微积分上重要知识点总结

1、1、2、3、4、5、6、7、89、10、11、12、13、14、15、16、17、常用无穷小量替换常用等价无穷小：当X T 耐，sinx X, arcsinx x,tanx ,v, arctan x,lnl + _v * a 芒 k1斗| - cos x 丄关于邻域：邻域的定义、表示区间表示、数轴表示、简单表示；左右邻域、空心邻域、有界集。初等函数：正割函数 sec是余弦函数cos的倒数；余割函数是正弦函数的倒数；反三角函数：定义域、值域收敛与发散、常数 A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。无穷小量与无穷大量：无穷小量的

2、定义、运算性质、定理无穷小量与极限的替换比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。极限的性质：局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质保序性。极限的四那么运算法那么。夹逼定理适当放缩、单调有界定理单调有界数列必有极限。两个重要极限及其变形等价无穷小量替换定理函数的连续性：定义增量定义法、极限定义法、左右连续函数的间断点：第一类间断点和第二类间断点，左、右极限都存在的是第一类间断点，第一类间断点有跳跃间断点和可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点是第二类间断点。连续函数的四那么运算反函数、复合函数、初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定

3、理、零值定理、介值定理。导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导那么连续。求导法那么与求导公式：函数线性组合的求导法那么、函数积和商的求导法那么、反函数的求导法那么、复合函数求导法那么、对数求导法、根本导数公式1常裁和旱本初徐诙数的导数公式(C|F-0Oin = coi x(Ut) j) =! j用丫 = see x tafl x何 = Infxln#(cfl*jr)T-fiin x(toi if -cst r(rjiCA,f -c.rcotrlln 球- 1larcUn x*(trwot t)* -,l+x-18隐函数的导数。19、高阶导数的求法及表示。20、微分的定义及几何意义

4、、可微的充要条件是可导。21、(HoNe)如掘凶數川陽足：衣闭区间u| t if *e4.r)=1 ttvjr loirrf) = htfadNIn .= 1 rtrXrf(C) = &4(xl,)|ur, Lrti-H 估 In x | = ct .(lxf/lctfi a) 一一 Th jrfrc/fjirLiia .t)I * dr 1 - a*if昇.T = 、fjE.1T4/(tan a | - wr* xtlxrffcotx)-xdvdi aiTtan x )=-= dv/(re cot_| = Jhcr j svt x (An xdxi/(cw .r) - - oc rcK xt

5、lx1+1+JV 土函数和、於一、积、商的微分法那么il(ur = duLdvd(Cu) = Cifum tuhfd(w)=鶯加 + M =22、微分形式的不变性Ar-KAt) f(xj23、微分近似公式：JgmWZJgz內根冋24、导数在经济问题中的应用(应用题) ：(1) 边际(变化率，即导数)与边际分析：总本钱函数与边际本钱、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润(2) 弹性(书78页)及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系25、中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、推论如果函数在区间/上的导数怛为零.那未 M 区间J上是一亍常数*网?HCauchj中

6、6注理fcU杲曲尅几T尺F和満：在闭区间|叭閉上连境，齐开IX间M*耐内可导,F X在“上内苟一点处均半为零，那木在W上内总少有一直引般b,使等式FOO-F卸 F26、洛必达法那么求极限89页27、函数单调性28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别，最大利润、最小平均本钱、最大收益 问题，经济批量问题。注意书100页29、曲线的凹凸性的定义及判定二阶导数、拐点。定义设/引在打护连经*如果对内任意两点知片 恒有那末称f 小在3卿的图形是凹的;如果对M上内任意两点片工怛右口曲 +斗和 fxlfx2J 1 J 2 *那末称在3内的图腸星凸的;如果/紳牲|口上内连绫，且在皿切内的图形是凹或凸朋*那

7、末称几v在0胡内的图形是凹或的;定理1如果八AT在|册上上连纠L柱3内具有二阶导数.假设在2上内1厂 g 叽那么八小存 由上上的图形呈凹的；2fx 朴*那么/-V在0上上的图形呈凸的连续曲线匕凹門的分界点称为曲线的拐点.注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求袪定理2如果/对在斗-氏一 +叭内存在二阶导数那么点心丿 U 雇拐点的必要条件=方法1:设甫轉W在斗的邻域内二阶可导，11/7 = 0,苗近毁TV变窃点氐 Jg 艸为拐為2%两近纽If M；变今总斗、/XOH是拐总芳法2:设函数fx & xo的邻域内三阶町床且/7,=0 而 厂g“,那末*., /Xxj是曲线F = /-V的拐点

8、注意：假设厂不存在，点gj%也可能 是连续肋线y = fx的拐点30、曲线的渐近线：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线如果 Hill fX一处 + 厅=0或 lim f/x -ax + A = 0 业方为常数jr那么y=axb就是=/x的一条斜渐近线斜渐近线求法：lim八列=g lim |/工一心| =乩XX那么少=ox + D就是曲线J，= /X的一条斜渐近线31、利用函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、定义域、奇偶性、根及其他变化趋势作图32、不定积分积分号、被积函数、积分变量被积表达式、积分常数、原函数、连续那么有原函数、不定积分的几何意义及性质33、根本积分表,(/v -ar

9、tan,v + C;1 1 I-A1f 1- arctinx + Cn;J vc1 a*v - tun x + Ci * EOS X 1(1) j Irf.v = JLv + 秸足常(2) 屮泄 +t Qi 址一 1)； f = lh.v + C：* X* .说圧h电 a 肌 aj 1 - 1-Y + (10)Jsecxtan .rtZt =霄cxjv +；(16tan .vrv - -lncrt .r+ 匸：(11)J chc a1 cu t xdx =CC x + C;(17)cot ,v(tr =ln$h x+C;(12)卜沁=/ + C;J,a*.(l)ln(wr.t+laii.t)

10、+ ，;(13)P dv = +C;W|CM：AV -Infcsc.v - cut .)-! f:(14)f sinh Adv =o*h .v+ C;J(15)Jtosli xtfx -*inh al + 匸；S)1 s 题J fl+XI= iirchinr + C;a揮Irx 4-(.=f ckc _vd.v fol .v 十A r = (-JC)f = -* n f = in(x) + C,X j简气为戶t dxJ MIIV(21)+C：J x* -fl Lu A + a(23| f 7iv = a resin - + (:J o-xa(24) f ；zrfv = ln(, + x(r:) + C.J Vx r34、换元积分法：第一换元法凑微分法和第二换元法变量替换法走理1适】具有原函数，別-卩