计算方法_复习课

1、计算方法Computational Method School of Automation. Huazhong University of Science and Technology华中科技大学 自动化学院蔡超 误差的误差的定义定义误差误差限限有效数字有效数字舍 入 误 差误 差 的 产 生截 断 误 差绝 对 误 差 （ 限 ）误 差度 量相 对 误 差 （ 限 ）有 效 数 字误 差 与 算 法一 元 函 数传 播多 元 函 数数 值 方 法 的 收 敛 性算 法数 值 方 法 的 稳 定 性算 法 设 计 要 点例1 已知数 x=2.718281828.,取近似值 x*=2.7182,

2、那麽x具有几位有效数字解:*31 42.7182818282.71820.00008182110.0005101022exx故有四位有效数 点评：考查有效数字的概念。x*=2.7183?*1233.105,0.001,0.100 xxx *123xxx例2有效数试确定的相对误差限。*123123*123333()()()()1111010102220.00049933.1050.001 0.100re xe xe xe xxxxxx解： 点评:此题考查相对误差的传播。例3sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 .解法1：根据有效数字与相对误差限的关系 2 111110100.00

3、6252 816r 解法2：相对误差限的概念 21100.840.00595242rx点评:此题考查相对误差与有效数字关系第二种按定义得到的结果更好1 1 问题的提出 2 2 拉格朗日插值公式3 3 插值余项4 4 埃特金插值方法5 5 牛顿插值公式6 6 埃尔米特插值7 7 分段插值法8 8 样条函数9 9 曲线拟合的最小二乘法三次样条插值插值型插值分段低次插值等距节点插值（差分）差商型余项型余项插值余项插值法插值法构造方法型插值代数插值HermiteHermiteLangrangeNewtonLangrangeLangrange知识结构图33( )( ),( )( ),H af a H b

4、f b33, 2222ababababHfHf 243( )( )( )()() ( )4!2fabf xHxxaxxbaxb( )f x , a b1.若在上有连续的四阶导数，试证明满足以下插值条件)(3xH的插值多项式的截断误差为2323(4)( )( )( )( )()() ()2,2( )( )( )( )()() ()2( ),( )()( )0,()022Rolle,( )0abR xf xHxk x xa xxbabxababg tf tH tk x ta ttbg tababg agg bgxg证明：设余项当 不同于 ， 和时 构造如下关于的函数于是函数也是充分光滑的 并且有如

5、下零点多次使用定理知 至少存在一个依赖于 的点 ，使得有(4)(4)23.( )( ),4!( )( )( )( )()() ()4!2fk xfabR xf xHxxa xxb从而可得从而有截断误差( ) (0,1,)il xin 0niix分别是关于互异节点的Lagrange插值基函数，0( ) ( 0,1,)nkkj jjx l xxkn证明提示：利用插值的拉格朗日余项说明当被插值函数为x的k次方时，误差为零。例：求下列超定方程组的最小二乘解：1 1 机械求积2 2 牛顿-柯特斯公式3 3 龙贝格算法4 4 高斯求积公式5 5 数值微分知识结构图例1（10分）以 hh 2 , 0为插值节

6、点，用插值法建立计算积分dxxfIh30)(的数值求积公式. hh 2,0)(xf 解 以为插值节点，做的插值多项式)2()()()()0()()(2102hfxlhfxlfxlxL其中 )23(21)20)(0()2)()(2220hhxxhhhhxhxxl)2(1)2)(0()2)(0()(221hxxhhhhhxxxl)(21)2)(02()(0()(222hxxhhhhhxxxl将)(2xL积分，得所求的积分公式为 )2(3)0(43)(302hffhdxxLIh例2 确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后 的求积公式具有3次代数精确度。 )()0()()(101hfAfAhfAd

7、xxfhh证明：求积公式中含有三个待定系数，将 2, 1)(xxxf代入求积公式，并令其左右相等，得到 31121110132)(0)(2hAAhAAhhAAA解得 11014,33AAh Ah从所求方程组看出，该公式至少具有2次代数精确度。 又由于 )(3)(3)(3)(3444333hhhhdxxhhhhdxxhhhh求积公式 4( )()(0)( )333hhhhhf x dxfhff h具有3次代数精确度。 解 因为两点Gauss型求积公式的代数精确度为3 021011131310301121210201111001110dxxxAxAxdxxxAxAxxdxxAxAxdxxAA解此非

8、线性方程组得 22,2210 xx2110 AA所求Gauss型求积公式为)22(21)22(21)(11ffdxxfx)()()(110011xfAxfAdxxfx例3 建立两点Gauss型求积公式解21,12210 xgxgg在-1，1上关于权函数 正交 xx )(2122 xg的零点就是所求Gauss点 22,2210 xx10, AA求Gauss系数 111011102222xdxxAAdxxAA解得 2110 AA故所求Gauss型求积公式为)22(21)22(21)(11ffdxxfx例例 用复化用复化SimpsonSimpson公式计算公式计算积分积分 的的近似值，近似值，并估计

9、误差。（并估计误差。（n=5,n=5,共共1111个节点）个节点）101dxIx 解：解：n=5n=5，h=(1-0)/n=0.2h=(1-0)/n=0.2，节点列为，节点列为0 10 110., ,ixii 则复化则复化SimpsonSimpson公式为公式为11111121 0 1 11 02 1 04 1 06 1 080264444441 01 1 03 1 05 1 07 1 09.I 010.20.40.60.80.10.30.50.70.9121101 ( )4()2( )( ).6nnniiiihSf af xf xf b41(4)10(), ( ,),180 2nniiiii

10、hhRISfx x 截断误差估计：截断误差估计：44450 145454242412100 1241 3 10180180( )( ) , ( ),max( )()()( / )().xfxmfxxba hmR 1 052 083333 071429 062500 055560033334 090909 076923 066667 058824 052632(. )( .).( .) 0 03333 20 79450 69315.010.840.860.880.90.920.940.960.981xsin(x)/x00.510.840.860.880.90.920.940.960.981xsi

11、n(x)/x00.250.50.7510.840.860.880.90.920.940.960.981xsin(x)/x00.1250.250.3750.50.6250.750.87510.840.860.880.90.920.940.960.981xsin(x)/x30.9456909kT2k00.920735510.939793320.94451351 ( )( ).2baTf af b121201(). 22nnniihTTf x241 .33nnnSTT0.94614590.94608690.94608330.94008300.94608312161.1515nnnCSS2641.63

12、63nnnRCC0.9460831. dsin10的近似值利用龙贝格求积算法求xxxI 1 欧拉方法 2 改进的欧拉方法 3 龙格-库塔方法 4 亚当姆斯方法 5 收敛性与稳定性 6 方程组与高阶方程的情形 7 边值问题知识结构图TaylorEuler(Euler)RungeKuttaTaylor局部截断误差重要概念 收敛阶稳定性数值微分法单步法 构造方法 数值积分法展开法常微分方程初值问题的数值解法公式 包括改进的公式主要公式 梯形公式公式基本概念线性多步法数值积分法构造方法展开法例1用欧拉法求初值问题000.912()10yyxy xx 当h = 0.02时在区间0, 0.10上的数值解。

13、解 把 yxyxf219 . 0),(代入欧拉法计算公式。就得10.90.01810,1,51212nnnnnnyyhyynxx具体计算结果如下表：nxnyny(xn) n = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021例2取h=0.1, 用改进欧拉法预报校正公式求初值问题1)0(12yyxy在x=0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数. 解 欧拉预

14、报校正公式为)2(2),(),(2)1 (),(211211121kkkkkkkkkkkkkkkxkkyxyxhyyxfyxfhyyyxhyyxhfyyh=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有227.1)2 .11 .0102(21 .012 .1)101 (1 .0122121yyh=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有528. 1)488. 12 . 0227. 11 . 02(21 . 0227. 1488. 1)227. 11 . 01 ( 1 . 0227. 122222yy例3 导出用三阶泰勒级数法解方程22yxy的计算公式解:因 22),(yx

15、yxfy)(222222yxyxyyxfy 22222222 ()242 () (3)yfyyyxyxyxy)32)(8)53(4462422222222)4(yxyxyyxxyyyyyyyyyyyfy 故nnnnnfhfhhfyy 32161211)4(43)(! 4nnnxxfhR误差为 例4例5例6例61 1 迭代过程的收敛性迭代过程的收敛性2 2 迭代过程的加速迭代过程的加速3 3 牛顿法牛顿法4 4 弦截法弦截法非线性方程数值解法基本概念（单根、重根、收敛阶）求根方法二分法及其收敛性简单迭代法简单迭代法的加速Newton迭代法Newton迭代法的变形重根Newton迭代法Newton

16、下山法割线法迭代格式收敛性定理误差估计迭代格式收敛性定理误差估计知识结构图例1： 用牛顿迭代法建立求平方根 c（c 0）的迭代公式，并用以上公式求78265. 0解：设 cxxf2)(（x 0）则c就是f (x) =0的正根。 由为f (x) = 2x，所以得迭代公式kkkkxcxxx221由于x 0时，f (x) 0，且f (x) 0，根据定理知：cx 0，所确定的迭代序列xk必收敛于取任意初值取初值x = 0.88，计算结果见表kxk00.8810.8846920.8846830.8846888468. 078265. 0故可取 )(xx*x13)( x)(x)(xg)(1kkxgx*x例

17、2 已知方程在a,b内有根，且在a,b，利用构造一个迭代函数，使得局部收敛于上满足解： 由)(xx可得xxxx3)(3)()3)(21xgxxx由于 13)(21)3)(21)(xxxg故迭代公式)3)(21)(1kkkkxxxgx局部收敛。例3：已知迭代公式21132kkkxxx收敛于3*3x证明该迭代公式平方收敛。证明：迭代函数为2132)(xxx3232)(xx46)(xx 3*3x可知0232)(3*xx06)(4* xx 根据定理该迭代公式平方收敛。例41 1 消去法2 2 追赶法3 3 平方根法4 4 误差分析 第三章 典型例题例2例2例3例4结 束.,3有效数字有效数字位有位，就

18、说的第一位非零数字共有到该位的半个单位的误差限是某一位数字：若近似值定义nxnxx 1021 . 0 )1010(10 11)1(121nmnnmxxaaaax并且其中即数值运算的误差估计数值运算的误差估计为准确值，则误差限：为近似值四则运算，设*2*121,xxxx.|)(|)(|)/( ),(|)(|)( ),()()( 221221211221212121xxxxxxxxxxxxxxxxx*121212*1( ( ,.)( ,.)(,.)()nnnniiif x xxf x xxf x xxfxx)()()()()()(*xfxexfxfxfxf定理 设x* 的近似数x具有标准形式：12

19、1100.mnnpxa aa aa 若x具有n位有效数字，则相对误差 若相对误差 111102(1)na则x至少具有n位有效数字。112110.5 100.5 101100.0.2nnnna aaaa4 4 复化求积公式复化求积公式则得复化梯形公式梯形公式并在每个小区间上应用其中个小区间等分为把区间 , ),1, 1 , 0,( , , 1ninabhihaxxxnnbaiii.问题的提出和解决办法一、复化梯形公式一、复化梯形公式.)()(2)(2 )()(2d )(d )(I 11101101niiniiinixxbabfxfafhxfxfhxxfxxfii.)()(2)(2)()(2 10

20、101niiniiinbfxfafhxfxfhT记为, ,)(121 1103 iiiniinnxxfhTIRT的余项复化梯形公式., ),(12)(12 ,)(23bafhabfhnRbaxf 上连续，则在若.)(2阶，是收敛的此时复化梯形公式为hO. ,)()(21 , 110nIxfnabxfnabTbaCfniiniin其实.正，它又是稳定的复化梯形公式的系数为辛普森公式则得复化公式，在每个小区间上应用的中点为记 ,辛普森,211iiixxx二、复化辛普森公式二、复化辛普森公式).()(2)(4)(6 101121bfxfxfafhSniniiin即),( , )(2180 110)4

21、(4iiiniinxxfhhSIR余项,4时当baCf ,)()(4)(6d )( 10121niiiibaxfxfxfhxxfI).,( ),(8802)(2801 )4(4)4(4bafhabfhabSIRn.定性具有相应的收敛性和稳.)(2.9) )( )( 0拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式次次称为称为次插值多项式次插值多项式于是，所求于是，所求nxLxlyxLnnnkkkn (2.8) ), 1 , 0( )()()()()()()( ,0110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkjjjkjnkkkkkknkkk 也就是也就是(2.10) )()()( 10

22、1nnxxxxxxx 引入记号引入记号)()()()( 1101nkkkkkkknxxxxxxxxx 则得则得(2.11) )()()( )( 011 nkknknknxxxxyxL 于是于是例如，通过三点 的二次插值多项式 ，如果三点共线，则 就是一直线，而不是抛细线，这时 是一次式001122(,),( ,),(,)x yx yx y2( )L x2( )L x2( )L x( )nL x,)()()(1010nnnxxxxfxxxxxxxE,)()( ,)(,)()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN).()()(xExNxfnn )

23、,()( ),()( ),0,1,()(xRxExLxNniyxNnnnniin .(4).,( ,)!1()(, ) 1(0再次得证性质并有banfxxxfnn,)()(10001xxfxxxfxN,)()()(2101012xxxfxxxxxNxN,.,)()()()(10101kkkkxxxfxxxxxxxNxN牛顿插值公式牛顿插值公式011( ) ,( ) nnnR xf x x xxx( )(1)01(1)0 ( ) , , ( )( , ), ( )( )1(2.6), , ,( ) ( )( )( )(), (1)!( , ), .nnnnnnnnjjfxa bfxa bL xf

24、 xnaxxxbxa bfR xf xL xxxna bx设在上连续 设在内存在是在个节点上的满足条件的插值多项式则对于任何插值余项其中且依赖于定定理理(1)11n 1max |( )|, |( )|( )|, (1)!nna x bnnfxMMR xxn 若则数值分析简明教程01111, , , ( )( ), (7.3) (), ( ,0,1, ), , (0), ( )nhj jjjkjkjjjjjjjja bIxf lxlxj knxxxxx jxxxxlxx若用插值基函数表示 则在整个区间上其中表示为略去111,(), (7.4)0, ,. jjjjjxxxjnxxxx略去例例1：构

25、造三次埃尔米特插值多项式，要求：构造三次埃尔米特插值多项式，要求:33(),()(0,1)iiiiHxy Hxy i 300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxyxyx 条条 件件函函 数数函数值函数值导数值导数值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001解：采用基函数法，构造三次埃米特插值多项式：由0)()(1010 xx 可将它写成2100)()(xxxxbax 21000)(11)(xxax ，得，得由由 ，所以，所以）（，得，得再由再由3100020)(xxbx 21010100)(21)(xxxxxxxxx 2010

26、1011)(21)(xxxxxxxxx ）（将将同同理理10 xx ，可可令令同同样样由由0)()()(101000 xxx 2100)()(xxxxcx ，再再由由1)(00 x 210)(1xxc 得得,)()(210100 xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 数值分析简明教程00.5100.20.40.60.81x(2 x + 1) (x - 1)200.5100.20.40.60.81x-x2 (2 x - 3)00.5100.050.10.15xx (x - 1)200.51-0.15-0.1-0.050 xx2 (x - 1)210100)()(xxxxxxx 20

27、1011)()(xxxxxxx ,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx ,)(21 )(20101011xxxxxxxxx 条条 件件函函 数数函数值函数值导数值导数值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2201000022101111( )12 ( ) ( )( )() ( )( )12 ( ) ( )( )() ( )xlx lxxxx lxxlx lxxxx lx,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx ,)(21 )(20101011

28、xxxxxxxxx 即)(),(10 xlxl插值点的Lagrange),(),(1100yxyx为为以以一次基函数. .)()( 2121)(12010102101012010101021010103fxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxH可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为 ).,( ,)()(! 4)( )()()( 102120)4(33xxxxxxfxHxfxR余项为.,)(, 2);3, ) 1:)( 10110三次样条函数三次样条函数定义定义上的是节点则称直到二阶的连续导数在每一个内节点上具有次的多项式是一个次数不超过在每个小区间满足函数，若存在对于

29、给定节点njjnxxxxsxxxsbxxxa一、样条插值的概念一、样条插值的概念()(0, ),3) (),0, , 8.1( ).jjjjf xyjns xyjns x若在节点上给定函数值并满足（）则称是三三次次样样条条插插值值函函数数:)(的确定三次样条插值函数xs.),(,),()(1101nnnxxxxsxxxxsxs.44,1个参数个待定系数，共上要确定在每个nxxjj (0)(0), (0)(0), (0)(0). (1,1) 8.2jjjjjjjxs xs xs xs xs xs xjn因二阶导数连续，故在内节点 上满足连续性条件（）.24个条件再加上插值条件，共n.2边界条件边

30、界条件点加上个条件，通常在两个端还需注：注：三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于三次样条与分段埃尔米特插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需个端点可能需要）；而埃尔米特插值依赖于要）；而埃尔米特插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。:常见三种边界条件.)(,)(:00nnyxsyxs第一种边界条件.)(,)(:00nnyxsyxs 第二种边界条件. 0)(, 0)(:,0 nxsxs自然边界条件特别地.)0()0( ,).0()0( ),0()0( :0000已经成立故注意：因边界条件）第三

31、种边界条件（周期 nnnnxsxsyyxsxsxsxs 若假设若假设S (xi)=mi ,i=0,1,n,利用分段利用分段Hermite插值多项式插值多项式,当当x xi-1,xi时时,有有 iiiiiiiiiiiiiiiimxxxxmxxxxhyxxxxxyxxxxxhxS)()()(123321)(211212211213 其中其中hi=xi-xi-1 .为了确定为了确定S(x),只需确定只需确定mi ,i=0,1,n.可利用可利用S (xi-0)=S (xi+0)来求出来求出mi . 当当x xi-1,xi时时, iiiiiiiiiiiiiiiiiiiimxxxxxxmxxxxxxhyx

32、xxxxxxyxxxxxxxhxS)(2)()(2)(1223322)(12111222111123 二、二、 样条插值函数的建立样条插值函数的建立三转角插值法三转角插值法 iiiiiiiiiiiimxxxmxxxhyyxxxhxS)23()23(2)(26)(1112113 于是有于是有)2(2)(6)0(112iiiiiiimmhyyhxS )2(2)(6)0(11121 iiiiiiimmhyyhxS由连续性条件由连续性条件S (xi-0)=S (xi+0)可得可得 212111111311121iiiiiiiiiiiiihyyhyymhmhhmh两侧同除以两侧同除以 ),11(1iih

33、h,1111iiiiiiiiihhhhhh ，并记并记3( i xi-1,xi+ i xi,xi+1)=gi,则有则有 imi-1+2mi+ imi+1=gi , i=1,2,n-1. 同理有同理有再结合不同的边界条件再结合不同的边界条件,可得关于可得关于mi的方程的方程. 若边界条件为若边界条件为:m0=y 0 ,mn=y n , 可得可得 2222122221nnn 1221nnmmmm nnnnygggyg1122011 若边界条件为若边界条件为:S (x0)=y 0 ,S (xn)=y n ,则有则有 001211010,32gyhxxfmm nnnnnnngyhxxfmm 2111,

34、32连同式上式一起连同式上式一起,可得可得 2122121111nnnnmmmm110nngggg110若边界条件为周期性边界条件，由若边界条件为周期性边界条件，由S (x0+0)=S (xn-0) ,和和S (x0+0)=S (xn-0),有有 m0=mn nmn-1+2mn+ nm1=gn 和和 其中其中 ,11nnhhh,3110nnnnnxxfxxfg,11nnnnhhh2222112211nnnnnnmmmm121nngggg121于是有于是有 对应不同的边界条件，只要求出相应的线性方程组的解，便对应不同的边界条件，只要求出相应的线性方程组的解，便得到三次样条函数在各区间得到三次样条

35、函数在各区间xi-1,xi上的表达式上的表达式. 由于三个方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵由于三个方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵,所以都有所以都有唯一解唯一解,前两个方程组均可用追赶法求解前两个方程组均可用追赶法求解,第三个方程组可用第三个方程组可用LU分解法或分解法或Gauss消元法求解消元法求解. 设已给 在节点 的函数值，作插值多项式 其中 由于多项式的求积是容易的，令 这样得到的求积公式称为插值型插值型的求积公式，其求积系数为 定理定理 机械求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。 f x0,1,kxkn 0nnkkkpxf xlx 0njkjkjj kxxl

36、xxx bbnaaf x dxpx dx bkkaAlx dxn我们知道 , 对于任意次数 n 的多项式 , 其插值多项式就是它自身, 因此插值型的求积公式至少有n 次代数精度 f x( )nP x故求积公式可写为故求积公式可写为banknkkhxfcabdxxf00)()()()()(nkc称为柯特斯系数，上式称称为柯特斯系数，上式称Newton-CotesNewton-Cotes公式。公式。bannndxxfnfR)()()!1(11)1(称为称为NewtonNewtonCotesCotes公式的截断误差。公式的截断误差。其中其中: :当当n n=1=1时，时， 212) 1() 1()

37、1(! 0! 11) 1(1010201)1(0tdttc1010211)1(12121! 0! 11) 1(ttdtcbabfafabdxxf)(21)(21)()(该公式称为梯形公式。该公式称为梯形公式。n n=2=2可计算可计算得到得到616461)2(2)2(1)2(0ccc)b(f)ba(f)a(f)ab(dx)x(fba6126461 它称为辛浦生（它称为辛浦生（SimpsonSimpson）公式或抛物线公式。公式或抛物线公式。故有：故有：n n=4 Newton=4 NewtonCotesCotes公式为公式为)(907)(9032)(9012)(9032)(90743210 x

38、fxfxfxfxfabdxxfba）（）（其中，其中， )4 , 1 , 0(0kkhaxk这个公式特别称为柯特斯公式。这个公式特别称为柯特斯公式。柯特斯系数表( )1112212126361331388887162167490451545901925252525195288961441449628841993499416840352801052803584075135771323298929891323357775171728017280172801728017280172801728017280989588892882835028350283nknC10496454010496928588

39、8989502835028350283502835022835028350例：用牛顿-科特斯公式计算积分：10sindxxxn 阶的牛顿柯特斯公式至少有 n 次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得 “额外” 的好处，它们分别有3次和5次代数精度。因此，在几种低阶的牛顿柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。数值分析简明教程 定理定理 当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 次代数精度. n1n nkknknxfCabI0)()()( 利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项： 利用埃尔米特插值

40、的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项： 另外，我们可以得到如下柯特斯公式的积分余项：数值分析简明教程 3,12TbaRITfa b 44,1802Sba baRISfa b 662(),9454CbabaRICfa b bannndxxfnfR)()()!1(11)1(4 4 复化求积公式复化求积公式则得复化梯形公式梯形公式并在每个小区间上应用其中个小区间等分为把区间 , ),1, 1 , 0,( , , 1ninabhihaxxxnnbaiii.问题的提出和解决办法一、复化梯形公式一、复化梯形公式.)()(2)(2 )()(2d )(d )(I 11101101niinii

41、inixxbabfxfafhxfxfhxxfxxfii辛普森公式则得复化公式，在每个小区间上应用的中点为记 ,辛普森,211iiixxx二、复化辛普森公式二、复化辛普森公式).()(2)(4)(6 101121bfxfxfafhSniniiin即),( , )(2180 110)4(4iiiniinxxfhhSIR余项,4时当baCf ,)()(4)(6d )( 10121niiiibaxfxfxfhxxfI).,( ),(8802)(2801 )4(4)4(4bafhabfhabSIRn.定性具有相应的收敛性和稳3 3 龙贝格求积算法龙贝格求积算法一、梯形公式的递推化一、梯形公式的递推化( (