2019年高考数学艺术生百日冲刺专题09立体几何初步测试题

1、专题 9 立体几何初步测试题命题报告：1. 高频考点：三视图的认识，几何体的表面积和体积的求解。2. 考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，每年必考，重点考查三视图和表面积、体积的综合，与球有关的外接和内切问题。3. 重点推荐：基础卷 16 题，涉及数学文化题的应用，是近几年热点问题；一选择题1. 所有棱长都为1 的正四棱锥的体积是（）A、 2B、2C、2D、33363【答案】： C【解析】正四棱锥的侧棱、高、底面对角线的一半构成直角三角形，所以高为，正四棱锥的底面积为1，所以体积为，故选 C.2. 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几

2、何体的侧视图为 ()【答案】B【解析】先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图. 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧视图为图.1 / 163.（2018?黄山一模）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）AB CD 【答案】：B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()2 / 16A.90 B.63 C.42D.36 答案B解析法一( 割补法 ) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示 .将圆柱补

3、全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分. 由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1221，所以该几何体的体积 34 36 63 .2V2法二12( 估值法 ) 由题意知， V圆柱 V 几何体 V 圆柱 ，又 V 圆柱 310 90，2 45 V几何体 90 . 观察选项可知只有63 符合 .5. 在棱长为 a 的正方体中， P、 Q是体对角线 A1C 上的动点，a，则三棱锥 P-BDQ的体积为（）且 PQ2A、3 a3B、3 a3C、3 a3D、3 a3361824123 / 16【答案】： A【解析】特殊化处理，让点Q与 C 重合，则三棱锥P-BDC的体积为所求，

4、因为，由三角形的相似比可得 P到底面 BCD的距离为a，23所以3 a3 ，故选 A.366. （ 2018 ?烟台一模）已知三棱锥 P ABC的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为的正三角形，PA， PB， PC两两垂直，则球O的体积为（）ABC 3D 4【答案】：A7. 长方体的体积为 V，P 是 DD 1 的中点， Q是 AB 上的动点，则四面体 P-CDQ的体积是（）A、 1 VB、 1 VC、 1 VD、 1 V468124 / 16【答案】： D【解析】设长方体的长、宽、高分别为AB=a， BC=b， AA1c ，则有 V=abc，由题意知，所以1V128.（2018?三明

5、二模）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为2，则以下四个命题中错误的是（）A直线 A1 C1 与 AD1 为异面直线B A1C1平面 ACD111C BD AC D三棱锥D ADC的体积为【答案】：D【解析】由正方体11112，知：在 A 中，直线11111111111ABCDA B C D 的棱长为A C ? 平面 A B C D ， BD?平面 A B C D ，D1?直线 A1C1，由异面直线判定定理得直线A1C1 与 AD1 为异面直线，故A 正确；在 B 中， A1C1 AC， A1C1?平111111111面 ACD， AC? 平面ACD， A C 平面 ACD，故

6、B 正确；在 C 中，正方体ABCD A B C D 中， AC BD， AC111AC，故 C正确；在 D中，三棱锥1 DD1， BD DD， AC面 BDD， BDD ADC的体积：= ，故 D 错误故选： D9. 如图是棱长为2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球 O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（）5 / 16ABCD【答案】 A；【解析】：由题意，该八面体的棱长为2，设球 O的半径为r ，=，解得 r=, 所以球 O的表面积为： 4=故选： A10.（ 2018 年东北 三省三校 （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）三模）棱长为 2 的正方体 ABCDA1B

7、1C1D1 中， E 为棱 AD中点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为（）A 5B 2C 2D 6【答案】 .C6 / 1611.如图，若 是长方体 ABCD A1B1C1D1被平面 EFGH截去几何体 EFGHBC 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于 B 的点， F 为线段 BB 上异于 B 的点，且 EH A D ，则下列结论中不正确的是（）11111117 / 16A EH FGB四边形EFGH是矩形C 是棱柱 D四边形EFGH可能为梯形【答案】 D；【解析】：若 FG不平行于 EH，则 FG与 EH相交，交点必然在B1C1上，与 EH B1C1矛盾，所以

8、FG EH，故A 正确；由 EH平面 A1ABB1，得到 EH EF，可以得到四边形EFGH为矩形，故B 正确；将 从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故C 正确；因为 EFGH截去几何体EFGHB1C1 后， EHB1C1CF，所以四边形EFGH不可能为梯形，故D 错误故选： D12. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知l 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形

9、边长为1，则该楔体的体积为（）A 10000 立方尺B 11000 立方尺C 12000 立方尺D 13000 立方尺【答案】： A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1 个直三棱柱，则三棱柱的体积V1= 3 22=6，四棱锥的体积V2= 13 2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等， V=V1+2V2=10 立方丈 =10000 立方尺故选： A二填空题8 / 1613. 正的边长为，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是 _.AOBaxOy62答案16 a1解析画出

10、坐标系 x O y，作出 OAB的直观图 OA B( 如图 ). D为 O A的中点 . 易知 D B 2DB( D为 OA的中点 ) ， O AB 12 OAB2326 2.S22 S44 a16 a14.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1- BB1D1D的体积为1【答案】 .3【解析】 由题意可知四棱锥A - BBD D的底面是矩形，边长为1 和122，四棱锥的高为 2A C=2 ，则四棱锥111111211A1- BB1D1D的体积为 3 1 2 2 =3故答案为315.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形( 如图所示

11、) ， ABC45， ABAD 1，DC BC，则这块菜地的面积为_.9 / 16答案222解析如图 1，在直观图中，过点A作 AE BC，垂足为 E.2在 Rt ABE中， AB1， ABE45， BE 2 .又四边形 AECD为矩形， AD EC 1.2 BC BEEC 2 1.由此还原为原图形如图2 所示，是直角梯形AB C D.2在梯形 AB C D中， A D 1， B C 2 1， A B 2.1122这块菜地的面积S 2( AD B C) AB 2 1 1 22 2 2 .16. 九章算术 中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一

12、顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵ABC A1B1C1 中， AA1 =AC=5，AB=3，BC=4，则阳马 C1ABB1A1 的外接 球的表面积是_。【答案】 50【解析】：由题意知，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1=AC=5，AB=3， BC=4，四棱锥 C1ABB1A1 的外接球即为直三棱柱的外接球，以 AB、 BC、 BB1 为共顶点，画出长方体，如图所示，则长方体的外接球即为三棱柱的外接球；所求的外接球的直径为体对角线2R=AC1=，10 / 1622外接球的表面 是S=4

13、R = ?（ 2R） =50 三解答 17.已知某 段的正 、俯 、 段 度分 2， 4， 4， 求此 段的 度。【解析】：如 想象出 段BD1 所在的空 几何体是 方体，可得其正 、俯 、 分 ， 3 分 方体三条棱 分 a， b， c， 有a2b24 ，从而得 BD1 10 分18. 需要 一个 ，它由上下两部分 成，上部的形状是正四棱 P A1B1C1D1 ，下部的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1( 如 所示 ) ，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱 的高PO1 的 4 倍，若 AB 6 m， PO1 2m， 的容 是多少？【解析】由 PO1 2 m，知 O1O4PO1 8 m.

14、 因 A1B1 AB 6 m，所以正四棱 PA1B1 C1D1 的体 V 锥 12123分 A1B1 PO1 62 24(m ) ； 433正四棱柱ABCD A1B1C1D1 的体 V223柱AB OO6 8288(m ) ，1所以 的容 VV 锥 V 柱 24 288 312(m3).11 / 16故 的容 是312 m3. 12 分19. 如 ， 方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 16， BC 10， AA18，点 E，F 分 在 A1B1，D1C1 上， A1E D1F 4. 点 E， F的平面 与此 方体的面相交，交 成一个正方形.(1) 在 中画出 个正方形 ( 不必 明

15、画法和理由 ) ；(2) 求平面 把 方体分成的两部分体 的比 .【解析】(1) 交 成的正方形EHGF如 所示 . 5 分(2) 如 ，作 EM AB，垂足 M， AM A1E 4，EB1 12， EM AA1 8.因 四 形EHGF 正方形，所以EH EF BC 10.22于是 MHEH EM 6， AH10， HB 6.1故 S 四 形 A1EHA2(4 10) 8 56，1S 四 形 EB1BH (12 6) 8 72.2因 方体被平面 分成两个高 10 的直棱柱，9 7所以其体 的比 7 9也正确. 12 分20.在三棱柱ABCA1B1C1 中， 面AA1C1C底面 ABC， AA1

16、A1C AC AB BC 2，且点 O为 AC中点 .12 / 16(1) 明： A1O平面 ABC；(2) 求三棱 C1 ABC的体 .(1) 明因 AA1A1C，且 O为 AC的中点，所以 A1O AC， 3 分又平面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABC AC，且 A1O? 平面 AA1C1C， A1O平面 ABC. 6 分(2) 解 A1C1 AC， A1 C1?平面 ABC，AC? 平面 ABC， A1C1平 面 ABC，即 C1 到平面 ABC的距离等于A1 到平面 ABC的距离 .由 (1)知 1平面且223，11A OABCA OAAAO V 1 V 11S

17、 A O 23 31. 12 分C ABCAABC ABC11133221. 如 所示，在三棱 PABC中， PA底面 ABC， D是 PC的中点 .已知 BAC 2 ， AB 2， AC23， PA 2. 求：(1) 三棱 P ABC的体 ；(2) 异面直 BC与 AD所成角的余弦 .【解析】(1) ABC1223 2 3，S2三棱 的体 1ABC12 3243. 5 分PABCV3SPA33(2) 如 ，取 PB的中点E， 接 DE， AE， ED BC，所以 ADE是异面直 BC与 AD所成的角 ( 或其 角 ).13 / 16在 ADE中， DE 2， AE2， AD2，22 22 2

18、3cos ADE .22243故异面直 BC与 AD所成角的余弦 4. 12 分22（2018?海淀区二模）如 ，已知菱形 AECD的 角 AC，DE交于点 F，点 E 的 AB 中点将三角形 ADE 沿 段 DE折起到 PDE的位置，如 2 所示（）求 ：DE平面 PCF；（） 明：平面PBC平面 PCF；（）在 段PD，BC上是否分 存在点M， N，使得平面CFM平面 PEN？若存在， 指出点M， N的位置，并 明；若不存在， 明理由【思路分析】 （）折叠前，AC DE；，从而折叠后，DE PF， DE CF，由此能 明DE平面 PCF（）推 出DCAE， DC=AE从而 DC EB，DC=EB 而四 形DEBC 平行四 形从而CB DE由此能 明平面PBC平面 PCF14 / 16（）分 取 PD和 BC的中点 M， N 接 EN，PN， MF，CM推 出四 形 ENCF 平行四 形从而 FC EN由此推 出平面 CFM平面 PEN【解析】 明： （）折叠前，因 四 形 AEC