人大附中张老师几何复习思维的起点.

1、人大附中初三数学组人大附中初三数学组 几何复习几何复习n目标目标n课标及考试说明的相关要求课标及考试说明的相关要求n近几年北京市中考几何综合题近几年北京市中考几何综合题n复习建议复习建议总体目标：总体目标： 能够用转化、分类讨论、数形能够用转化、分类讨论、数形结合、函数与方程的思想去解题。结合、函数与方程的思想去解题。 具备画图能力、识图能力、观具备画图能力、识图能力、观察能力、空间想象能力、逻辑思维察能力、空间想象能力、逻辑思维能力、阅读理解能力能力、阅读理解能力. . 2012中考说明中考说明几何几何部分部分C级知识点级知识点图形的认识图形的认识：n会运用两点之间的距离解决有关问题；会运用

2、两点之间的距离解决有关问题； n会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题的知识解决有关问题；n会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题；会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题；2012中考说明中考说明几何几何部分部分C级知识点级知识点图形的认识图形的认识：n会运用平行四边形的知识解决有关问题；会运用平行四边形的知识解决有关问题；n会运用矩形、菱形和正方形的知识解决有关问会运用矩形、菱形和正方形的知识解决有关问题；题；n能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题实际问题 ；2012中考说明中

3、考说明几何几何部分部分C级知识点级知识点图形的认识图形的认识：n能综合运用直角三角形的性质解决有关问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 ；n能运用圆的性质解决有关问题能运用圆的性质解决有关问题 ；n能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 n能解决与切线有关的问题能解决与切线有关的问题2012中考说明中考说明几何几何部分部分C级知识点级知识点n图形与变换n能运用轴对称的知识解决简单问题n能运用平移的知识解决简单问题n能运用旋转的知识解决简单问题 1111年北京中考年北京中考往往届届考考题题等等积积往往届届考考题题1111年北京中考年北京中考旋旋转转

4、1111年北京中考年北京中考25题题平平移移的的发发展展1010年北京中考年北京中考2往往届届考考题题轴轴对对称称0909年北京中考年北京中考旋旋转转往往届届考考题题1Oyx2344321-1-2-1BDACF图图20808年北京中考年北京中考往往届届考考题题轴轴对对称称DCGPABEFH往往届届考考题题0808年北京中考年北京中考中中心心对对称称0707年北京中考年北京中考往往届届考考题题平平移移0707年北京中考年北京中考轴轴对对称称0606年北京中考年北京中考往往届届考考题题平平移移0606年北京中考年北京中考0606年北京中考年北京中考往往届届考考题题轴轴对对称称0505年北京中考年北

5、京中考往往届届考考题题轴轴对对称称旋旋转转考点感悟考点感悟（1 1）综合图形的基本性质和图形基综合图形的基本性质和图形基本关系本关系（2 2）图形变换为桥梁的设计结构图形变换为桥梁的设计结构（3 3）方法灵活、运动变化。）方法灵活、运动变化。n进一步加深平面几何图形中的基本性质和关系的认识。n深入认识以平移、旋转、轴对称为工具的图形变换的特征。n把握图形运动变化过程中的特殊、不变和规律性。考点感悟考点感悟两要素：两要素：“求解工具求解工具”镶嵌在解镶嵌在解题意识中题意识中“变换工具变换工具”镶嵌在解镶嵌在解题意识中题意识中快速解题快速解题“求解工具求解工具”勾股勾股相似相似面积面积三个主要工具

6、三个主要工具mn=8 2221132121nnana勾股定理222)321(211(3212121121nnnnnanaanaa相似三角形性质相似三角形性质相似三角形性质)32(3)2(2nnnnanaaxx664市朝阳区 2010-2011 一模“变换工具变换工具”例1.正方形中，E是BC上一点，AEEG交DCH的平分线于G，求证：AE=EG旋转旋转KM轴对称轴对称F平移平移ABE BKC BE=CK CE=KD=FKkFE例2.ABC中，AB=AC, 延长AB到D，CA到E，使AE=BD，DE=DA=CE=BC，求BACDB沿BC平移FEC沿ED平移到DFFGEC沿CB平移到BGDB沿DE

7、平移至EFFADE旋转到FECFEAD旋转到EFCFEAD旋转到DGFF GADC与 FDC关于DC轴对称F变换变换目的与方向目的与方向构造新的图形关系构造新的图形关系( (化归化归) )平移平移目的与方向目的与方向特殊三角形特殊三角形（等腰、直角三角形）（等腰、直角三角形）全等三角形全等三角形相似三角形相似三角形即完善图形的关系即完善图形的关系平移的信息平移的信息1.已知：AB，CD交于E，AB、CD夹锐角为45，若B+C=225，AC=3，DB=4，AB=5，求DC。345355平移什么？可得特殊三角形？平移什么？可得特殊三角形？111242423EFGG互补4545AE=5，EF=4，A

8、F=3AB=7 3.ABC中，中，C90，点，点M在在BC上，且上，且BM=AC,点点N在在AC上，且上，且AN=MC, AM与与BN相交于点相交于点P，求证：求证：BPM45 P C B A M N平移对象平移对象 （不止一个）（不止一个）平移方向与距离（对应点已经给出）平移的目的（全等、相似、特殊三角形）！平移的目的（全等、相似、特殊三角形）！ P C B A M NABC中，中，C90，点，点M在在BC上，上，且且BM=AC,点点N在在AC上，且上，且AN=MC, AM与与BN相交于点相交于点P，求，求AM:BN的比的比值值. P C B A M N巩固练习巩固练习1ABC中，中，C90

9、，点，点M在在BC上，上，且且BM=AC,点点N在在AC上，且上，且AN=MC, AM与与BN相交于点相交于点P，若，若AM+BN=求求AM、BN的值的值. P C B A M N22巩固练习巩固练习2ABC中，中，C90，点，点M在在BC上，且上，且BM=AC=12,点点N在在AC上，且上，且AN=MC, AM与与BN相交于点相交于点P，若，若CN=7,求求BN的的值值. P C B A M N巩固练习巩固练习34.平行四边形平行四边形ABCD的对角线的对角线DB的延长的延长线交线交AF于于E，若，若DECF，求证：求证：E是是AF的中点的中点平移什么？平移什么？沿着什么平移？沿着什么平移？

10、为什么？为什么？07中考平移构造全等平移构造全等10年西城二模拟平移平移-保角、保线段不变保角、保线段不变F( (西城区西城区20112011年初三一模年初三一模) ) 平移构造相似平移构造相似0606年北京中考年北京中考平移构造特殊三角形平移构造特殊三角形平移构造特殊三角形平移构造特殊三角形平移构造特殊三角形平移构造特殊三角形平移构造特殊三角形平移构造特殊三角形 提示提示想法想法过程过程n轴对称轴对称目的与方向目的与方向一般是构造一般是构造特殊三角形特殊三角形全等三角形全等三角形相似三角形相似三角形即完善图形的关系即完善图形的关系直角直角-（平角的）（平角的）角平分线角平分线-轴轴对称对称共

11、顶点互补角共顶点互补角-角平分线角平分线-轴对轴对称称二倍角二倍角-角平分线角平分线-轴对称轴对称轴对称的信息轴对称的信息1111年海淀一模年海淀一模直角轴对称直角轴对称GHGHA B C中，ADBC，求证：AB+CEAC+BE直角轴对称直角轴对称直角轴对称直角轴对称214522B2B2B+B=90B=60-32“二倍角二倍角”轴对称轴对称. . 例例1.已知已知ABC中，中， B=2C，ADBC于于D，M为为BC中点，中点，AB=10，求，求MD的长的长.“二倍角二倍角”轴对称轴对称.传统做法轴对称做法轴对称做法例例2. 已知已知ABC中，中，AC=3，BC=7，C=2B，求，求AB的长的长

12、.“二倍角二倍角”轴对称轴对称.传统做法轴对称做法轴对称做法“二倍角二倍角”轴对称轴对称.传统做法轴对称做法轴对称做法n10年“二倍角二倍角”轴对称轴对称.1010年北京中考年北京中考2往往届届考考题题n四边形ABCD，C=90，ADC=30，AD=3，BD=2AB，ABC与DBC互补，求BC的长。EBC=DBCE “二倍角二倍角”“直角直角”（平角的角（平角的角平分线）平分线） “共顶点互补角共顶点互补角”( (隐隐含角平分线含角平分线) ) 最最值值问问题题轴对称-最小值最小值已知ABC，作出 DEF周长最小。n已知ABC，作出 DEF周长最小。例如，在形如例如，在形如ABC的一块场地上有

13、的一块场地上有一条小路经过场地，因连续下雨小路有较长的一段被雨水淹没了由于需要测量者块土地的面积，可测得BAC=45, ADBC, 又测得BD=30m,CD=20m,请你帮助求这块土地的面积 由于已知中的信息，要解决的问题是明显的，通过变换使已知量和要求的量位置发生转变，利用这个关系还原正方形使问题得到解决。ABCDEFG图1 图222. 如图1，在ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEG

14、F是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.（1）请你帮小萍求出x的值.(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在ABC中，BAC30，ADBC于D，AD4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）11年东城一模 逆翻折逆翻折轴对称-折叠与逆GFEDCBA833旋转旋转目的与方向：依据目的与方向：依据旋转的性质构造旋转的性质构造特殊三角形特殊三角形全等三角形全等三角形相似三角形相似三角形即完善图形的关系即完善图形的关系明示，条件中有旋转指令语言暗示，条件中没有旋转指令语言（共端点等线段，两个中心转呀嘛转

15、）12年海淀期末 共端点等线段旋转 共端点等线段旋转共端点等线段旋转共端点等线段旋转共端点等线段旋转轴对称全等旋转-平移面积1111年北京中考年北京中考旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换 中心对称变换中心对称变换旋转变换旋转变换 中心对称变换中心对称变换两次旋转变换旋转相似旋转相似变换信息可得变换信息可得11年丰台一模拟？第第25题题第第25题题E第第25题题E第第25题题E等腰直角三角形的故事等腰直角三角形的故事相似勾股面积2223332723xx2223332723xx平移2223234xx旋转22234721xxx 旋转轴对称22232721xxx呈现圆的背景（或正方形背景

16、） 相似ABC中，ADBC，B=2C=45，BC=6，求DAB的周长。“共顶点互补角共顶点互补角”轴对轴对称称.“二倍角二倍角”轴对称轴对称.“垂直垂直平角角平分线平角角平分线”轴对称轴对称.共端点等线段共端点等线段旋转旋转.西城平移旋转轴对称 几何图形问题的解决，主要依据基本几何图形问题的解决，主要依据基本图形的性质和借助基本图形之间的关系。图形的性质和借助基本图形之间的关系。近些年中考几何综合题的显著特征，要近些年中考几何综合题的显著特征，要求学生要从求学生要从“变换变换”的视角分析图形之的视角分析图形之间的关系，从原有图形的性质和图形之间的关系，从原有图形的性质和图形之间的关系中间的关系

17、中“透视透视”出隐含的出隐含的“变换变换”特征，来识别和构造图形关系。而这种特征，来识别和构造图形关系。而这种透视图形的眼力的养成与训练，在于教透视图形的眼力的养成与训练，在于教学图形问题时，要不断强化：学图形问题时，要不断强化：带上带上“求求解工具解工具”思考，带上思考，带上“变换工具变换工具”分析分析。 几何综合问题解决的两个忠告：n带上带上“求解工求解工具具”n带上带上“变换工变换工具具”构图构图（一）图形的（一）图形的切割切割转换转换粘结粘结 例1、等腰ABC中，BAC=90，AB=AC，E是AC中点，连结BE，ADBE于G，连结DE，求证：1=2等腰直角三角形的故事等腰直角三角形的故

18、事切割之后须把原有的题设融进切割后的图形结论丰富多彩独立成题独立成题自身组合组合成题组合成题法1法2法3法4nABD中，ABD=45，BGAD，AG=2，BG=4，求DG；BD独立成题独立成题法1，作BGC是等腰直角三角形CE法2，对称BCFE为正方形CEF法3，直接用面积ab法4，Cx2xx52xx252法5CE自身组合平行四边形ABCD中，BAD=135DEAC，连结BE，EB=，DE=6，求平行四边形ABCD的周长和面积。法1AHC BHG，AGFBCF，法2，DEF是等腰直角三角形DAEDCG法3、4、5x x1x+1 x 6 666-x5-x继续自身组合AB重合BD重合同体进一步重新

19、组合 四边形ABCD中，G是CD的中点，GFAC，BEGF，D=ABC=45若BAC与ACD互余，（1） ACB与DAC的关系是 ；（2）求证：FG：BE=1：4把它沾接在其它图形上(直角三角形等腰（边）三角形特殊角的三角形特殊四边形圆)ABC中,C=90,AC=BC,E是AC上一点,D是AB上一点，DFBE,若DF:BF=1:2,求CE:AE(1:2).粘接在等腰直角三角形粘接在等腰直角三角形法1法2旋转法3法4法5ABC中,C=90,AC=BC,E是AC上一点,DFBE,若DF:BF=1:2,连结CD交BE于G,求证:EG:BG=1:3.粘接在等腰直角三角形粘接在等腰直角三角形ABC中,C

20、=90,AC=BC,tanABE=0.5求CE:AE(1:2).粘接在等腰直角三角形粘接在等腰直角三角形ABC中,C=90,AC=BC,tanABE=求tanCBEAECE粘接在等腰直角三角形粘接在等腰直角三角形ABC中,ACB=90, ABC=30, D为C平分线上一点, EFAD,EF:AE=1:2, 求CD:BC的值( )6 :9粘接在粘接在30角的直角三角形上角的直角三角形上ABC中,ACB=90, ABC=30, D为C平分线上一点, tanDAC=0.5求CD:BC的值粘接在粘接在30角的直角三角形上角的直角三角形上ABC是等边三角形,AC=4EF=4,BEAC,求BD粘接在等边三

21、角形上粘接在等边三角形上把它沾接在其它图形上(直角三角形等腰三角形特殊角的三角形特殊四边形圆)粘接在等腰直角三角形中粘接在等腰直角三角形中粘接在等腰直角粘接在等腰直角(梯形梯形)三角形中三角形中粘接在等腰直角三角形中粘接在等腰直角三角形中矩形BMND中，BA平分MBD，连结AD，BGAD，若AG：BG=1：2，求四边形AMBG与四边形ABDN面积的比.粘接在矩形中粘接在矩形中粘接在矩形中粘接在矩形中粘接在矩形中粘接在矩形中粘接在矩形中粘接在矩形中粘接在正方形中粘接在正方形中粘接在梯形中粘接在梯形中粘接在梯形中粘接在梯形中粘接在梯形中粘接在梯形中粘接在平行四边形中粘接在平行四边形中粘接在平行四边

22、形中粘接在平行四边形中平行四边形BDGE中,ABD=45,AB交EG于F,GBBE,AG:BG=1:2,求EF:BD例2,05年等边三角形的故事等边三角形的故事人大附中3月月考题如图ABC中,ACB=60,以ABC的边做等边三角形ACF、ABD、BCE，问DBG、AGE和ACF面积之间的关系，说明理由。几何法1、旋转BAC到BDE、轴对称ACF到ACH、旋转ABH到DAE法2，BDE旋转到BAC，BAE旋转到BHC，AFH ACB（ AFH旋转到 ACB）几何法3、旋转:四边形ABCF旋转到四边形DBEG;DGA DEB去掉公共部分GDE代数法1已知：AFC、BCE、BDH都是等边三角形，AB

23、=BD，求证：S +S =S +Sn可以用代数法几何法1234几何法-分类34xyEF函数关系建立后， x=? 时与相似 G是等腰三角形？x？例334xyEFGxx2x3xxx2443334xyEFG三角形中线？三角形中线？三角形中位线？三角形中位线？34xyEFG21G3H造全等若D=60,HG:DB=k,则k的取值范围?涉及相似若连结AC, D=60,BHC面积为m,求四边形AGBH的面积11年海淀一模（二）两条基本线（二）两条基本线角平分线角平分线“中点线中点线”(一一).三角形角平分线三角形角平分线三角形角平分线三角形角平分线六个等腰三角六个等腰三角形形角互补角角互补角双相似双相似定积

24、定积等线段等线段 加平行加俩垂线段（1）六个等腰三角形）六个等腰三角形三者知二推一的三者知二推一的“魔轮魔轮”10年：作BK=AB，且BKAC12年海淀期末ABCDEFGHP本题方法丰富KDKHF1 E1 H DAA1DAFEDKDADAHFDHFEDKDADAHFFEDHDK1111111111角平分线-互补-等线段角平分线角平分线-互补互补-等线段等线段 特殊三角形特殊三角形角平分线角平分线互补互补-等线段等线段（2）三者知二推一的错误）三者知二推一的错误“魔轮魔轮”在角平分线条件下，阴影四边形对角互补，阴影面积为定值两垂直双相似两垂直双相似特定条件下的角平分线性质两条角平分线两条角平分线

25、+ +平行平行-菱形菱形已知：ABC中，AB=2，AC=3，BAC=120，AD平分BAC，求AD的长。方法极其丰富的问题等腰三角两腰的形旋转重合性-互补、角平分线、等线段nABD是等边三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形,以D为顶点作60角,（1）探究BF、FE、ED三者的关系，并证明；（2）M、N在射线AB、DA上， BM、MN、ND三者的关系如何？对角-互补-等线段从互补、角平分线、等线段看G2010年第一学期期末互补 隐藏等线段隐藏比例线段的多种证明方法的多种证明方法MBMAMEMDABC是等腰直角三角形， o过直角顶点A，交AB、BC、AC于D、E、F，若DE：EF=1：4，BE=3，求EC的长。联系其它隐藏直角海淀区初三期中11年等线段？ 北京06互补 昌平昌平11 10年朝阳二模(二二)“中点线中点线”（和中点相关的线段）（和中点相关的线段）三角形的中线-全等-等积-？中位线中位线: :三角形本身特殊三角形本身特殊旋转的位置特殊旋转的位置特殊EBD与ECA的关系？中点线中点线ABCADE=90， AB= BC ， F是CE中点, F E D C B