函数单调性-教学设计（第三期学员钱晓燕）

1、“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第1.3.1）钱晓燕一教学内容解析函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化和函数值的变化定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下：（1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。（2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的变化规律，概括出函数在某个区间上是增函数

2、或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。（3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。因此，函数的单调性在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特

3、点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。二学生学情分析从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图像，从图像的直观变化，学生能粗略的得到函数增减性的定义，所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何“定性”“定量

4、”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极性是学生学好本节课的基础。但是如何运用数学符号将自然语言的描述提升为形式化的定义，学生接受起来比较困难，这也是我认为在教学中比较困难的环节。三教学目标设置教学目标：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图像的升降，形成增（减）函数的直观认识，再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，并会用定义证明函数的单调性。（2）让学生从形与数两方面得出函数单调性的概念，

5、经历了从直观到抽象，从特殊到一般，从图形语言到数学语言的过程，体验了数学概念的形成。教学重点：形成增（减）函数的形式化概念教学难点：形成增（减）函数的形式化概念的过程中，如何让学生从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。四教学目标解析 对目标（1）的实现，主要利用实际生活的例子，北京一天的气温变化图，以及学生熟悉的一次函数、二次函数为例，给出图像，让学生从图像获得“上升”“下降”的整体认识；对目标（2），也就是要使学生从单调性的自然语言描述上升到符号语言的定义，做了如下的活动来实现：（1）学生画出函数图象，描述函数图象的升降规律，（2）函数图象上任取一点P

6、，测出P点的坐标，P点按“横坐标（即自变量）增大”的方向移动时，观察P点的纵坐标（即函数值）的变化情况。（3）让学生用自然语言描述函数在区间D上的增减性提出探究的目标1，研究从特殊开始，提出问题2(4)用列表法展示函数图象在的上升规律（分组进行）在区间，从0开始，每隔一个单位取一个自变量的值，计算相应的函数值，填入表格。在区间，从1开始，每隔5个单位取一个自变量的值，计算相应的函数值，填入表格。在区间，从2开始，每隔任意个单位取一个自变量的值，计算相应的函数值，填入表格。在区间，从任意自变量的值开始，取比前一个自变量大的值，计算相应的函数值，填入表格。问题的呈现：（1）观察表格：提出问题3，4

7、。预设（有）（2）提出问题5，6通过此问题，设法把“任意”两字从学生的潜意识中“逼”出来，引导学生借助代数符号（字母表示数的任意性），用“任意”刻画“无限”的数学方法的威力（3）提出问题1，回归活动的目标，解决主问题五教学策略分析教师是教学的主体、学生是学习的主体，通过双主体的教学模式方法：启发式教学法以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，逐步培养和发展学生的抽象思维能力。探究教学法引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思。六教学过程分析一、创设情境，引入课题课前布置任务：由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日

8、推迟到8月8日，请同学们查阅资料说明做出这个决定的主要原因. 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？ （引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考）在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变

9、小设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1借助图象，直观感知问题1：请举出你熟悉的初等函数，画出其图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图）预案：生：函数在整个定义域内 y随x的增大而增大。生：函数的图像变化规律，在y轴的的左侧y随x的增大而减小在y轴的的右侧y随x的增大而增大。师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律生：在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小师：

10、这样表述就比较严密了，很好。由上面的讨论可知，函数的单调性与自变量的范围有关，一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数，但在定义域的某个子集上可以是单调函数。引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观性的认识设计意图

11、从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识2探究规律，理性认识问题3：如函数，你能画出它的图像吗？能说出它随自变量的增大函数值的变化情况吗？预案：学生此时是没法作图的，在没有图的基础上，学生可能会通过举特殊点的办法来判断其增减性。生1： 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为,所以在为增函数师：仅仅两个数的大小关系能不能说明函数在区间0，+）上为单调递增函数？生2：不能，应该举出无数个。由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别，所以许多学生对学生2的说法表示赞同。师：举出反例推翻，从而提出问题：举几个不具代表性，举所有的也不可能实现，那该如何取呢？ 引导学生讨论，交流，说出各自

12、的想法，并进行分析、评价，补充完善后形成增（减）函数的定义.设计意图让学生体会在没有图的基础上，如何用数量的大小定义函数单调性的过程，把对函数单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识。3抽象思维，形成概念问题4：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义(板书定义)设函数的定义域为I，区间DI，如果取区间D中的任意两个,时，都有，那么就称函数在区间D上是增函数，如图（1）;当时，都有，那么就称函数在区间D上是减函数，如图（2）【设计意图】这一阶段教师领导学生对函数单调性的概念进行了剖析，带领学生深入定义的

13、表达形式，探索概念的本质。实现学生将概念从具体的图形表达形式化到一般的数学表达形式，实现了从具体到抽象的转化。事实上，这一阶段是对函数单调性的概念进行了归纳由数学符号叙述抽象到了形式化4.深化概念例1：判断题：若函数区间上为增函数，则有； 若函数满足，则函数在区间上为增函数；因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识例2：（如图）定义在区间上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是单调增函数还是单调减函数。设计意图学生通过观察图像，说出图象上

14、升或下降所对应的区间为单调增减区间。三、掌握证法，适当延展例3： 证明函数在（1，+）是增函数（教师利用几何画板画出图形，并用定义指导学生给出严格的证明步骤）归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形（因式分解、配方、不等式等）断号、定论练习：证明函数在上是减函数设计意图初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤 四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结1小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性(2) 证明方法和步骤：求函数的定义域，设元、作差、变形、断号、定论(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合。 2作

15、业 课本第39页，习题1.3 A 组第1、2、3题七教学反思1.注重情境的设置。 以2008年8月8日奥运会时间推迟引出当天气温的变化图作为引入，一方面说明数学与生活息息相关,同时充分调动学生积极性，营造亲切活跃的课堂氛围.2.注重概念的生成 本节课是概念教学课,教师注重概念的生成过程,通过引导学生画出他们熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数图象，并观察出自变量函数值的变化情况，经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，针对函数图象，依据循序渐进原则，设计问题，逐步追问，引导学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画，使学生得到增函数定义。此过程学生各抒己见，这时教师及时对学生鼓励评价，会激发学生探究知识的热情。师生共同合作最后得出函数单调性的定义，然后设计判断对错题，达到细、深、全面的理解定