分析选讲大纲

1、数学分析方法选讲教 学 大 纲数学与应用数学专业 （师范类 ）专业用一、说明部分（一）本课程的性质、教学目的和教学任务 1.本课程的性质、教学目的本课程是数学专业的专业选修课，是在学习了数学分析这门 基础课后开设的。 本课程是对学生已学过的数学分析知识进一步 系统化 ,并作适当的拓宽与补充 ,对于常用的数学分析解题方法与 技巧加以总结和探讨 ,旨在使选修的学生 ,特别是准备报考研究生 的学生得到提高 . 本课程的教学目的和要求是通过这门课的学 习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法， 而且能使他们 对于数学分析的基础理论有一个深刻系统地了解， 为学生将来进 入更高级阶段的学习和科研， 打下

2、良好的基础。同时， 还培养学 生独立思维能力和解决实际问题能力。2.本课程的教学任务（1）掌握数列、函数极限的定义、性质、存在条件以及相 关的基本知识与基本理论； 孰知计算极限常用的各种方法， 熟练 应用各种方法计算不同形式的极限。 深刻理解一元函数连续性及 一致连续性的定义、性质以及相关论论，会依定义讨论连续性、致连续性及相关的命题，无穷大（小）量的相关知识（2）熟练掌握一元函数导数和微分的定义，性质，计算方 法，几何应用，以及微分学基本定理。熟练掌握二元以及多元函 数偏导数及全微分的定义、性质，计算；掌握偏导数存在性、可 微性，以及偏导数连续性之间的关系。（3）掌握一元函数定积分的定义、性

3、质、几何意义；可积 的充分与充要条件； 掌握积分的计算方法， 能够应用定积分计算 一些实际问题。掌握反常积分的定义、性质、收敛的判别方法， 熟练判断反常积分的敛散性。（4）熟练掌握数项级数的定义、性质、收敛的充要条件以 及充分条件， 尤其是正项级数收敛的判别； 掌握函数项级数点收 敛、一致收敛的定义、性质以及判别方法， 尤其注意他们之间的 关系以及一致收敛的函数项级数的性质；掌握幂级数的相关理 论。（5）理解并掌握二重积分的定义；几何意义，掌握二元函 数可积的充要条件以及几类可积函数； 应用重积分计算平面图形 的面积，空间立体的体积。 理解并掌握曲线积分、 曲面积分的定 义、基本性质掌握计算方

4、法。6）能够对部分院校的大学生数学竞赛试题有一定的了解。（二）本课程的教学原则和方法1.教学原则：理论课与习题课并重的原则 ;基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则。2.教学方法：以教师讲解为主的课堂教学方式（三）本课程的教学内容和学时分配 本课程为一学期课程， 每周 2 学时， 总学时为 32 学时。第一讲数列极限4 学时第二讲 函数极限、连续 4 学时第三讲一元函数微分学4 学时第四讲二元函数微分学4 学时第五讲 不定积分、定积分、反常积分、含参变量积分4 学时第六讲 级数 4 学时4 学时第八讲 曲线、曲面积分4 学时第七讲 重积分（四）本课程大纲编写的执笔人执笔人 葛丽萍 黑河学院数

5、学系函数论教研室审定二、正文部分第一讲 数列极限 4 学时（一）教学目的和要求掌握数列极限的定义、 性质、 存在条件以及相关的基本知识 与基本理论； 孰知计算数列极限常用的各种方法， 熟练应用各种 方法计算不同形式的极限。 能够对部分院校的大学生数学竞赛试 题有一定的了解。（二）教学重点数列极限的各种计算方法数（三）教学难点列极限各种计算方法的应用第二讲 函数极限、连续4 学时一）教学目的和要求掌握函数极限的定义、 性质、 存在条件以及相关的基本知识 与基本理论； 孰知计算函数极限常用的各种方法， 熟练应用各种 方法计算不同形式的极限。 能够对部分院校的大学生数学竞赛试 题有一定的了解。（二）

6、教学重点函数极限的各种计算方法函数（三）教学难点 极限各种计算方法的应用 第三讲 一元函数微分学 4 学时（一）教学目的和要求深刻理解一元函数连续性及一致连续性的定义、 性质以及相 关论论，会依定义讨论连续性、一致连续性及相关的命题， 无穷 大（小）量的相关知识，熟练掌握一元函数导数和微分的定义， 性质，计算方法，几何应用，以及微分学基本定理。能够对部分 院校的大学生数学竞赛试题有一定的了解。（二）教学重点 一元函数连续、一致连续的定义、性质及其应用；一元函数的导数、微分以及微分学基本定理的应用；（三）教学难点一致连续的判断与应用第四讲 二元函数微分学 4 学时（一）教学目的和要求 熟练掌握二

7、元函数偏导数及全微分的基本定义、 性质， 掌握 求简单函数偏导数的基本技巧；掌握二元函数的偏导数存在性、 可微性， 以及偏导数连续性之间的关系； 掌握二阶混合偏导数与 求导顺序无关的条件等相关基本知识。 能够对部分院校的大学生 数学竞赛试题有一定的了解。（二）教学重点 二元函数的偏导数、全微分概念、计算以及存在性、可微性（三）教学难点 二元函数的可微性与连续性判断及综合应用 第五讲 不定积分、定积分、反常积分、含参变量积分4 学时一）教学目的和要求熟练计算不定积分，掌握一元函数定积分的定义、性质、几 何意义；可积的充分与充要条件， 几类常见的可积函数；掌握积 分的计算方法， 熟练能够应用定积分

8、计算平面图形的面积， 空间 物体体积，旋转体表面积， 曲线弧长等问题。 掌握反常积分的定 义、性质、收敛的判别方法，熟练判断反常积分的敛散性。能够 对部分院校的大学生数学竞赛试题有一定的了解。（二）教学重点不定积分的计算、 定积分、反常积分的基本知识理论（三）教学难点可积的充分与充要条件， 反常积分敛散性的判断第六讲 级数 4 学时（一）教学目的和要求熟练掌握数项级数的定义、 性质、 收敛的充要条件以及充分 条件，尤其是正项级数收敛的判别； 掌握函数项级数点收敛、 一 致收敛的定义、 性质以及判别方法， 尤其注意他们之间的关系以 及一致收敛的函数项级数的性质； 掌握幂级数的相关理论。 能够 对

9、部分院校的大学生数学竞赛试题有一定的了解。4 学时4 学时二）教学重点各种级数的定义、性质、收敛的判别方法（三）教学难点各种级数收敛的判别第七讲 重积分 （一）教学目的和要求理解并掌握二重积分的定义； 几何意义， 掌握二元函数可积 的充要条件以及几类可积函数； 注意与一元函数进行比较， 记忆 熟练掌握重积分的计算方法从而培养学生的计算能力以及几何 作图能力。应用重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积。 能够对部分院校的大学生数学竞赛试题有一定的了解。（二）教学重点重积分的定义、 性质、几何意义而、 计算方法（三）教学难点 重积分的计算与应用 第八讲 曲线、曲面积分一）教学目的和要求理解并掌握曲线积分的定义； 掌握积分的基本性质； 熟练对曲线积分进行计算； 掌握第一型曲线积分与第二型曲线积分之间 的联系；掌握曲面积分、的定义；掌握积分的基本性质；熟练对 曲面积分进行计算； 掌握曲线积分、 曲面积分与重积分之间的联 系以及第二型曲线积分与第二型曲面积分之间的关系。 能够对部 分院校的大学生数学竞赛试题有一定的了解。（二）教学重