高考数学文一轮复习精品课件：第4章 第3讲 导数在生活中的优化问题举例

1、第 3 讲 导数在生活中的优化问题举例考纲要求考情风向标1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，考查时多与函数的单调性、极值结合，主要考查学生做综合题的能力.预计 2015 年高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题.备考时要特

2、别注意三次函数、指数函数与对数函数(以 e 为底)的综合题.1.求参数的取值范围与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大多给出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题，解题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不等关系.2.用导数方法证不等式用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论.3.平面图形面积的最值问题此类问题的求解关键在于根据几何知识建立函数关系，然后运用导数方法求最值.上述三类问题，在近几年的高考中都是综合题，难度较大，体现了在知识交汇点处命题的思路，注重考查综合解题能力和创新意识，复习时要

3、引起重视.4.利用导数解决生活中的优化问题优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.用导数解决优化问题，即求实际问题中的最大(小)值的主要步骤如下：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)，即将优化问题归结为函数最值问题；求导数 f(x)，解方程 f(x)0；比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的函数值大小，最大者为最大值，最小者为最小值；检验作答，即获得优化问题的答案.ay3x1则物体在 t3 s 的瞬时速度为(a.30b.40)c.45d.502.函数 f(x)12xx3 在区间3,3上的最小值是_.3.曲线 yxex

4、2x1 在点(0,1)处的切线方程为_.4.某工厂要围建一个面积为 128 m2 的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为_.16 m、8 m16考点 1 求参数的取值范围问题ar.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)的极值大于 0？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由.此时，当 x(0，)时，f(x)0，函数 f(x)的单调递增区间为(0，)，若a0，则x10，此时，当x(0，x2)时，f(x)0；当x(x2，)时，f(x)0，(2)由(1)得当 a0 时，函数 f(x)在(0，

5、)上单调递增，故函数 f(x)无极值；【方法与技巧】也可以采用下面的方法求出实数 a 的取值范围.【互动探究】1.(2013 年天津南开区二模)已知函数 f(x)x3tx23x，若对于任意的 a1,2，ba1，函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，则实数 t 的取值范围是(a.(，3c.3，)b.(，5d.5，)因为对于任意的 a1,2，f(x)在(a，b)上单调递减，所以(*)式恒成立，答案：d考点 2 利用导数证明不等式问题【互动探究】2.(2013 年天津)已知函数 f(x)x2lnx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的 t0，存在唯一的 s，使 tf(s)；(3

6、)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 sg(t)，证明：当 txf(x)0f(x)单调递减极小值单调递增(1)解：由题意可知函数的定义域为(0，)，(2)证明：当 00，令 h(x)f(x)t，x1，)，由(1)可知，h(x)在区间(1，)上单调递增，h(1)t0，故存在唯一的 s(1，)，使得 tf(s)成立.(3)证明：因为 sg(t)，由(2)知，tf(s)，且 s1，考点 3 利用导数解决实际优化问题例 3：(2012 年广东肇庆一模)某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为 5 元/本，经销过程中每本书需付给代理商 m 元(1m3)的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场

7、后定价为 x 元/本(9x11)，预计一年的销售量为(20 x)2 万本.(1)求该出版社一年的利润 l(单位：万元)与每本书的定价 x之间的函数关系式；(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润 l 最大，并求出 l 的最大值 r(m).解：(1)该出版社一年的利润 l(万元)与每本书定价 x 的函数关系式为：l(x5m)(20 x)2，x9,11.(2)l(x)(20 x)22(x5m)(20 x)(20 x)(302m3x).【互动探究】3.做一个圆柱形锅炉，容积为 v，两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的材料每单位面积的价格为 b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()解析：如图 d8，设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则vr2h.图 d8答案：c思想与方法 利用数形结合思想讨论函数的图象