要注意斜率不存在的

20、情况。倾斜角分两种情况：倾斜角分两种情况：a. a. 当直线和当直线和x x轴平行或重合，规定为轴平行或重合，规定为b. b. 当直线与当直线与x x轴相交时，规定把轴相交时，规定把x x轴绕交点按轴绕交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。小正角。北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析例（例（20062006年江西卷）已知圆年江西卷）已知圆M M：（：（x xcoscos ）2 2（y ysinsin ）2 21 1，直线直线l：y ykxkx，下面四个命题：，下面四个命题：(A)(A)对任意实数对任意实数k k与与 ，直线，直线l l和圆和

21、圆M M相切；相切；(B)(B)对任意实数对任意实数k k与与 ，直线，直线l l和圆和圆M M有公共点；有公共点；(C)(C)对任意实数对任意实数 ，必存在实数，必存在实数k k，使得直线，使得直线l与和圆与和圆M M相切相切(D)(D)对任意实数对任意实数k k，必存在实数，必存在实数 ，使得直线，使得直线l与和圆与和圆M M相切相切其中真命题的代号是其中真命题的代号是_（B B） 、（、（D D）_（写出所有真命题的代号）（写出所有真命题的代号）北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析的的倾倾角角范范围围。）求求直直线线（斜斜率率的的取取值值范范围围。为为端端点点的的线线段段相相交交，求求

22、、）且且与与以以，（过过点点已已知知直直线线例例01sin2)0 , 3()3, 2(21)1(4 yxlBAPl ),434, 02), 5)21,()1( ）（k北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析.0,11)(03252121222111的的方方程程为为则则，满满足足与与的的方方向向向向量量并并且且），过过点点（；答答案案即即可可注注：只只需需写写出出一一个个正正确确为为向向量量的的方方向向，那那么么直直线线：已已知知直直线线例例laaaallalyxl 032)1, 2( yx北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析五、五、 教学建议：教学建议：. . 适度把握教学要求适度把握教学要求

23、关于直线方程的形式关于直线方程的形式, ,新大纲新大纲规定的教学内容有点斜规定的教学内容有点斜式式, ,两点式两点式, ,参数式和一般式参数式和一般式, ,原大纲原大纲则还有斜截式和截距则还有斜截式和截距式式, ,现在以例题形式作为点斜式现在以例题形式作为点斜式, ,两点式的特殊形式保留了斜截两点式的特殊形式保留了斜截式和截距式式和截距式, ,一般认为一般认为, ,直线方程的点斜式和两点式给出了根据直线方程的点斜式和两点式给出了根据一定条件求直线方程的途径一定条件求直线方程的途径, ,但在具体应用中但在具体应用中, ,由于点斜式和两由于点斜式和两点式的形式比较原始和复杂点式的形式比较原始和复杂

24、, ,参数比较多参数比较多, ,常把它们化为斜截式常把它们化为斜截式和一般式和一般式; ;斜截式与初中的一次函数有相同的形式易于互相沟斜截式与初中的一次函数有相同的形式易于互相沟通通, ,形式比较简单形式比较简单, ,参数有简明的几何意义参数有简明的几何意义; ;截距式的形式比较截距式的形式比较简明对称简明对称, ,参数意义明显参数意义明显, ,能为画直线图形提供方便能为画直线图形提供方便 ，因此在，因此在教学中可以要求学生掌握。教学中可以要求学生掌握。（）关于直线方程的教学（）关于直线方程的教学北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析在讨论两条直线的交点的问题时在讨论两条直线的交点的问题时,

25、,不再就直线的一般不再就直线的一般形式对系数作讨论而得出一系列判定直线相交形式对系数作讨论而得出一系列判定直线相交, ,平行平行, ,重合重合的条件的条件, ,而仅要求学生能根据具体的直线方程组的解的情而仅要求学生能根据具体的直线方程组的解的情况来判断直线是否相交况来判断直线是否相交, ,如相交如相交, ,会求出交点坐标会求出交点坐标. .教学时教学时不要拓宽加深。不要拓宽加深。（）关于两条直线的位置关系的教学（）关于两条直线的位置关系的教学在讨论两条直线平行与垂直的位置关系的时候，应适在讨论两条直线平行与垂直的位置关系的时候，应适当深化当深化，（斜截式和一般式），（斜截式和一般式）的充要条件

26、的充要条件是是的必要条件的必要条件是是直线直线直线直线212121211221222211110/00:0:llBBAAllBABACyBxAlCyBxAl 北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析 （3 3） 关于线性规划的教学关于线性规划的教学 简单的线性规划，是解析几何中直线和圆一章中新增加简单的线性规划，是解析几何中直线和圆一章中新增加的内容，具有一定的实际应用价值，是培养学生应用意识的的内容，具有一定的实际应用价值，是培养学生应用意识的重要素材。重要素材。0505、0606年在北京命制的试卷中，文理两科都出现年在北京命制的试卷中，文理两科都出现了简单线性规划的题。了简单线性规划的题。0

27、404年、年、0505、0606年这几年考查线性规划年这几年考查线性规划的省市比较多，在高考中多以选择题、填空题的形式出现，的省市比较多，在高考中多以选择题、填空题的形式出现，在教学中要给予重视，但内容较为单一，考纲要求不高。教在教学中要给予重视，但内容较为单一，考纲要求不高。教学中应注意落实基本的技能和方法学中应注意落实基本的技能和方法北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析求解步骤求解步骤需要强化需要强化：n求出可行域求出可行域K K （凸多边形或凸域），若凸多边形或凸域），若K K不存在，不存在， 则则L L无解。无解。n作出目标直线作出目标直线l l0 0，并确定最优解应在并确定最优解应

28、在l l0 0 的的 哪哪 一一 侧，侧，距距l l0 0最近还是最远。最近还是最远。n确定是否存在最优解，若存在，是确定是否存在最优解，若存在，是K K中哪个顶点。中哪个顶点。n解方程组求最优解。解方程组求最优解。北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析 解的情况解的情况需要淡化需要淡化： n有可行解且有唯一最优解；有可行解且有唯一最优解；n有无穷多最优解；有无穷多最优解；n有可行解但无最优解；有可行解但无最优解；n无可行解。无可行解。北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析在坐标平面上，不等式组在坐标平面上，不等式组 131xyxy所表示的平面区域的面积为（所表示的平面区域的面积为（B ）（A

29、）2（B）23（C）223（D）2例例6： 【5年，全国年，全国A卷，理科第卷，理科第9题题 】北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析设集合设集合A A(x，y)|)|x，y，1 1xy是三角形的三边长是三角形的三边长 ，则则A A所表示的平面区域所表示的平面区域( (不含边界的阴影部分不含边界的阴影部分) )是是( ( A A ) )例例7 7【5 5年，浙江卷，理科第年，浙江卷，理科第7 7题题 】 0100)1()1(1yxyxxyxyyyxxyxyx北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析例例8： 【5年，北京卷，理科第年，北京卷，理科第18题题 】如图，直线如图，直线 l1 1：ykx

30、（k00）与直线）与直线l2 2：ykx之间之间的阴影区域（不含边界）记为的阴影区域（不含边界）记为W W，其左半部分记为，其左半部分记为W W1 1，右半部分记为右半部分记为W W2 2（I I）分别用不等式组表示）分别用不等式组表示W W1 1和和W W2 2； kxykxyW :1 kxykxyW :2北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析 例例9： 【5年，山东卷，理科第年，山东卷，理科第1题题 】 设设x和和y满足条件满足条件 ，则使目标函数，则使目标函数 z=6x+5y的值最大的点的值最大的点(x，y)是是 (2,3) 40301223, 5yxyxyx北京地区高二数学直线和圆的方

31、程教材分析例例1010： 【5 5年，江西卷，理科第年，江西卷，理科第1414题题 】设实数设实数x, y满足满足的的最最大大值值是是则则xyyyxyx,03204202 3/2 . 北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析0124622yxyxxyyx 222yx 例例1111已知点已知点P P（x x，y y）在圆）在圆上，（上，（1 1）求）求的范围；（的范围；（2 2）求）求的范围；的范围；的范围；的范围；（3 3）求）求北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析 （4 4） 关于圆的方程的教学关于圆的方程的教学北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析五、五、 教学建议：教学建议：4. 4.

32、加强与前后章节知识的联系加强与前后章节知识的联系 重视这些方面知识的联系有利于学生着眼知识重视这些方面知识的联系有利于学生着眼知识网络的构建，提高综合运用知识的能力。网络的构建，提高综合运用知识的能力。（1 1）加强与向量的联系（体现向量的工具性）加强与向量的联系（体现向量的工具性）（2 2）加强与平面几何的联系（研究对象是几何图形）加强与平面几何的联系（研究对象是几何图形）（3 3）加强与三角函数的联系（倾斜角的定义与斜率公）加强与三角函数的联系（倾斜角的定义与斜率公式的推导式的推导, ,圆的参数方程）圆的参数方程）北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析 课本中引入了方向向量，直线的斜率公式

33、、两直课本中引入了方向向量，直线的斜率公式、两直线垂直条件、圆的参数方程的推导，都用到了向量的线垂直条件、圆的参数方程的推导，都用到了向量的有关知识，用平面向量可以避开分类讨论。点到直线有关知识，用平面向量可以避开分类讨论。点到直线距离公式在教参上给出一种用直线的法向量结合数量距离公式在教参上给出一种用直线的法向量结合数量积来推导的方法。并且给出了阅读材料积来推导的方法。并且给出了阅读材料直线与向直线与向量量。北京地区高二数学直线和圆的方程教材分析.32158393612程程的的内内角角平平分分线线所所在在的的方方）求求（；）求求（的的值值；求求）（），（），（），（例例ASACBAABC （1）利用到角公式）利用到角公式（2）利用角平分线的性质：到角两边距离相等的点的轨迹；）利用角平分线的性质：到角两边距离相等的点的轨迹；（3）利用对称：角平分线是角两边的对称轴；）利用对称：角平分线是角两边的对称轴