同济高数下册总结版本

1、同济AJ=L冋总结二口精品文档高数(下)小结、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.一阶微分方程的解法小结:方程编号类型一般形式解法备注1型可分离变量方程|y (x)(y)或M (x)dx N(y)dy 0分离变量法有些方程作代换后可化为1型2型齐次方程y (厶或xx(-)y令u y或U -化 xy为1型求解有时方程写成x()令-u化y y为1型求解3型线性方程y P(x)y Q(x)或x P(y)x Q(y)1. 常数变易法2. 凑导数法：同乘Pdxe有时方程不是关于y,y线性方程，而是关于x, x线性方程4型贝努里方程y P(x

2、)y Q(x)y或x P( y)x Q(y)xi令yz或x1z化为3型求解有时方程不是关于y,y的贝努里方程，而是关于x, x贝努里方程5型全微分方程P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 其中x yu(x, y) c u(x, y)为原函数有时乘以一个积分因子可化为5型二阶微分方程的解法小结:类型特征求解方法备注nyf x缺x, yn次积分求解见上册h*y f x,y缺y令 y p,yp，降为一阶方程降价后是关于p，x的一阶方 程II1y f y,y缺x令 y p y，yp dp降为一阶方程dy降价后是关于p ,y的一阶方dp r 程 p f y, pdyy py qy f (x)p,q

3、常系数通解y y yy及 y见下表齐次方程y py qy 0的通解y为:判别式两特征根情况通解p2 4q 0相异实根r1，r2rixr2xyCiec?ep2 4q 0二重实根roroxyCic?x ep2 4q 0共轭复根A,?ixy e c1 cos x c2 sin x非齐次方程ypy qy f(x)的特解y的形式为:f x的形式特征根情况y的形式nrxPmx er不是特征根Qx erxr是k重特征根kx r是单根k 1x Qm x e口 r是二重根k 2e x R x cos x Pn x sin xi不是特征根x C 1C 2eQm x cos x Qm x sin xi是特征根xe

4、x Qj x cos x Q： x sin x主要:一阶1可分离变量方程、线性微分方程的求解;2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解;3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求-Z时，应将y看作常量，对x求导，在求 二时，应将x看作常量，对y求xy导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法zzuzvxuxvx设 z f u , v ， u x , y ， v1)zfu , v，uxv2)zfx, v ，vx , y ，几种特殊情况:zzuzvy uyvydzdzuzdvx，则一dxduxvdx则二f丄一v

5、zfvxxvxyuyx , y，则3) z f u ， udzuzdzuduxyduyx ,y 则二x3、隐函数求偏导数的求法1）一个方程的情况收集于网络，如有侵权请联系管理员删除设z z x , y是由方程F x , y , z 0唯一确定的隐函数，则zFxxFFzzFyy FFz 0或者视z z x , y，由方程F x , y , z0两边同时对x（或y）求导解出（或）.x y2）方程组的情况由方程组F x ,y ,u ,v G x,y ,u , v0两边同时对x（或y）求导解出-z （或-即可.0x y、全微分的求法方法 1:禾U用公式 du dx dy dz x y z方法2:直接两

6、边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性: du dv . u vdzdx dy x y、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法x1）设空间曲线r的参数方程为yztt，则当t t时，在曲线上对应点tP x , y , z处的切线方向向量为Tt , t , t ，切线方程为法平面方程为x X0y y。z Zt0t0t0t xx0t0 y y。t0 z z02）若曲面的方程为F x , y , z0 ,则在点P0 Xo , yo , Zo处的法向量Po,切平面方程为Fx Xo,yo,Zo XXoFy Xo , yo,zoyyoFz Xo,yo,Zo z Zoo法线方程为X Xoy

7、oZ Zo若曲面n fxX,yo法线方程为Fx Xo,yo,zoFy Xo ,yo,zo的方程为z f x , y，则在点Pofy Xo,yo , 1 ,切平面方程为Xo,yo X Xo fy Xo ,yo y yox Xoyyofx Xo,yofy Xo,yoFz Xo,yo,zoxo , yo , zo处的法向量ZZooZo四、多元函数极值（最值）的求法1无条件极值的求法设函数z f x , y在点PO Xo , yo的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx X , y O， fy X, y O，解出驻点x , y，记 A fxx x , y ，B fxyXo , yo ，CXo , yo1）

8、若AC B2 O，则f x , y在点xo , yo处取得极值，且当A O时有极大值，当A O时有极小值.2） 若AC B2 O，则f x,y在点x , y处无极值3） 若AC B2 O，不能判定f x , y在点Xo , yo处是否取得极值.2条件极值的求法函数z f x,y在满足条件x , y O下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件x , y 0解出y代入f x , y中，则使函数z z（x, y）成为一元函数无条件的极值问题2）拉格朗日乘数法作辅助函数F x, y f x, y x, y ，其中为参数，解方程组令Fx x, yfx x, yx x,y-0Fy x, y令fy

9、x,yy x, y=0x,y0求出驻点坐标x,y，则驻点x, y可能是条件极值点.3最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处 的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大 （最小）值.主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示:积分类型积分记号定义及几何意义积分区域积分元素被积函数一重积分bf(x)dxanlimf( i)为0i 1曲边梯形面积区间a,bdx= x一元函数二重积分f(x,y)dD

10、nlimf( i, i)i0i 1曲顶柱体体积平面区域Ddxdy drdrd二元函数三重积分f (x, y,z)dvnlim f( i, i, i)Vi0i 1空间区域dxdydzdvrdrd dz2r sin drd d三元函数第一类曲线积分f (x, y)dsLf(x,y,z)dsLnlim f( i, i) s 0i 1平面或空间曲线Lds=U(dx)2 (dy)2尸dt (1 y 2dxJr2( ) r ( )2d二元或三元函数第二类曲线积分f (x, y)dxLf(x, y,z)dxLnlimf( i, i)为0i 1平面或空间曲线Ldx dscos二元或三元函数第一类 曲面积分f

11、(x, y, z)dsnlim f( , i, i) s i 1空间曲面1 乙2 zy2dxdy dsdxdycos三元函数第二类曲面积分f (x, y, z)dxdynlimf( i, i, i)为0i 1空间曲面dxdy ds cos三元函数精品文档计算方法见上册b 2(x)1) dx fdya !(x)Q()2) d f (r cosri()Z2 (x,y)1) d fdzDxy z1 (x,y)3) 柱面坐标法d2(y)or dx fdyc1( y)r sin )rdrC22) dz fdxdyc DZ4)球面坐标法1) f(，(t) x* 1 2 3 4 y2dtb2) f(x,y(

12、x)；1y2dxa3) f(r( )cos ,r( )sin ) r2厂2(一)d4) 化为第二类曲线积分转动慣量lx重心xI xy2dDI x= (y2 z2) dvIx= y2 dsLx dvx dvx dsds其它（面积体积功等）表后*所示1 体积 V(Z2Z1 )dDxy2)曲面面积A= Jzx2zy2 dxdyxy体积V= dv曲线所围面积1A= _ xdy ydx2L收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1）功 W= Pdx QdyL求二元函数的“原函数”2 2f (x, y,z(x, y) J ZxZy dxdyDXYIx=(y2 z2) dsx dsx =ds面积S= ds1)直

13、接代入法f (x,y,z(x,y)dxdyDxy2) Gaus公式计算法；3)投影转移法cosf (x( y,z),y,z)dydzDcosyz定积分的几何应用定积分应用的常用公式:面积S b f x g x dx（ X型区域的面积）S 1 r22 rj d（ 型区域的面积）2体积V b A x dxVxxa f2 x dx( y所得的立体体积)Vxy：2 x f x dx( y的立体体积)Vy ca (f x c)2dx( yf(x),xa, xb, y0所围图形绕x轴旋转f (x), xa,xb,y0所围图形绕y轴旋转f (x), xa,xb,yc所围图形绕轴y c（横截面面积已知的立体体

14、积）旋转的立体体积）a .1 y 2dx直角坐标形式 弧长S x t2 yt 2dt参数方程形式.r2 r 2d极坐标形式计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限;（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化.计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算:1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x对称，则当被积函数关于x为奇函数时，该积分为0,当被积函数关于变量x为偶函数时，则该积分为 相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量 的对称性理论与上相反.3）、若积分区域x,y的地位平等（即将表示区域的方程 x,y互换不变），则将被积函 数中x, y互换积分不变此称之为轮换对称性主要1、交换二次积分的积分次序；2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；3、green公式计算法；4、Ga