数值分析第八章常微分方程数值解法ppt课件

1、数值分析数值分析Numerical Analysis第八章常微分方程数值解法郑州大学研讨生课程郑州大学研讨生课程 2021-20212021-2021学年第一学期学年第一学期 第八章 常微分方程数值解法 8.1 8.1 引言引言8.2 8.2 欧拉欧拉(Euler)(Euler)法法8.3 8.3 改良欧拉改良欧拉(Euler)(Euler)方法方法8.4 8.4 单步法的稳定性单步法的稳定性8.1 引言引言问题提出问题提出 倒葫芦外描画器壁上的刻度问题倒葫芦外描画器壁上的刻度问题. .对于圆柱外描对于圆柱外描画器壁上的容积刻度画器壁上的容积刻度, ,可以利用圆柱体体积公式可以利用圆柱体体积公

2、式HDV22其中直径D为常数.由于体积V与相对于容器底部的恣意高度H的函数关系明确,因此在容器上可以方便地标出容器刻度,而对于几何外形不是规那么的容器,比如倒葫芦外描画器壁上如何标出刻度呢?8.1 引言引言下表是经过丈量得到部分容器高度与直径的关系下表是经过丈量得到部分容器高度与直径的关系. .H 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0D 0 0.11 0.26 0.56 1.04 1.17dxDdV241根据上表的数据根据上表的数据, ,可以拟合出倒可以拟合出倒葫芦外描画器的图葫芦外描画器的图, ,建立如以下建立如以下图的坐标轴后图的坐标轴后, ,问题即为如何根问题即为如何根据恣意高度据

3、恣意高度x x标出容器体积标出容器体积V V的的刻度刻度, ,由微元思想分析可知由微元思想分析可知8.1 引言引言其中其中x x表示高度表示高度, ,直径直径D D是高度是高度x x的函数的函数, ,记为记为D(x),D(x),因此得到如下微分方程初值问题因此得到如下微分方程初值问题0)0()(412VxDdxdV只需求解上述方程只需求解上述方程, ,就可求出体积就可求出体积V V与高度与高度x x之间的之间的函数关系函数关系, ,从而可标出容器壁上容积的刻度从而可标出容器壁上容积的刻度, ,但问题但问题是函数是函数D(x)D(x)无解析表达式无解析表达式, ,我们无法求出其解析解我们无法求出

4、其解析解. .8.1 引言引言 包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中分的方程称为微分方程。在微分方程中, , 自变量的自变量的个数只需一个个数只需一个, , 称为常微分方程。自变量的个数为称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。假设未知函数程的阶数。假设未知函数y y及其各阶导数及其各阶导数都是一次的都是一次的, ,那么称它是线性的那么称它是线

5、性的, ,否那么称为非线性否那么称为非线性的。的。 )(,nyyy 常微分方程常微分方程( ODEs 未知函数是一元函数未知函数是一元函数) 偏微分方程偏微分方程( PDEs 未知函数是多元函数未知函数是多元函数) vmcgdtdv 22xuxuutu 0yx222 ,2)( 的的解解xxy cxxy 2)(.,才才能能确确定定方方程程的的解解件件方方程程加加上上适适当当的的定定解解条条边边值值条条件件初初始始值值条条件件定定解解条条件件)2()1(:同一个微分方程同一个微分方程,具有不同的初具有不同的初始条件始条件0022220222( ,)()11221(0)11cos1cossin(0)

6、111sinxyfx yyxyxydyxdxycxcyyyxcyyxyxdyxdxxcyyyyx 本章重点讨论一阶常微分方程初值问题dydxdydx当当x=0时时,y=1,可得可得c=1特解特解当当x=0时时,y=1,可得可得c=-1特解特解两边积分两边积分通解通解8.1 引言引言 在高等数学中，对于常微分方程的求解，在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的根本方法，给出了一些典型方程求解析解的根本方法，如可分别变量法、常系数齐次线性方程的解如可分别变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程

7、依然是有限的，大多数的求解的常微分方程依然是有限的，大多数的常微分方程是不可以给出解析解。常微分方程是不可以给出解析解。 8.1 引言引言 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */: 0)(,),(yaybaxyxfdxdy 解的存在独一性解的存在独一性“常微分方程实践：只需常微分方程实践：只需 f (x, y) 在在a, b R1 上延续，且关于上延续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件，即存在条件，即存在与与 x, y 无关的常数无关的常数 L 使使对恣意定义在对恣意定义在 a, b 上

8、的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，那么上述都成立，那么上述IVP存在独一解。存在独一解。1212| ( , )( ,)|f x yf x yL yy解析解法：常微分方程实践解析解法：常微分方程实践只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。如何求解如何求解8.2 欧拉欧拉(Euler)法法 欧拉欧拉Euler方法是解初值问题的最简方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题单的数值方法。初值问题的解的解y=y(x)代表经过点代表经过点 的一条称

9、之为微分的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率的切线的斜率 等于函数等于函数 在这点的值。在这点的值。 00)(),(yxyyxfy),(00yx),(yx)(xy),(yxf Pi+1 Pn y=y(x) P1 Pi Pn Pi+1 P0 x0 x1 xi xi+1 xn Pi P1 Euler法的求解过程是法的求解过程是:从初从初始点始点P0(即点即点(x0,y0)出发出发,作积分曲线作积分曲线y=y(x)在在P0点上点上切线切线 (其斜率为其斜率为 ),与与x=x1直线直线10PP000( )( , ( )y xf x y x相交于

10、相交于P1P1点点( (即点即点(x1,y1),(x1,y1),得到得到y1y1作为作为y(x1)y(x1)的近似的近似值值, ,如上图所示。过点如上图所示。过点(x0,y0),(x0,y0),以以f(x0,y0)f(x0,y0)为斜率的为斜率的切线方程为切线方程为 当当 时时, ,得得 )(,(0000 xxyxfyy1xx )(,(010001xxyxfyy这样就获得了这样就获得了P1P1点的坐标。点的坐标。 Pi+1 Pn y=y(x) P1 Pi Pn Pi+1 P0 x0 x1 xi xi+1 xn Pi P1 同样同样, 过点过点P1(x1,y1),作积分曲线作积分曲线y=y(x)

11、的切线的切线交直线交直线x=x2于于P2点点,切线切线 的斜率的斜率 直线方程为直线方程为21PP)(1xy11(,)f xy)(,(1111xxyxfyy)(,(121112xxyxfyy当当 时时, ,得得 2xx 当当 时时, ,得得 Pi+1 Pn y= y(x) P1 Pi Pn Pi+1 P0 x0 x1 xi xi+1 xn Pi P1 由此获得了由此获得了P2P2的坐标。反复以上过程的坐标。反复以上过程, ,就可获得一系就可获得一系列的点列的点:P1,P1,Pn:P1,P1,Pn。对已求得点。对已求得点以以 为斜率作直线为斜率作直线 ),(nnnyxP)(nxy(,)nnf x

12、y)(,(nnnnxxyxfyy1nxx)(,(11nxnnnnxxyxfyynnyxy)(取取 从图形上看从图形上看, ,就获得了一条近似于曲线就获得了一条近似于曲线y=y(x)y=y(x) 的折线的折线 。 Pi+ 1 Pn y= y(x) P1 Pi Pn Pi+ 1 P0 x0 x1 xi xi+ 1 xn Pi P1 这样这样, ,从从x0 x0逐个算出逐个算出对应的数值解对应的数值解 nxxx,21nyyy,21nPPPP3218.2 欧拉欧拉(Euler)法法通常取通常取 ( (常数常数),),那么那么EulerEuler法的计算法的计算格式格式 hhxxiii1)(),(001

13、xyyyxhfyyiiii i=0,1,n ( 8.2 ) 8.2 欧拉欧拉(Euler)法法还可用以下方法推导还可用以下方法推导EulerEuler格式：格式： 数值微分数值微分 数值积分法数值积分法对微分方程的离散，可对微分方程的离散，可以有多种思绪，但最根以有多种思绪，但最根本的想法是本的想法是“以直代曲以直代曲8.2 欧拉欧拉(Euler)法法(1) 用差商近似导数用差商近似导数)(,()()()()(1nnnnnnxyxhfxyxyhxyxy )(),(01ayyyxhfyynnnn差分方程初值问题差分方程初值问题向前向前Euler方法方法hxyxyxynnn)()()(1 )(,(

14、)()(1nnnnxyxfhxyxy )(,()(nnnxyxfxy 8.2 欧拉欧拉(Euler)法法假设用向后差商近似导数，即假设用向后差商近似导数，即)(,()()(111 nnnnxyxhfxyxy )(),(0111ayyyxhfyynnnnhxyxyxynnn)()()(11 向后向后Euler方法方法)(,()()(111 nnnnxyxfhxyxy)(,()(111 nnnxyxfxy8.2 欧拉欧拉(Euler)法法2用数值积分方法用数值积分方法 1)(,()()(1nnxxnndxxyxfxyxy 11)(,()(nnnnxxxxdxxyxfdxxy1111( , )(,

15、(), ( , )(, (),()()nnnnnnnnf x yf xy xf x yf xy xy xyy xy分别用左矩形和右矩形公式，即 代替上式右端的积分,并注意 ,分别得到1111 (,) (,) nnnnnnnnyyh f xyyyh f xy，。向前欧拉公式和向后欧拉公式：8.2 欧拉欧拉(Euler)法法假设对积分用梯形公式，那么得假设对积分用梯形公式，那么得 )(,()(,(2)()(111 nnnnnnxyxfxyxfhxyxy )(),(),(20111ayyyxfyxfhyynnnnnn梯形欧拉公式梯形欧拉公式例例8.2.1 8.2.1 用欧拉法解初值问题用欧拉法解初值

16、问题 1)0()6 . 00(2yxxyyy取步长取步长h=0.2 ,h=0.2 ,计算过程保管计算过程保管4 4位小数位小数 解解: h=0.2, : h=0.2, 欧拉迭代格式欧拉迭代格式 2),(xyyyxf21),(iiiiiiiiyhxhyyyxhfyy0.2(4)(0,1,2 3)iiiyx yi，当当 k=0, x1=0.2时，知时，知x0=0，y0=1，有，有 y(0.2)y1=0.21(401)0.8当当 k=1, x2=0.4时，知时，知x1 =0.2， y1 =0.8，有，有 y(0.4) y2 =0.20.8(40.20.8)0.6144当当 k=2, x3 =0.6时

17、，知时，知x2 =0.4， y2 =0.6144，有，有 y(0.6) y3=0.20.6144(4-0.40.6144)=0.4613 8.2 欧拉欧拉(Euler)法法1, 1 , 0 )(),(01 Nnayyyxhfyynnnn的解作为微分方程初值问题的数值解，即的解作为微分方程初值问题的数值解，即.,)(方方法法称称为为Euleryxynn 以差分方程初值问题以差分方程初值问题8.2 欧拉欧拉(Euler)法法hyynnn :1 单单步步法法一一般般形形式式 )(),(),(20111ayyyxfyxfhyynnnnnn1111 (,) (,) nnnnnnnnyyh f xyyyh

18、 f xy，。8.2 欧拉欧拉(Euler)法法00y)y(x );y,x(fydxdy x0 x1x2x3欧拉折线法欧拉折线法 1,y(0)1x0 ,: yxdxdy的的数数值值解解用用欧欧拉拉方方法法求求下下列列方方程程例例 25. 1)15 . 0)(5 . 0(1)0 . 1(0 . 1)1(0.5)(01(0.5)11120001yhxyyyyhxyyy解：解：Euler公式为公式为 ),(1nnnnyxhfyy 当当h=0.5时时, 1 , 0 n nnnyhxy 25. 0 5 . 0 hh分分别别取取1)1(0.25)(0125. 0(0.25)0001 yxyyy), 1 ,

19、 0( 1 nyhxyynnnn当当h=0.25时时0625. 1)125. 0)(25. 0(1 25. 0)5 . 0(1112 yxyyy191347. 1)0625. 15 . 0)(25. 0(0625. 1 25. 0)75. 0(2223 yxyyy39600. 1)191347. 175. 0)(25. 0(191347. 1 )191347. 1 ,75. 0()75. 0(25. 0)0 . 1(3334 hfyyxyyy1)y(0 ;yxydxdy 00.50.751.010.25h = 0.5h = 0.25224) /x1(: y解析解为解析解为8.2 欧拉欧拉(Eu

20、ler)法法欧拉方法的收敛性11212 () Taylor, (,),()()()()()2 ()(, ()() (1)2nnnnnnnnnnnnnny xxxxhy xy xhy xhy xyhy xhf xy xy将在点展开1(),(8.2) () (, () (2)nnnnny xyy xh f xy x假定已知准确值 利用欧拉公式，定义8.2 欧拉欧拉(Euler)法法部分截断误差11112() ()()(, () (). 2nnnnnnnnTy xyy xy xhf xy xhy2221 max |( )|,|()|(). 22a x bnnMy xhhTyMO h 令则称为部分截断

21、误差8.2 欧拉欧拉(Euler)法法欧拉方法的收敛性定义 假设给定方法的部分截断误差满足那么称该方法是 P 阶的，或称为具有 P 阶精度。11|(),pnTO h8.2 欧拉欧拉(Euler)法法整体截断误差111().nnney xy记112121112 ,(), (), () ,(),.nnnnnnyy yyy xy xy xy xey yy因为计算 时 用到的, 是 的近似值 每步产生的误差会累积到计算的误差中因此 与 , 都有关 称整体截断误差为1111111111| | ()| | ()| |. (3)nnnnnnnnnney xyy xyyyTyy8.2 欧拉欧拉(Euler)法

22、法欧拉方法的收敛性1111,(8.2)| | () (, () (,) | | () |(, ()(,)| | () | () | () (1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyyyy xh f xy xyh f xyy xyh f xy xf xyy xyhL y xyhL对应用欧拉公式得李普希兹条件|. (4)ne由此知，当 max |,(4)(3)kkTT记 将代入得1121210112|(1)| (1)(1)| (1)(1) | (1)(1)(1) (1)|(1)1(1)1 ()(1) 1 (nnnnnnnneThLeThL ThLeThL ThLeThL ThL ThL T

23、hLehLhLTO hhLhLO).h10,|0, nhe欧拉公式是一阶有收敛的。8.2 欧拉欧拉(Euler)法法 注 整体截断误差与部分截断误差的关系： 1(1)() 0,(1)e , (1)ee.nnznnhLL b azzhLconst111|(|).nneO hT8.2 欧拉欧拉(Euler)法法 向后欧拉公式向后欧拉公式隐式欧拉法或向后欧拉法隐式欧拉法或向后欧拉法 /* implicit Euler method or backward Euler method*/11()()()nnny xy xy xhxn+1点向后差商近似导点向后差商近似导数数111111()()() ()(

24、)(,)nnnnnnnnnny xy xhy xy xyy xyyh f xy代入隐式或后退欧拉公式隐式或后退欧拉公式8.2 欧拉欧拉(Euler)法法 向后欧拉公式向后欧拉公式由于未知数由于未知数 yn+1 同时出如今等式的两边，故称为隐式同时出如今等式的两边，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧欧拉公式。隐式公式不能直接求解，普通需求用拉公式。隐式公式不能直接求解，普通需求用Euler显式显式公式得到初值，然后用公式得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公

25、式计算复杂，但稳定性好后面分析。式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好后面分析。 隐式欧拉公式中的未知数隐式欧拉公式中的未知数 yn+1 可经过以下迭代法可经过以下迭代法求解：求解：0)1(1)( )111(,)(,)nnnnkknnnnyyh f xyyyh f xy（8.2 欧拉欧拉(Euler)法法 向后欧拉公式向后欧拉公式(1)()1111111()(0 )1111(1)11111()1(,)(,)1, ()(,)kknnnnnnkknnnnknnnnnnknyyh fxyfxyhL yyhLyyhLyykyyh fxyy 若在 迭 代 公 式 中 取 极 限 ， 有因 此的 极 限 就

26、 是 隐 式 方 程 的 解迭代法求隐式欧拉格式中迭代法求隐式欧拉格式中yn+1的收敛性的收敛性 见上图，见上图， 显然，这种近似也有一定误差，显然，这种近似也有一定误差，如何估计这种误差如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？方法同上，基于方法同上，基于Taylor展开估计部分截断误差。展开估计部分截断误差。但是留意，隐式公式中右边含有但是留意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) ,由于由于yn +1不准确，所以不能直接用不准确，所以不能直接用y (xn+1)替代替代f(xn+1 , yn +1 ) 设知曲线上一点设知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该过该点作弦

27、线，斜率为点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的方向场点的方向场f(x,y)。假设步长。假设步长h充分充分小，可用弦线和垂线小，可用弦线和垂线x=xn+1的交点的交点近似曲线与垂线的交点。近似曲线与垂线的交点。几何意义xnxn+1PnPn+1xyy(x) 隐式欧拉法的部分截隐式欧拉法的部分截断误差：断误差：1111111112111, ,2nnnnynnnnnnnnnnnf xyf xy xfxyy xyy xhf xy xyxyxhyxyx由微分中值定理，得 其中 在，之间；又111()(,) nnnnyy xhf xy由向后欧拉公式， 定义 111132, 2nnynnnnn

28、nyy xhfxyy xhhyxh yxyx23126nnnnnhhy xy xhyxyxyx而111111232311(), 231,23nnnynnnnnynnnnTy xyhfxy xyhhyxyxhhhfxTyxyx 从而即2211121,1,(1)1ynynynhfxhfxhfxxxx 11 2322111231221 T1,23 3,226 T( )2nynynnnnynnnnnhhhfxhfxy xyxhhy xfxy xy xhy xo h 隐式欧拉法的部分截断误隐式欧拉法的部分截断误差：差：111()nnnTy xy 232()()hny xO h即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉

29、公式具有 1 阶精度。阶精度。 隐式欧拉法的部分截隐式欧拉法的部分截断误差：断误差：8.2 欧拉欧拉(Euler)法法 向后欧拉公式向后欧拉公式1(,) 0, 1,.nnnnyyh f xyn比较欧拉显式公式和隐式公式及其部分截断误差231112()()()hnnnnTy xyy xO h显式公式111(,)nnnnyyh f xy隐式公式231112()()()hnnnnTy xyy xO h 假设将这两种方法进展算术平均，即可消除误差假设将这两种方法进展算术平均，即可消除误差的主要部分的主要部分/*leading term*/而获得更高的精度而获得更高的精度,称为梯形法称为梯形法 梯形公式

30、梯形公式 /* trapezoid formula */ 显、隐式两种算法的平均显、隐式两种算法的平均111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy注：确实有部分截断误差注：确实有部分截断误差 ， 即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了提高。但阶精度，比欧拉方法有了提高。但留意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代留意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式类似。法，其迭代收敛性与欧拉公式类似。3111()()nnnRy xyO h例例8.2.3 8.2.3 对初值问题对初值问题 1)0(0yyy证明用梯形公式求得的近似解为证明用梯形公式求

31、得的近似解为 nnhhy并证明当步长并证明当步长h h0 0时时,yn,yn收敛于准确解收敛于准确解证明证明: : 解初值问题的梯形公式为解初值问题的梯形公式为 xe),(),(nnnnnnyxfyxfhyyyyxf),( 211nnnnyyhyy 整理成显式整理成显式 nnyhhy反复迭代反复迭代, ,得到得到 yhhyhhyhhyhhynnnnn.10y22nxnhyeh 公式公式局部截断误差局部截断误差精精度度显显隐隐稳稳定定性性步数步数欧拉显欧拉显式公式式公式1 1阶阶显显差差单步单步欧拉隐欧拉隐式公式式公式1 1阶阶隐隐好好单步单步梯形梯形公式公式2 2阶阶隐隐好好单步单步3(3)3

32、nhyx2(2)2nhyx2(2)2nhyx欧拉法小结欧拉法小结8.3 改良欧拉改良欧拉(Euler)方法方法8.3 改良欧拉改良欧拉(Euler)方法方法8.3 改良欧拉改良欧拉(Euler)方法方法 显式欧拉公式计算义务量小显式欧拉公式计算义务量小,但精度低。梯形公但精度低。梯形公式虽提高了精度式虽提高了精度,但为隐式公式但为隐式公式,需用迭代法求解需用迭代法求解,计算计算义务量大。综合欧拉公式和梯形公式便可得到改良义务量大。综合欧拉公式和梯形公式便可得到改良的欧拉公式。的欧拉公式。 结合已有格式的优点，以结合已有格式的优点，以得到计算方便、计算量减得到计算方便、计算量减少且精度坚持的数值

33、格式少且精度坚持的数值格式8.3 改良欧拉改良欧拉(Euler)方法方法 先用欧拉公式先用欧拉公式(8.2)求出一个初步的近似值求出一个初步的近似值,称为预测值称为预测值, 它的精度不高它的精度不高, 再用梯形公式对它校正再用梯形公式对它校正一次一次,即迭代一次即迭代一次,求得求得yn+1,称为校正值称为校正值, 这种预测这种预测-校校正方法称为改良的欧拉公式：正方法称为改良的欧拉公式：1ny 校校正正预预测测 ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy称为称为Euler公式与梯形公式的预测公式与梯形公式的预测校正系统。校正系统。8.3 改良欧拉改良欧拉(

34、Euler)方法方法 )(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy实际计算时，常改写成以下方式实际计算时，常改写成以下方式几何几何解释解释xnxn+1ABPn+1=(A+B)/2欧拉法欧拉法改良欧拉法改良欧拉法梯形法梯形法predictorcorrector),(01iiiiyxhfyy ),(),(21011 iiiiyxfyxf ),(),(20111 iiiiiiyxfyxfhyy8.3 改良欧拉改良欧拉(Euler)方法方法 可以证明可以证明, ,改良的欧拉公式的精度为二阶。改良的欧拉公式的精度为二阶。这是一种一步显式格式这是一种一步显式格式, ,它可以

35、表示为嵌套方式。它可以表示为嵌套方式。),(,(),(211iiiiiiiiyxhfyxfyxfhyy 校校正正预预测测 ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy法法计计算算公公式式改改进进的的解解Euler: nnnnnnnnnnnyhhyyhyyyhyyhyyy2)(2 211nnnhhyhhyy)21()21(2021 nhx 令令xhhhhhxhhxhnhehhhhy 22222020022)21(lim)21(limlim例例8.3.18.3.1 )(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy.5, 2 . 0,4

36、 . 12 . 1 , 1)1(,sin:2位位小小数数点点后后至至少少保保留留取取步步长长处处的的近近似似值值和和的的解解在在方方法法计计算算初初值值问问题题用用改改进进的的例例 hyxyyyEuler方方法法改改进进的的解解Euler: 校校正正预预测测 ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyyxyyyxfsin),(2 2211(sin)(sin)1()2pnnnnqnppnnpqyyhyyxyyhyyxyyy2 . 0, 1)0(0 hyy)(21)sin()sin(1122qpnnppnpnnnnpyyyxyyhyyxyyhyy 1)0( 1

37、, 00 yyn71549. 0)2 . 1( 799272. 0 631706. 0,01 yyyynpp时时52611. 0)4 . 1(575259. 0 476964. 0,12 yyyynpp时时8.3 改良欧拉改良欧拉(Euler)方法方法 开始 输入 x0, y0,h, N 1 n x0 +h x1 y0+hf(x0,y0 ) yp y0+hf(x1,yp) yq (yp+ yq)/2 y1 输出 x1, y1 n+1 n n=N ? x1 x0 y1 y0 结束 n y 改良欧拉法的算法8.4 单步法的稳定性单步法的稳定性 稳定性在微分方程的数值解法中是一个非常稳定性在微分方程

38、的数值解法中是一个非常重要的问题。由于微分方程初值问题的数值方法是重要的问题。由于微分方程初值问题的数值方法是用差分格式进展计算的，而在差分方程的求解过程用差分格式进展计算的，而在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误差等引起的扰动，在传播过程中，可以会大量积累，差等引起的扰动，在传播过程中，可以会大量积累，对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法稳定性问题。稳定性问题。 例：调查初值问题例：调查初值问题 在区间在区间0, 0.5上的解。上的解。分别用欧拉显、隐式格式和改良的欧拉格