“负负得正”教学的有效模型

1、负负得正”教学的有效模型教师的教学和相关研究表明 12: 通过学生易于理解 的模型来说明为什么“负负得正” 、教授“负负得正”是可 行的 ,也是合理的 ;学生能够接受通过这种方式所总结的有理 数乘法法则 . 也就是说 ,模型说明是有理数乘法法则教学的 有效选择 ,也是最主要的策略 . 既如此 ,随之而来的问题是 :什 么样的说明“负负得正”的模型是最好的模型?具体而言 :不同的模型对学生的理解有影响吗?教师倾向于什么样的模型 ?学生倾向于什么样的模型 ?综合考虑教与学的因素 ,什么样的 模型最有效 ?一、不同的模型对学生的理解没有显著性影响一一一项 教学实验为了解教师教学中所使用的说明“负负得

2、正”的模型与 学生理解之间的关系 ,我们选取山东省某市一所重点中学的 四个班级 ,开展实验研究 . 这些班级是按照学生入学考试成 绩分班的 ,因而 ,我们假设这些班级之间没有显著性差异. 三位教师在没有任何干预的情况下使用四种模型授课,教师在四个班级中所使用的模型见表1（所有模型的说明见附件 ）.我们实地听取了教师的课堂教学 . 教师授课结束后 ,我们对 四个班级的学生进行了问卷调查与访谈 . 调查的目的是了解 学生在使用说明“负负得正”的模型与教师授课时所使用的 模型之后的教学效果 . 调查过程如下 .题目“以(-4)X (-3)为例，用尽可能多的方法(如文字解释、 画直观图、算式表示等)来

3、说明为什么负负得正.教学中使用的说明“负负得正”的模型如表1.分析表 1,我们可以得到以下结论 :(1) 学生的理解不受教师所用模型的影响. 除 2班外 ,能够使用教师的模型来说明“负负得正”的学生占班级人数的 6%9%之间 . 这说明教师所用的模型没有对学生产生显著性 影响. 2 班是一个例外 ,没有一个学生使用归纳模型 . 这表明 , 这一模型很难为学生接受 . 联想到学生的教科书中使用了归 纳模型 ,我们有理由相信 ,这个模型是一个较难理解的模型 .(2) 相反数模型比较容易理解 . 除 7 人自觉地使用了教师所介绍的相反数模型外 ,还有 7 人自发地使用了相反数模型 , 使用该模型的学

4、生人数占提供模型人数的51.9%(表2). 相反数模型成了使用率最高的模型 . 我们有理由相信 ,使用该模 型说明“负负得正” ,有利于学生理解 .(3) 能够使用说明“负负得正”的模型学生较少.在所测试的 295 名学生中 ,仅有 27 人即 9%的学生能够通过模型说明 “负负得正” . 所以 ,对于算理的理解 ,不能有过高 的要求 ,教师也不可有过高的期待 .二、师生对模型的倾向性1. 教师对模型的倾向性(1)教师实际教学中使用的模型 :数轴模型 ,归纳模型 ,相反 数模型 . 教师在实际教学中使用了哪些模型来说明“负负得 正” ,我们进行了问卷调查 ,调查内容如下 :教学有理数的乘法 ,

5、关键是说明“负负得正” .回顾一下 你课堂上教“负负得正”的情形 ,请结合你的教学实际 ,描述 你教“负负得正”的过程 (自己怎样教的 ,就怎样描述 ).统计结果如表 3.教师最喜欢使用数轴模型 ,占总数的 39.5%. 这个模型是 原大纲教科书中使用的模型 3. 关于这个模型 ,调查中发现 , 不仅学生 ,即便从事数学教育多年的教师 ,也容易困惑 4. 如 此多的教师使用了数轴模型 ,反映出原教科书对教师的影响 还是很大的 .29%的教师使用了归纳模型 ,成为了教师的第二选择 . 这 个模型是北师大版教科书中的模型 ,教师使用的就是该教科 书5. 18.4% 的教师使用了相反数模型 6. 这

6、个模型不是教 师所用教科书中的模型 ,如此多的教师使用了这个模型 ,反映 出教师对该模型的偏爱 . 以上 3 种模型占教师使用模型的 86.9%. 相应地 ,少数教师使用了其他模型 .(2)教师喜欢的模型 :归纳模型 ,数轴模型 ,相反数模型 . 为了解教师对模型的倾向性 ,我们提供了 7 个说明“负负 得正”的模型供教师选择 ,38 名教师的选择情况如表 4.x教师喜欢的模型依次是 :归纳模型 ,数轴模型 ,相反数模型 这 3 个模型的排列顺序与教师在实际教学中使用的模型的顺 序大致相同 . 教师受教科书的影响还是很大的 .综合教师教学中使用的模型和教师选择的模型,我们可以得到结论 :教师最

7、倾向于使用的模型依次是归纳模型、 数轴 模型、相反数模型 .2. 学生对模型的倾向性(1)学生回答问卷时所使用的模型是相反数模型. 对学生的问卷调查显示 ,仅有 9.0%的学生给出了比较合理的说明 “负 负得正”的模型 . 除此以外 ,为说明“负负得正”的合理性 , 说服自己接受 “负负得正” ,学生又创造了各种各样的准合理 或者不合理的模型 . 统计分析这些模型 ,可以从中窥视出学 生对模型的倾向性 (表 5). 从表中可以看出 :学生最倾向于相反数模型 . 在学生自己创造的模型中最常用的就是“相反数的相反数模型”和“抵消模型”,尽管这两种模型都存在着一些问题 . 如果加上“相反数模型” ,

8、就 有 21.01% 的学生使用了这类模型 . 我们有理由相信 ,用相反 数模型进行教学 ,是学生比较容易接受的 .相反 ,虽然归纳模型相对于相反数模型更具有数学味,但是,只有 0.34%的学生使用了这个模型 . 这引起了我们的思考 : 既然我们很难或者说不能够把为什么“负负得正”的道理讲 清楚 ,在教学中 ,关键就是要让学生比较顺利地接受事实 ,不让 学生觉得“负负得正”是“天上掉下来个林妹妹”. 从这个角度而言 ,我们就不能对模型的所谓合理性“深究”,故而 ,相反数模型就要比归纳模型好 .对规定性的认可 . 认为是“复述法则” 、“书上说的 ,老 师讲的”和“是个规定 ,没有理由”的学生占

9、 48.47%,几近一 半. 这说明学生对“负负得正”规定性的认识是:这是一个规定,不好解释 .(2)学生喜欢的模型 :归纳模型 ,好孩子模型 ,数轴模型 ,相 反数模型 .为了解学生对模型的倾向性 ,我们提供了 7 个说明“负负 得正”的模型供学生选择 (仅选取 3 班和 6 班),学生的选择情 况如表 6.学生喜欢的模型依次是 :归纳模型 ,好孩子模型 ,数轴模型和相反数模型学生喜欢好孩子模型 ,大大超出了我们的预料 . 以下是 对学生的访谈（学生-S;教师-T）.S:我喜欢这个模型.这个最好了，最形象了 .我今天回家 都给我妈讲了 .T:妈妈听明白了没有？S:听明白了 .我妈妈说，这个很

10、好，很有意思.T:如果老师上课时用这个模型来说明“负负得正”，你认为可以吗 ？S:完全可以.我们班同学今天都在说这个方式说得清楚 ， 比书上的好 . 看了这个以后 ,我就对有理数的乘法彻底懂了 , 我一辈子也忘不了 .15.8%的教师选择了好孩子模型 . 有的教师认为 “孩子不 能以好坏区分” ,这样对教育学生不利 . 同样 ,也有个别的学生 提出了类似的担心 .喜欢和会用之间的矛盾 . 教师、学生都比较喜欢归 纳模型 ,原因也许是这个模型是教科书中的模型 . 然而 ,调查 表明 ,能够使用这个模型说明“负负得正”的学生少之又少.对这个模型 ,要谨慎使用 .综合学生回答问卷时使用的模型和学生选

11、择的模型,我们可以得到结论 :学生最倾向于使用的模型依次是相反数模 型、归纳模型、好孩子模型、数轴模型 .3. 师生对模型的倾向性 :归纳模型、数轴模型与相反数模型 把学生喜欢的模型、教师喜欢的模型与教师教学中使用 的模型进行对比 ,分析如下 (图 1).(1) 师生倾向于使用的模型依次为 :归纳模型、 数轴模型与 相反数模型 .教师最倾向于使用归纳模型 ,学生最倾向于使用相反数 模型 . 教师最喜爱的模型与教师最倾向于使用的模型是一致 的 ,学生最喜爱的模型与学生最倾向于使用的模型不一致.教师、学生对好孩子模型的倾向性差异较大 :学生非常喜 欢,教师却不大喜欢 .(2) 师生均不喜欢形式化的

12、模型 ,比如分配律模型 .三、对模型的分析1. 模型就是一副“脚手架”我们设计了这样一个问题 :“为了说明负负得正 ,我 们给学生提供了一个说明的模型 . 这个模型其实就是一副脚 手架 ,一旦掌握了有理数乘法法则 ,这个脚手架就可以拆除 了. ” 表 7 是教师的回答情况 .55.3%的教师持赞同态度 ,31.6%的教师不赞同 . 不赞同的教师也许认为 ,这些模型恰恰说明了为什么“负负得正”恰恰能够帮助学生理解有理数乘法的算理 . 既如此 ,当然不 能随随便便地拆除了 .2. 模型并没有说明算理推导小数乘法法则、 分数除法法则时 ,要么凭直观进行推 理,要么使用了规律进行推理,在很大程度上说明

13、了运算的算理. “介绍一个实例 ,观察一个图形 ,导出一个解释 ,难道不比 去介绍形式化证明更好吗 . ”比如 ,要说明乘法交换律 ,就可以 用图形非常直观地说明3 X 4=4X 3.但是，有理数乘法就完全不同了.分配律模型事实上是在“保持运算的持续性”的前提下 推导出了“负负得正” 78, 本质上有了形式推理的味道 ,但 有多少师生喜欢它 ?归纳模型是一种合情推理模型,但是 ,调查表明 ,学生很难掌握它 . 除这两个模型外 ,其他模型几乎没 有多少数学味道 ,本质上说 ,这些模型是为了帮助学生理解和 掌握“负负得正”法则的“脚手架”,是裹在原理外面的“糖衣” . 因为原理艰涩难懂 ,因为保持

14、运算的持续性不好理解,所以通过模型这层 “糖衣” 把它包装起来 ,这样接受起来就容 易多了.既然没有说明算理 ,谈何要求学生理解其中的道理呢 ?既 如此 ,模型不是脚手架又是什么 ?不是不想说明其中的道理 , 而是很难说清其中的道理 ,因为“负负得正” 超越了学生的经 验,很难证明 . “由于日常生活中很少有学生容易理解的两个 负数相乘的实例 ,因此学生会对法则合理性的认识有一定的 困难 . ”93. 教学从学生对模型的倾向性和认知水平出发 我们设计了这样一个问题 :“对于说明负负得正的模 型,只要学生喜欢 ,便于学生掌握负负得正法则 ,哪一个都 可以 . ”教师的回答情况如表 8.不赞同的只

15、有 10.5%,绝大部分教师认为 ,选择模型 ,要从 学生对模型的倾向性和认知水平出发 . 实际教学中的不匹配 现象值得我们思考 .四、结论与建议1. 教师使用的模型对学生的理解没有显著性影响调查表明 ,教师使用的说明 “负负得正” 的模型对学生的 理解没有显著性影响 ,能够说明 “负负得正” 的学生人数非常 少,既然如此 ,就应该选择学生易于理解的模型 .2. 师生最倾向使用的模型依次是 :归纳模型、数轴模型 与相反数模型虽然师生倾向于归纳模型 ,虽然归纳模型体现了真正的 数学10,但是 ,由于学生在实际中很难获得对它的理解,因而要谨慎使用 . 数轴模型也获得了师生的认可,但是正如有的研究所

16、表明的 ,这个模型让学生转来转去 , 容易迷惑 . 相反数 模型得到师生的一致认可,并且由于学生常常无意识地、 自发地使用这个模型 ,也就是说学生最容易理解这个模型,所以 ,基于“要选择学生易于理解的模型” 这一结论 ,我们应该更多地 使用相反数模型 .师生最不喜欢形式化的模型,如分配律模型 .3. 模型并没有说明为什么“负负得正”,模型就是一副脚手架既然一种模型不能够真正说明 “负负得正” ,就应该选择 另一种学生易于理解的模型,这是教学“高效性”的要求.4. 教学中和教科书中可以使用相反数模型 附件 :说明为什么“负负得正”的模型归纳模型：(-5) X 2=-10,(-5)x 1=-5,(

17、-5)X 0=0，从而(-5)X (-1)=5,(-5) X (-2)=10,(-5) X (-3)=15.(2) 分配律模型 ：(-5)X(-3)=(-5) X (0-3)=(-5) X 0-(-5) X 3=0-(-15)=15.(3) 相反数模型 ：5X 3=5+5+5=15;(-5)X 3=(-5)+(-5)+(-5)=-15. 所以,把一个因数换成它的相反数,所得的积就是原来的积的相反数.(-5)X (-3)=15.(4) 气温变化模型 :今天的气温记为 0摄氏度 ,每天下降 5 摄氏度.昨天记为-1,前天记为-2,大前天记为-3,(-5) X (-3)就是 大前天的度数 ,就是 1

18、5.(5) 数轴模型 :规定 ,数轴的正方向为东 ,数轴的负方向为西 一个人在数轴的原点处 ,-5 看做向西运动 5米(计划向西 );(-5) X (-3)看做沿反方向(即向东)运动3次.结果：向东运动了 15 米. 所以(-5) X (-3)=1 5.(6) 好孩子模型 ：好孩子用正数表示 (+),坏孩子用负数表示 (-);进城市用正数表示 (+),出城市用负数表示 (-);好事用正数表 示(+),坏事用负数表示 (-). 好孩子 (+)进城 (+),对城市来说是件 好事(+),所以 (+)X (+)=+;坏孩子 (-)出城 (-),对城市来说是件好事 (+)，所以(-)X (-)=+.所以(-5)X (-3)=15