2.1极限运算法则ppt课件

1、2.4 极限运算法则极限运算法则一、 极限运算法则二、 求极限方法举例三、 复合函数求极限 四、 综合例题 五、 小结 一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理 设设那那么么lim( ),lim ( ),f xAg xB (1)lim ( )( ).f xg xAB(3)lim ( )( ).f xg xA B ( )(4)lim,0.( )f xABg xB(2)lim( ).kf xkA 推论推论 假如假如 存在存在,lim( )f x而而 是正常数是正常数,n那那么么lim ( )lim( ) .nnf xf x xxxxxxx 00011lim sinlimlimsin0注意公式使用的

2、条件！注意公式使用的条件！ xxxxxxxxx lim1limlim10定理定理 . 假设假设,lim,limByAxnnnn则有则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理也成立。故此定理也成立。未定式未定式(7种种)在在 x 的某一趋近过程时，如果函数的某一趋近过程时，如果函数f(x), g(x)有有( )0, ( )0,f xg x1.( ), ( ),f xg x 2.( )0, ( ),f xg x 3.( )1, ( ),f xg x 5.(

3、), ( )0,f xg x 6.( )0, ( )0,f xg x7.( ), ( ),f xg x 4.称称 是是 未定式未定式( )lim( )xf xg x某量00称称 是是 未定式未定式( )lim( )xf xg x某量称称 是是 未定式未定式lim( ) ( )xf x g x某量0称称 是是 未定式未定式( )lim( )g xxf x某量1称称 是是 未定式未定式0称称 是是 未定式未定式00称称 是是 未定式未定式( )lim( )g xxf x某量( )lim( )g xxf x某量lim ( )( )xf xg x某量二、求极限方法举例二、求极限方法举例解解)53(li

4、m22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例例1531lim232 xxxx判断未定式？判断未定式？小结小结: :nnnaxaxa 10100).(0 xf )()(00 xQxP ).(0 xf 2. 设设 , 且且( )( )( )P xf xQ x 0()0,Q x 假假设设 , 0()0Q x 1. 设设101( ),nnnf xa xa xa nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(

5、lim000则有则有)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx 则有则有则商的法则不能应用则商的法则不能应用.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系, ,得得.3214lim21 xxxx例例2 求求3214lim21 xxxx x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231分解因式，分解因式，约去零因子约去零因子00型：例例4 求求)1311

6、(lim31xxx 3113lim()11xxx 解解2212lim(1)(1)xxxxxx 212lim1xxxx 1 例例5 求求nmxxnmx,lim111 解解 原式原式 )()(lim111121211 xxxxxxxxnnmmx121211lim1mmnnxxxxxxx 为正整数为正整数.mn 22113lim(1)(1)xxxxxx 通分；通分；约去零因子约去零因子型： 时时, 分子分母的极限都是无穷大分子分母的极限都是无穷大3232235lim541xxxxx .52 例例5 求求145532lim2323 xxxxx解解型）型）（ 33352lim415xxxxx x 小结小

7、结: :当当 和和 为非负整数时有为非负整数时有000,0,ab mn 利用利用无穷小和无穷大的关系无穷小和无穷大的关系, 然后再求极限然后再求极限.101101limmmmnnxna xa xab xb xb 00,ab当当,nm 0,当当,nm , 当当,nm 常以自变量的最高次幂除分子和分母常以自变量的最高次幂除分子和分母,解解是是无无限限多多个个无无穷穷小小之之和和时时, n2221321lim()nnnnn 2221limnnnn 11lim n先变形再求极限先变形再求极限. .例例6 求求)1231(lim222nnnnn 21321limnnn （）解解. 0sinlim xxx

8、例例7 求求xxxsinlim 例例8 设设 0101)(2xxxxxf，,求求)(lim0 xfx.当当 时时,x 为无穷小为无穷小.1x而而 是有界函数是有界函数.sin xyox1xy 112 xy解解0lim(1)xx , 1 0lim( )xf x , 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等, ,0lim( )xf x 20lim(1)xx 两个单侧极限为两个单侧极限为 是函数的分段点是函数的分段点,0 x 0lim ( )1.xf x 故故定理定理 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则) 假设假设(1) 0lim( ),xxxa 且在且在 的某去心邻域内的某去心邻域内0

9、 x( ),uxa (2) lim( ),uaf uA 当当 时时, 那那么么0 xx复合函数复合函数 的极限存在的极限存在, 且且 ( )fx 0lim ( )xxfx 0lim ( )xxfx lim( )uaf u)(lim0 xaxx 意义：意义：( )ux 令令三、复合函数求极限三、复合函数求极限lim( ).uaf uA例例9 求求xxxx 11lim0解解 先分子有理化先分子有理化,再求极限再求极限.011limxxxx 0( 11)( 11)lim( 11)xxxxxxxx 02lim( 11)xxxxx 1 练习练习 求求anann),(lim 为常数为常数.00型：练习练习

10、 求求.sinsinlimxxx 1解解 原式原式11lim 2sincos22xxxxx 112 lim sincos22(1)xxxxx 0 22.lim11nnnn 例例2222221111=lim11解解:原:原式式nnnnnnnn 222211=lim11nnnnnn 222=lim11nnnn 222=lim1111nnn2=1101 00 型：00化成 或 型解解.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.100后后再再求求极极限限穷穷小小因因子子型型）先先约约去去不不为为零零的的无无（ x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim

11、1 xxx.21 练习练习 求求321lim221 xxxx五、小结五、小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法总结、极限求法总结0001因式分解消去公因式因式分解消去公因式2含有根号的，有理化含有根号的，有理化1除以最高次项除以最高次项2含有根号的，有理化含有根号的，有理化1化成上面的二种未定式化成上面的二种未定式2含有根号的，有理化含有根号的，有理化1通分，化成上面的三种未定式通分，化成上面的三种未定式2含有根号的，有理化含有根号的，有理化3. 特特殊的殊的一种一种方法：方法：无穷无穷小的小的性质性质._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、一、填空一、填空练习题练习题 ._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、二、求下列极限二、求下列极限38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 x