数列通项公式地求法

1、常见数列通项公式的求法公式：”等差数列的定义J卜曲二丿 等差数列的通项公式么二6亠仇J昭等左数列等差數列的求和公式S，壬（円Y.）二码+叽丁 等差数列的性质代+3.二去+勺（皿+科二护.叼）等比數列的定文厶三乳川二耳 等比数别的通喷公我6二的厂席囱*? _ 旳v1 二/等比颤列菩比数列的求和公式罠*尸石肿心二1等比数列的性质左” ”二日启伽+ n = p + q）1、定义法若数列是等差数列或等比数列，求通公式项时，只需求出a与d或&与q，再代入公式a an 1 d或an aqn 1中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列5的求数列S的的通项

2、公式练习：数列an是等差数列，数列bn是等比数列，数列Cn中对于任何n N嘟有Cn Sn bn.Cl 0 心127 C3C4分别求出此三个数列的通项公式69542、累加法形如an 1an f n已知ai型的的递推公式均可用累加法求通项公式(1)当fnd为常数时，an为等差数列，贝U an ain 1 d ;(2)当fn为n的函数时，用累加法方法如下：由an 1anfn得当n2时，anan 1,n1an 1f n2La3a2 f2a2as f1以上n1个等式累加得3nai fn 1 +f n 2Lf2f 13n印f n 1 +f n 2Lf2f 1(3)已知ai, anianf n 其中f n可

3、以是尖于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通 项 若f n可以是矢于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f n可以是尖于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f n可以是尖于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 若f n可以是尖于n的分式函数，累加后可裂项求和求和例2、数列為中已知a 1鸟ia.2n 3,求為的通项公式练习1 :已知数列3n 满足 3n 1 3n 3n 2 且 72,求 Sn.练习2 :已知数列an中al1 an 13n 3n ，求3n的通项公式练习3 :已知数列Qn 满足 3i , 3n 1 3n2，求求an的通项公式na4f2，丄ao3n3n 1吃

4、 a304利用公式an aia? a30,n N可得:an 13、累乘法形如已矢D耳型的的递推公式均可用累乘法求通项公式 给递推公式 n,nN中的n依次取1,2,3,，n 1,可得到下面n 1个式子:a31 ,a2an3f 1 f 2f 3 Lfn1.Qn例3、已知数列an满足ai 一 ani an求an.3n 1练习1 ：数列an中已知ai 1，亠n Q，求an的通项公式an n22练习2 ：设an是首项为1的正项数列且(n 1)arnna.3n l3n 0 求Qn的通项公式4、奇偶分析法(1)对于形如ani an f n型的递推公式求通项公式2，其通项分奇数项和偶当aniandd为常数时，

5、则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为 数项来讨论.当f n为n的函数时，由an 1f n，an+1an 1f nfn1，分奇偶项来求通项例4、数列an满足ai1,am an4 ,求an的通项公式练 习：数列an满足ai6,an 1 an6，求；an的通项公式例5、数列為满足ai 0,an 1 an 2n,求缶的通项公式an 1练习1 ：数列an满足a-,1&1 a. n1,求耳的通项公式练习2 :数列a.满足刀2,an 1 an 3n 1，求缶的通项公式(2)对于形如amanf n型的递推公式求通项公式2，其通项分奇数项和偶当am andd为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期

6、数列，周期为 数项来讨论.an+i f n当f n为n的函数时，由a”1 3* f门，3n 3n 1 f n 1两式相除得到一am f n 1来求通项例6、已知数列an满足a( 2, an 1练习：已知数列耳满足色-,an 1 an32，求an的通项公式例7、已知数列 an满足a 3,an ian21，求an的通项公式练习1 :数列缶满足a2,am务 3n，求缶的通项公式练习2 :数列&满足41 ,3n i Sn2“求an的通项公式5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求an较难，可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列从而根据等差或者等比数列的定义求出通项常见的有：(1) am pan

7、q p, q 为常数amt p ant，构造ant为等比数列pan tpn t, p为常数an1(3)pann 1tqt, P,q为常数两边同时除以pnian1n 1q-n再参考类刑 1nqq(4)an 1panqnr P,q,r是常数amn 1P ann(5)3n 2pani+qa nan 21P an 1 tan，构造等比数列3n 1 tan例&已知数列an中，ai1, an 1 2an 3 求 an.练 习：已数列an中，ad且an 1 Aa. 1，则an2例9、已知数列an中 a 3,an 13an 3n1，求an的通项公式练习1 :已知数列an中，a练习2 :已知数列an中，3,an

8、 2a.i2n，则 a.2,an 1 3缶4 3,求处的通项公式3n 1 例10、已知数列an满足an 16an2 ,印1，求a.练习1 :设数列&满足a1 ,3n 13an 2n，则an练习2：已知数列an中，ain 1.Sn 11an1，求a632练习3 :已知数列ann Nn 1的满ai 1 3k, an 4 3an 1 n 2,k足：(1 )判断数列 an是否成等比数列；(2)求数列an的通项公式例11、数列an中已知a 1,ani2an3n,求a“的通项公式练习1 ：数列an中已知a2i3an 2,求an的通项公式练习2：数列处中已知a22,am3an2n n 2,求an的通项公式的

9、通项公式例 12、已知数列 an 中，m 5,a2 2,an 2ani+3an2 n 3 求求 an练习1 :已知数列an中 di 15a22,3n+23n+i+ Sn 5求求An的通项公式练习2：在数列(an)中ai 1 , a2An 22 .町，令bn3an 1(1)求证:数列(bn)是等比数列，并求bn。(2)求数列an的通项公式。336、利用an与Sn的尖系ai n 1如果给出条件是an与Sn的矢系式，可利用an1求解sn sn 1 , *22例13、已知数列an的前n项和为Sn n 2n 3，求an的通项公式练习1 :已知数列an的前n项和为Sn练习2:若数列&的前n项和为SnAn2

10、 n 3 求an的通项公式4门3an 3,求an的通项公式2练习3 :已知数列&前n项和Sn4 an丄，求旳的通项公式2n7、倒数法pan(1) an 1qanp1 qanq构造|是等差数列pan3n构造一是等差数列Qn(2)amqant1 qant= 11panP an例14已知数列 衍满足a|=ian 123n3an2，求an的通项公式an练习：已知数列 务中，內3,an 1,则an1 2Sn例15、已知数列an满足a=1, an，求an的通项公式3a“ i 4练习：已知数列 an中，a3, aj2Sn，则 ananr8 am panp 0, an0两边取对数lg an 1 lg p rig an,转化为 ampa.q 型例16、已知数列an中，q1 00,3n 121 0 an,求 3n3 练习：已知数列 an中，ai 2,an 12 a.,求a.9、其他例17、已数列亦中，刃1, am a. a. 1 a.则数列通项a.1 例18、在数列a中印=1 , n 2时，a、S、S-成等比数列2(1 )求玄2用3用4；(2)求数列a的通项公式例19、已知在等比数列a.中，a 1，且比是创和as1的等差中项(