2.3函数的奇偶性

1、2.3函数的奇偶性基础知识自主学习要点梳理1. 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个X,都 有f(-x)=f(x)那么函 数f(x)是偶函数关于幽对称奇函数如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个X,都有 f(-x)=-f(x)那么函数 f(x)是奇函数关于愿点对称思考奇偶函数的定义域有何特点?提确于定义中对任意一个X都有f (x)二f(X)或 f(-x)=-f(x) #说明定义域中任意一个X都有一个关于原点对称的汰在定义域中点卩说明奇偶函数 的定义域关于原点对称.2. 奇偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相J虱 偶函数在关于原点对称的区间

2、上的单调性相反(填 相同”、相反”)(2)在公共定义域内 两个奇函数的和是奄函塹，两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是僵函数; 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.基础自测1.对任意实数X,下列函数中是奇函数的是y=2x-3;y=-3x2；y=ln 5%；y=-|x|cos x.解析 非奇非偶，为偶函数,为奇函数，y二f (-X)二一xln 5二f (x)2.已知知=G+D 是奇函数，则实数a的值等 才+1于_1_解析函数f(x)的定义域为R,A f (0) =0, ： 2a-2=0,即 a二1.3. 设函数f (x) = (x+l) (x+a)为偶函数则a=l_ 解析 Vf (x

3、) = (x+1) (x+a) =x2+ (a+1) x+a, 又f (-x) =f (x), Aa+l=0, Aa=-1.4. 已知函数 /(x)=lg，若f(a)=b，则f(-a)二b 1+x解析 方法一 要使函数/(劝=1仝有意义，1+X需0,得lxl1 + X函数的定义域为X |-1x1,关于原点对称函数f(x)为奇函数,由 f(a)=b,得 f(-a)=-f(a)=-b.方法二 由 f(a)=b,Wlg1+a典型例题深度剖析【例1】判断下列函数的奇偶性,并说明理由.(l)f(x)=x2-|x|+l,xG -1,4;分初断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称若关于原点对称,

4、再严格按照奇偶性的定义进行推理判断.解 由于f (x) =x2-1X | +1, x丘-1,4的定义域不 是关于原点对称的区间，因此,f(X)是非奇非偶函数.V已知f(x)的定义域为(-1,1),其定义域关于原点对称.即f (-x) =f (x), A f (x)是偶函数.7(3) Vf (x)的定义域为x|xR,且xH0, 其定义域关于原点对称,并且有即 f (-X)二-f (x), f(X)为奇函数.跟踪练习1判断下列各函数的奇偶性:2 + x2 - x ；门小H);八I宀21-2x - 2(x 10 (I X 1 1).解由点不对称，故f(x)为非奇非偶函数占 30,得定义域为-2, 2

5、),关于原由J1-2 a得定义域为(-1, o)u(o, i).x2-2-2a这时心f(x)为偶函数(3)xl,/. f (-x)二- (-x) +2=x+2 二 f (x).xl时，f (x) =-x+2,f (-x) =-x+2二f (x).TWxWl时，f (x)=0, TW-xWl, f (-x) =0=f (x). 对定义域内的每个x都有f (-x)二f (x). 因此f(x)是偶函数.【例2】已知函数f(x),当x,ygRB,f(x+y) (x) +f(y).求证:f(x)是奇函数；如果X G R+, f (x) 0,并且f (1)二L ,试求f (x)在2区间-2,6上的最值.分

6、析 根据函数的奇偶性的定义进行证明，只 需证 f(x)+f(x)=O;根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇 偶性的应用.证明函数定义域为R,其定义域关于原点对称. I f (x+y) =f (x) +f (y),令y二-x,/. f (0) =f (x) +f (-x).令 x=y=0, f (0)二f (0)+f (0),得f (0) =0. f (x) +f (-x) =0,得f (-x) =-f (x),f(x)为奇函数.(2)解方法一设x,ywR+, f (x+y)二 f (x) +f (y), f (x+y) -f (x) =f (y).xwR+, f(y)0,.f (x+y)

7、-f (x)0,f (x+y) x,f(x)在(0, +8)上是减函数. 又f (x)为奇函数，f (0) =0, Af (X)在(-8,+8)上是减函数.Af (-2)为最大值,f(6)为最小值.vf(1)=_F心)75二i,f(6)=2f(3)=2f (1) +f (2) =-3所求f(x)在区间-2, 6上的最大值为1,最小值方法二 设x。”且X, x2 e R. WJf(x2-x1)=f x2+(-x1) =f(x2) +f(-Xj) 二f(X2)-f(xj./ x2-x10, f (XqxJ 0. /. f (x2) -f(X) Q1 wvBPf(x1)f(x2)函数f(x)在R上为

8、减函数.(3)解方法一由(知由上式易知f(X)在(-8, +QO)上为减函数.又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t) +f(2t2-k) 0 等价于 f (t2-2t) -2t2+k.即对一切 t e R有 3t2-2t-k0.从而判别式4 =4+12k0.上式对一切tGR均成立,从而判别式4 =4+12k0, k0时, f (x)l.求证:f(x)-l为奇函数；求证:f(x)是R上的增函数；(3)若f (4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明 定义在R上的函数f(x)对任意的xpx2gR,都有f(X+X2)=f (xj+f 区)-1 成立，令X=X2=0,则f (0

9、+0)二f (0)+f (0) -1 得f (0)=1,令X二x, x2=-x,贝!f (x-x) =f (x) +f (-x)-1,：f(x)l + f(x)T =0,f(x)T为奇函数证明 由知,f(x)-l为奇函数任取 xpx2eR,且 X0. Vf (x1+x2)二f(X1)+f (x2)-1, f(X?-xj =f (x2) +f (-xj-1(x2)- f(X)-l二f(X2)-f(X)+l.当 x0 时,f(x)l. f(X2-xj =f (x2) -f(X) +11, f(Xi)f(X2), f(x)是R上的增函数解 Vf(X1+X2)=f(X1)+f (x2) T且f =5,

10、 f =f (2+2) =f (2) +f (2) -1=5,f =3.A不等式即为f (3m2-m-2) f.Tf(x)是R上的增函数于是有 3m2-m-22,解3不等式f (3m2-m-2)3的解集为(-1-).【例4】(14分)已知函数f(x)的定义域为R,且满 足 f (x 二一f (x) (1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当0WxWl时，f(x)*, 求使f(x)二丄在0, 2 009上的所有x的入数.分析(1)貝需证明f(x+T)=f(x),即f(x)是以T为周期的周期函数;(2)由第(1)问可知只需求一个周 期中f(x)=-如X的个数便可知在02 009

11、的x 的个数.(1)证明 V f (x+2) =-f (x),A f (x+4) =f (x+2) =一 f (x) =f (x),f(x)是以4为周期的周期函数4分(2)解当0WxWl时，f(x)丄2 设TWxWO,贝0OWxWl,故f(x)二-X (TWxWl).8分f(x)是奇函数,Af (-X)=-f (x),又设lx3,则-1X-21, Af(x-2)=- (x-2).又 f (x-2) =-f (2-x) =f (-x) +2) =-f (-X) =-f (x), -f (x) =- (x-2),1f10 分f (x) (x-2)(lx3)2丄乂(1-V1)-(x2)(lx3)I

12、2由f(x) = 解得x=l12 分Vf (x)是以4为周期的周期函数,故f(x) = -：的所有x=4n-l (nez).L令0W4n1W2 009,则丄4_ _214 分XVneZ, lWnW502 (nez),在0, 2 009上共有502个x使f (x)h p跟踪练习4己知函数讯幻=山丄（a、b、cez）是 bx + c奇函数，且f=2,f3,求a、b、c的值.解 Vf (x)为奇函数， f (-X)=-f (x) nn ax + 1+ 1即=，-bx + c bx + c.(ax 2 + l)(h + c - bx + c)(-bx + c)(bx + c)2c(ax 2 + 1)(

13、-bx + c)(bx + c)Vax2+10, Ac=O.Tf (1)=2, =2.a+l=2b又f(2)3,滋+1 a2b v 把2b二a+l代入得业 0,由f (x)为奇函数知f (x) =-f (x)二- (-x) 2-2 (-X) =-x2-2x.即 f (x) =x (| x | -2).3. (2010 浙江宁波检测)已知函数f(x)=g(x)+2,xw-3, 3,且g(x)满足g(-x)二-g(x),若f (x)的最大值、最小值分别为M、N,则M+N琨解析 因为g(x)是奇函数故f(x)关于(0,2)对称, 所以M+N=4.4(2010 -泰州模拟)f(x). g(x)都是定义

14、在R上的 奇函数，且F (x) =3f (x) +5g (x) +2,若F (a)=b,则 F (-a)二b+4解析 令G (x)二F (x) -2=3f (x) +5g (x), 故G(x)是奇函数，解得 F (-a)二一 b+45. （2010 无锡模拟）已知函数y=f （x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（填序号）y=f(|x|)；y二f(-x)；y=x f(x)；y=f(x) +x. 解析 Vf (x)的定义域为R,Af(|-x|)=f(|x|), /.y=f(|x|)是偶函数; 令 F(x)二 f(x),则 F (-x) =f (x)二-f (-x)二-F (x),A

15、 F (x)是奇函数.是奇函数;令 M (x)二x f (x),则 M (-x) = x f (-x) =x f (x) =M (x),/. M (x)是偶函数；令 N(x) =f (x) +x,则 N (-x)二 f (-x) -x=-f (x) -x=-f(x)+x =-N (x),N (x)是奇函数,故、是奇函数.答案6.（2。9重庆）若他）二扎+。是奇函数,则3匚 解析 Vf （-X）二-f（X）, (-1)2X-a = -f(l)f(2)解析 If(x)是偶函数其图象关于y轴对称， 又Ty二f (x-2)的图象是由y二f(x)向右平移2个单位得到的，而y=f(x-2)在0,2上单调递

16、增,；f(x)在-2, 0上单调递增，在0,2上单调递减,l)=f 且 f(0)f (l)f ,其大小关系为f(0)f(-l)f.二、解答题10. (2009 江苏金陵中学三模)已知f(x)是实数集R 上的函数，且对任意xER, f(x)=f(x+l)+f(x-l)恒成立.(1) 求证:f(x)是周期函数；(2) 已知f =2,求f(2 004).(1) 证明 Vf (x)二 f (x+1) +f (x-1)/. f (x+l)=f (x) -f (x-1),贝！Jf (x+2) =f (x+1) +1 =f (x+1) f (x)=f (x) -f (x-1) -f (x) =-f (x-1

17、). f (x+3) =f (x+l)+2 =-f (x+l)-l=-f (x).:.f (x+6) =f (x+3) +3 =-f (x+3) =f (x).f(x)是周期函数且6是它的一个周期.(2) 解 f(2 004) =f (334 X 6) =f (0) =-f (3) =-2.11. (2009 广东东莞模拟)已知函数f (x)p2 + 1 (XH0,常数aWR).(1)当 a=2 时，解不等式 f(x)-f(x-l) 2x-l;讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解 (la = 2W,/(x) = x2 + -,X2/(x-l) = (x-l)2 +，X-1丄少292由x +(x 1) 2兀 _ 1，XX 12 2得 0,即兀(兀 一 1) 0，.0 x 1,x x 1原不等式的解集为x|0x0