信号与系统第三章.1-4

1、2021-6-181第三章第三章 连续系统的频谱与傅立叶变换连续系统的频谱与傅立叶变换目的要求目的要求: 1 1、了解周期信号的傅立叶级数展开法；、了解周期信号的傅立叶级数展开法； 2 2、了解周期信号频谱的特点。、了解周期信号频谱的特点。内容：内容： 1 1、周期信号的分解；、周期信号的分解； 2 2、奇、偶函数的傅立叶系数；、奇、偶函数的傅立叶系数； 3 3、周期信号的频谱；、周期信号的频谱；重点：重点：傅立叶级数的指数形式；周期矩形脉冲的频谱。傅立叶级数的指数形式；周期矩形脉冲的频谱。 第第1 13 3节节 周期信号的频谱周期信号的频谱2021-6-1823.1 引言引言第三章第三章 傅

2、里叶变换和信号的频谱傅里叶变换和信号的频谱 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；而信号可分解为一系列冲激函数之和；而 yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，为基本信号，任意输入信号可分解为一系列任意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号的正弦信号或虚指数信号之和。或虚指数信号之和。 2021-6-183从本章开始由从本章开始由时域时域转入转入变换域变换域分析，首先讨论傅里分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的

3、基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将频域分析将时间变量变换成频率变量时间变量变换成频率变量，揭示了信号，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。制和频分复用等

4、重要概念。 2021-6-184发展历史发展历史1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理在研究热传导理论时发表了论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世

5、纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 2021-6-185傅里叶生平傅里叶生平v1768年生于法国年生于法国v1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号

6、都可用正弦函数级数表示数级数表示”v1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件v拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表v1822年首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论” 一书中一书中2021-6-186傅里叶傅里叶(Jean Baptise Joseph Fourier17681830)法国数学家。法国数学家。1768年年3月月21日生于奥塞日生于奥塞尔，尔，1830年年5月月16日卒于巴黎。日卒于巴黎。1795年曾在巴年曾在巴黎综合工科学校任讲师。黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。征埃及，当过埃及学院的秘书。180

7、1年回法年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅年傅里叶被选为科学院院士，并于里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科年成为科学院的终身秘书。学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学年又当选为法兰西学院院士。院院士。 在十八世纪中期在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年年,D.伯努利曾声称一根弦伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续但他没有继续从数学

8、上深入探求下去从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。2021-6-187 在在1759年拉格朗日年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，究，1807年他在向

9、法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经这篇论文经 J.-L.拉格朗日拉格朗日, P.-S.拉普拉斯拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接

10、受并从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表发表,在经过了几次其他的尝试以后在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在方式出现在热的分析理论热的分析理论这本书中。这本书出版于这本书中。这本书出版于1822年年,也即也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成思想和数学成 就。就。2021-6-188 书中处理了各种边界条件下的热传导问

11、题，以系统地运用三角书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意任意”函数（实际上要满足函数（实际上要满足 一定的条件一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三例如分段单调）都可以展开成三角级数角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。遍性，但是没有给出明确

12、的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法解方法-傅里叶级数法傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展；别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广了函数概其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为并且认

13、为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。2021-6-189傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献v“周期信号都可表示为谐波关系的正周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和弦信号的加权和”傅里叶的第傅里叶的第一个主要论点一个主要论点v“非周期信号都可用正弦信号的加非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示权积分表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点2021-6-1810主要内容主要内容本章从傅里叶级

14、数正交函数展开问题开始讨论，引出本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。傅里叶变换的一种特殊表达形式。2021-6-18113.2 信号分解为正交函数信号分解为正交函数

15、(一般了解，自学一般了解，自学)2021-6-1812T 2 3.3 傅里叶级数傅里叶级数设周期信号为设周期信号为 f(t),其重复周期为其重复周期为T,角频率角频率2021-6-1813T 2 、周期信号的分解、周期信号的分解1. 三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数:设周期信号为设周期信号为 f(t),其重复周期为其重复周期为T,角频率角频率 tnbtbtbtnatataatfnnsin2sinsincos2coscos2)(21210 10sincos2)(nnntnbtnaatfdttfTaTtt 00)(120直流分量：直流分量：tdtntfTaTttn 00cos)(2余弦分量

16、的幅度：余弦分量的幅度：dtntfTbTttn 00sin)(2正弦分量的幅度：正弦分量的幅度：an 是是n 的偶函数的偶函数bn 是是n的奇函数的奇函数2021-6-1814 10sincos2)(nnntnbtnaatf )cos(sinsincoscossincossincos222222nnnnnnnnnnnnnnntnAtntnAtnbabtnbaabatnbtna 0022sincosAaAbAaabarctgbaAnnnnnnnnnnnn 其中，各个量之间关系如下其中，各个量之间关系如下nanbnAn nnnnAAaa ,nnnnbb ,An 、 an 是是n 的偶函数的偶函数n

17、 bn、 是是 n的奇函数的奇函数4.2 傅里叶级数傅里叶级数2021-6-1815 10cos2)(nnntnAatf 结论：结论： 任意周期信号只要满足任意周期信号只要满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件就可以分就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量之和。这些正弦、余弦解成直流分量及许多正弦、余弦分量之和。这些正弦、余弦分量的频率必定是基频分量的频率必定是基频 f 的整数倍。通常的整数倍。通常把频率为把频率为f, 2f, 3f,等的分量分别称为基波，二次谐波，三次谐波等的分量分别称为基波，二次谐波，三次谐波。 21 Tf 傅里叶级数所取的项数傅里叶级数所取的项数 n(=N)

18、愈多，相加后波形愈逼近愈多，相加后波形愈逼近原信号原信号f(t),方均误差愈小。方均误差愈小。4.2 傅里叶级数傅里叶级数2021-6-1816狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝对可积。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。例例2 2例例1 1例例3 32021-6-1817例1不满足条件不满足条件1 1的例子如下图所示，这个信号的

19、周期为的例子如下图所示，这个信号的周期为8 8，它，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8 8，但不连续，但不连续点的数目是无穷多个。点的数目是无穷多个。 tfO18 t8212021-6-1818例2不满足条件不满足条件2 2的一个函数是的一个函数是 10,2sin tttf tfO11 t1对此函数，其周期为对此函数，其周期为1 1，有，有 1d10 ttf2021-6-1819例3周期信号周期信号 ，周期为，周期为1 1，不满足此条件。，不满足此条

20、件。 10,1 tttf tfO121 2 t12021-6-1820 10sincos2)(nnntnbtnaatf取傅里叶级数的前取傅里叶级数的前2N+1项求和为项求和为 NnnnNtnbtnaatS10sincos2)(误差函数：误差函数：)()()(tStftNN 方均误差：方均误差： 22122222)(1TTNjjjNTbadttfT 傅里叶级数：傅里叶级数：2. 傅里叶有限项级数与最小方均误差傅里叶有限项级数与最小方均误差、周期信号的分解、周期信号的分解P58 2021-6-1821例例3.1 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数dttntfTaTTn)cos()(2

21、22 dttnTdttnTTT)cos()1(2)cos()1(22002 2002)sin(12)sin(12TTtnnTtnnT T 2 0 na2021-6-1822例例3.1 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数T 2 0 nadttntfTbTTn 22)sin()(2dttnTdttnTTT 2002)sin()1(2)sin()1(2 )cos(12 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 2, 0nnn 2021-6-1823傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波

22、信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数T 2 0 na )cos(12 nnbn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 2, 0nnn , 5 , 3 , 1 n2021-6-1824 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数, 5 , 3 , 1 n只取基波分量一项时只取基波分量一项时)sin(41tS 方均误差：方均误差：189. 0421121122121 b 2221)(1TTdttfT 22122222)(1TTNjjjNTbadttfT 2021-6-1825 tnnttt

23、tf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数只取基波和三次谐波二项时只取基波和三次谐波二项时 )3sin(31)sin(42ttS 方均误差：方均误差： 0994. 034421121122232122 bb2021-6-1826 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数只取基波和三次和五次谐波三项时只取基波和三次和五次谐波三项时 )5sin(51)3sin(31)sin(43tttS 方均误差：方均误差：0669.

24、 05434421121122225232124bbb2021-6-1827 tnnttttf)sin(1)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 例例3-1 方波信号展开为付里叶级数方波信号展开为付里叶级数只取基波、三次、五次、七次谐波三项时只取基波、三次、五次、七次谐波三项时方均误差：方均误差： 0504. 0745434421121122222725232124 bbbb tttttf)7sin(71)5sin(51)3sin(31)sin(4)( 2021-6-1828吉伯斯现象：吉伯斯现象： 傅里叶级数所取的项数愈多，相加后波形愈逼近原信号傅里叶级数所取的项数愈多，相加后波形

25、愈逼近原信号f(t)。但但在间断点附近，随所取的项数的增多，合成波形的突峰愈靠近间断在间断点附近，随所取的项数的增多，合成波形的突峰愈靠近间断点，而该峰起值则趋于一个常数，他大约等于跳变值的点，而该峰起值则趋于一个常数，他大约等于跳变值的9%，并从，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。 2021-6-18291. 1. 傅里叶级数所取的项数傅里叶级数所取的项数 n(=N)n(=N)愈多，愈多，相加后波形愈逼近原信号相加后波形愈逼近原信号f(t)f(t)，方均误差，方均误差愈小。当愈小。当N N接近接近时，时，S SN N=f(t)=f(t)；

26、2. 2. 当信号为脉冲信号时，其当信号为脉冲信号时，其高频分量主高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部响脉冲的顶部。所以。所以f(t) f(t) 波形变化愈剧波形变化愈剧烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富。慢，所包含的低频分量愈丰富。 结论：结论：2021-6-1830根据欧拉公式：根据欧拉公式： tjntjntjntjneejtneetn21sin21cos二、指数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数2021-6-1831 11010102121222cos2)(nt

27、njnntnjnntnjtnjnnnnnnnneAeAaeeAatnAatf ntnjnntnjjnntnjnntnjnntnjneAeeAeAeAeAannnn21212121212110 11021212ntnjnntnjnnneAeAa 2021-6-1832njnneAA ntjnneAtf21)(其中其中, 2 , 1 , 0)(222 ndtetfTeAAtjnjnnTTn 令令 nnjnnjnneFFeAA 2121 ntjnneFtf)(则则 nnnjnnjbaAeFFn 2121 , 2, 1, 0)(122 ndtetfTFTTtjnn复傅里叶系数复傅里叶系数二、指数形式的

28、傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数2021-6-1833三、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系三、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系 1、 偶函数偶函数 )()(tftf 关于纵轴对称关于纵轴对称t 202TT Ef(t)（a）偶函数）偶函数)()(tftf 0cos)(420 nTnbtdtntfTa2021-6-1834(a)(b)2021-6-1835二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系 2、 奇函数奇函数 )()(tftf 关于坐标原点对称关于坐标原点对称E/2-2T -T -T/2 0 T/2 T 2T )(tft)(tf-E/2 20

29、sin)(40TnntdtntfTba图图4.2-7 4.2-7 奇谐函数奇谐函数2021-6-1836(a)(b)2、 奇函数奇函数 )()(tftf 关于坐标原点对称关于坐标原点对称2021-6-1837任意函数都可分解为奇函数与偶函数之和。任意函数都可分解为奇函数与偶函数之和。)()()()()()()()(tftftftftftftftfevodevodevod 2)()()(2)()()(tftftftftftfevod )(tft)(tft fev(t)t f(-t)t fod(t)2021-6-1838(a) (a) 全波整流信号全波整流信号(b) (b) 半波整流信号半波整流信

30、号2021-6-18392021-6-1840二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系 3、 偶谐函数偶谐函数 20sin)(4TntdtntfTb)2()(Ttftf 半半周期重叠周期重叠只有偶次只有偶次谐波谐波, 4 , 2 , 0 n 20cos)(4TntdtntfTa-T -T/2 0 T/2 T)(tft)(tf2021-6-1841-T -T/2 0 T/2 T )(tft)(tf4、 奇谐函数奇谐函数 )2()(Ttftf 半半周期镜像对称周期镜像对称 20sin)(4TntdtntfTb只有奇次只有奇次谐波谐波, 5 , 3 , 1 n

31、 20cos)(4TntdtntfTa二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系二、周期信号波形对称性与傅里叶系数的关系 2021-6-18421-12T 2TTt)(tfO(b)(b)2021-6-1843 10cos2)(nnntnAAtf , 2 , 1 , 0)(222 ndtetfTeAAtjnjnnTTn ntjnneFtf)( nnnjnnjbaAeFFn 2121 , 2, 1, 0)(122 ndtetfTFTTtjnn复傅里叶系数复傅里叶系数 10sincos2)(nnntnbtnaatf小结小结2021-6-1844频谱：频谱：幅度频谱幅度频谱谐波振幅大小随频率变化的关系谐

32、波振幅大小随频率变化的关系。相位频谱相位频谱谐波相位大小随频率变化的关系谐波相位大小随频率变化的关系。 3.4 周期信号的频谱周期信号的频谱 10cos2)(nnntnAAtf ntjnneFtf)(2021-6-1845一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信，所画出的图形称为信号的号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和

33、n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频相位频谱图谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 。图示图示3.4 3.4 周期信号的频谱周期信号的频谱2021-6-1846、周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点njnneAA nA n 根据根据 ，可以画出，可以画出谐波幅度谱谐波幅度谱与与相位谱相位谱 。 nnjnneFF nF，可以画出，可以画出复傅里叶系

34、数幅度谱复傅里叶系数幅度谱根据根据与与相位谱相位谱 。周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：(1)(1) 离散性离散性(2)(2) 谐波性谐波性(3)(3) 收敛性收敛性 2021-6-1847 0 520A0A 10nA1A2An 0 5 10 2 (a)单边幅度谱单边幅度谱(b)单边相位谱单边相位谱周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：(1)(1) 离散性离散性(2)(2) 谐波性谐波性(3)(3) 收敛性收敛性 2021-6-1848 0 520A 101F2FnF 5 10n 0 5 10 5 10 2 2 (c)双边幅度谱双边幅度谱(d)双边相位谱双边相位谱对于双边频谱，负频率，

35、只有数对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。为什么学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对数，必须有共轭对ejnt和和e-jnt，才能保证，才能保证f(t)的实函数的的实函数的性质不变。性质不变。2021-6-1849t-T 0 Tf(t)12 2 二、周期矩形脉冲的频谱二、周期矩形脉冲的频谱 复傅里叶系数复傅里叶系数, 2, 1, 0222sin2sin1111)(1222222 nnSaTnnTnnTtjneTdteTdtetfTFtjntjnTTtjnn 2021-6-1850, 2, 1, 02 nnSaTFn , 2, 1, 02 nnSaTFn 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： 02sin,02sin, 0 nnn当当当当2021-6-1851周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱(T=4 )包络线的特点：包络线的特点： 2 Sa（1） 包络线为包络线为抽样函数抽样