2021年人教版高中数学必修第二册第6章《6.3.4课时精讲》(含解析)

1、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示知识点一平面向量数乘运算的坐标表示知识点二平面向量共线的坐标表示已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为；若P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则P点的坐标为；若P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则P点的坐标为.1线段定比分点的坐标公式(1)线段定比分点的定义如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足，即，叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以为定比的定比分点(2)定比分点的坐标表示设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(xx1，yy1)(x2x，y2y)，即

2、当1时，则点P的坐标为.特别地，当1时，点P的坐标为，这就是线段P1P2的中点坐标公式；若0，则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P的坐标为.2两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例3向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，

3、求点或向量的坐标，求参数的值要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知向量a(2,4)，b(1，2)，则a2b.()(2)已知A(0,2)，B(4,4)，则线段AB的中点坐标为(2,3)()(3)已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可能是(9,1)()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab时，有成立()答案(1)(2)(3)(4)2做一做(1)下列各组向量中，共线的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)

4、(2)已知向量a(2，3)，若a2b，则b()A(4，6) B(6,4)C. D.(3)若平面内三点A(2,3)，B(3，2)，C共线，则m为()A. BC2 D2(4)已知三点A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点的坐标为_答案(1)D(2)C(3)A(4)(1，1)题型一 向量数乘运算的坐标表示例1设向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求下列各向量：(1)ab；(2)ab；(3)3a；(4)2a5b.解(1)ab(1,2)(3，5)(2，3)(2)ab(1,2)(3，5)(4,7)(3)3a3(1,2)(3,6)(4)2a5b2(1,2)5(3，5)(2

5、,4)(15，25)(13，21)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用在ABCD中，(3,7)，(2,3)，对称中心为O，则等于()A. B.C. D.答案B解析()(1,10).题型二 向量数乘运算的简单应用例2已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1 B1，2C2，1 D1,2解析因为c1a2b，所以(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，所以解得11，22.答案D利用向量的坐标运算求参

6、数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足(R)，求与y的值解(1)设B(x1，y1)，因为(4,3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4,3)，所以所以所以B(3,1)同理，可得D(4，3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2，y21.所以M.(2)由(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4

7、)，又(R)，所以(1,1y)(7，4)(7，4)所以所以 题型三 向量共线例3(1)已知向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_；(2)已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解析(1)因为a(1,2)，b(2,3)，所以ab(，2)(2,3)(2,23)因为向量ab与向量c(4，7)共线，所以7(2)4(23)0.所以2.(2)解法一：kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以

8、解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为0，所以kab与a3b反向解法二：由题意知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)(4)10(2k2)0，解得k.这时kab(a3b)所以当k时，kab与a3b平行，并且反向答案(1)2(2)见解析向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.答案1解析因为a2b(，3)与c(k，)共线，所以3k，故k1.题型四 点共线问题例4(1)若点A(1，

9、3)，B，C(x,1)共线，则x_；(2)设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解析(1)，(x1,4)因为点A，B，C共线，所以与共线所以74(x1)0，解得x9.(2)解法一：若A，B，C三点共线，则，共线，则存在实数，使得，因为(4k，7)，(10k，k12)所以(4k，7)(10k，k12)即解得k2或k11.所以当k2或11时，A，B，C三点共线解法二：由题意知，共线，因为(4k，7)，(10k，k12)，所以(4k)(k12)7(10k)0，所以k29k220，解得k2或k11.所以当k2或11时，A，B，C三点共线答案(1)9(2)见解析

10、三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)(1)求实数x的值，使向量与共线；(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解(1)(x,1)，(4，x)，x24，x2.(2)由已知得(22x，x1)，当x2时，(2,1)，(2,1)，和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x2时，(6，3)，(2,1)，此时A，B，C三点共线又，A，

11、B，C，D四点在一条直线上综上，当x2时，A，B，C，D四点在一条直线上.题型五 定比分点坐标公式例5线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且2，则点M的坐标为()A(3,8) B(1,3)C(3,1) D(3，1)解析设M(x，y)，利用线段定比分点的坐标公式，得x3，y1.答案C定比分点的两个特殊情况(1)中点坐标公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点为P(x，y)，则x，y.(2)重心坐标公式：在ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心坐标为G.已知两点P1(3,2)，P2(8,3)，点P满足，求及y的值解解法一

12、：因为，所以，3y),根据向量相等，得解得解法二：因为P1(3,2)，P2(8,3)，P，所以点P分所成的比.由定比分点的坐标公式得y. 题型六 向量共线的应用例6在AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，AD与BC交于点M，求点M的坐标解点O(0,0)，A(0,5)，B(4，3)，(0,5)，(4,3)(xC，yC).点C的坐标为.同理可得点D的坐标为.设点M的坐标为(x，y)，则(x，y5)，而.A，M，D三点共线，与共线x2(y5)0，即7x4y20.而，C，M，B三点共线，与共线x40，即7x16y20.由，得x，y2.点M的坐标为.变式探究若将本例中的“”改为“”，

13、其他条件不变，再试求M点的坐标解点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，(0,5)，(4,3)，又，C点坐标为，同理D点坐标为，设M的坐标为(x，y)，则(x，y5)，A，M，D三点共线，与共线x2(y5)0，即7x4y20，又，C，M，B三点共线，x40，即x3y50，由解得，x，y，点M的坐标为.由向量共线求交点坐标的方法如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标解与共线，故设(4，4)，则(44,4)，(24，60)(2,6)由与共线，得(44)64(2)0.解得.(4，4)(3,3)故点P的坐标是(3,3)1已知向量a(1,2)，b(，1)，若

14、(a2b)(2a2b)，则的值等于()A. B. C1 D2答案A解析a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)可得2(12)4(22)0，解得.2设点P是P1(1，2)，P2(3,5)连线上一点，且，则点P的坐标为()A(5，9) B(9,5)C(7,12) D(12，7)答案C解析，P2是P1P的中点，P(7,12)故选C.3已知A(3，6)，B(5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标不可能是()A(9,6) B(1，2)C(7，2) D(6，9)答案C解析设C(x，y)，则(x3，y6)，(8,8)A，B，C三点在同一条直线上，即xy30，将四个选项分别代入xy30验证可知，不可能的是C.4与a(12,5)平行的单位向量为_答案或解析设与a平行的单位向量为e(