向量代数与空间解析几何

1、第一节向量代数一、空间直角坐标系二、向量概念a x i y j zk 坐标(x,y,z)模 ayfXy2Z2方向角，方向余弦 cos ， cos ， cos三、向量运算设 a(xi, yi,Zi),b(X2, y2,Z2), c(x3, y3Z)1、加减法a b (% X2, yi y2, Zi Z2)2、乘数a ( xi, yi, Zi)3、数量积(点乘)(内积:线性代数叫法)(1) 定义a b a b cos(a,b)(2) 坐标公式a bxi x2 yi y2 乙 z2(3) 主要应用a b 0 a b4、向量积(叉乘)(外积:线性代数没有)a b(1) 模a b a b sin (a,

2、 b)(2) 方向a b a, a b b,且a, b, a b构成右手系(3) 坐标公式a b =iXiX2jyiy2kZiZ2其中i j = k j k = i k i = ji k =- j(4)主要应用a b =0a与b共线注意aa0,ab =- b a(5)几何意义a b s 其中s为以a,为边的平行四边形的面积a b为数，a b为向量5、混合乘积(1)定义(a,b, c) (a b) c注意：a，b，c)=-( b，a, c)=( b，c，a)坐标公式(a ,b, c)=XiX2X3yiy2y3乙Z2Z3如果 a,b, c共面，则(a,b, c)=0，因 a b c几何意义(a,

3、b, c)表示以a ,b, c为棱的平行六面体体积一些几何结果1、点P到直线AB之间的距离PA PBd , 其中PA PB为以PA,PB为边的平行四边形面积AB又平行四边形面积=2其中一个三角形面积=2|对角线|高|平行四边形可分成两个相等三角型点到直线距离在直线上找一点(x,y,z)并与直线外点表示一向量aa与直线的方向向量垂直a n=0直线方程，求出(x,y, z)2、点P到A, B, C所在平面之间的距离(PA,PB,PC)d AB AC(PA,PB, PC)为以PA,PB ,PC为凌的平行六面体体积4又因四面体PABC的体积V二S abc31(PA,PB,PC),而 S ABCAB A

4、C62V四面体PABC -3、异面直线AB和CD之间的距离A5(AC, AB,CD)(CD C D),dAB CD4、判断是否共面向量 1二XiZi, 2=x 2y2Z2,3二X 3丫3乙3共面Xi混合积(1, 2, 3)= x2X3使 k1 1+k2 2 +k3 3=0yiZiy2z20,存在不全为0数k-!, k2, k3yZ3第二节平面与直线、平面及其方程1、点法式A(x Xo) B(y yo) C(z z)0点(x0, y0, z0)在平面上，n( A,B,C)为平面法向量2、一般式Ax+By+Cz+D=0xX!yy1zz,X2X1y2y1Z2Z103、三点式设Mj(Xj,y i,z)

5、(i1,2,3)为不在一条直线上的三个点，则X3X1y3y1Z3Z1如图4、截距式x y z1,a,b, c不为 0a b c平面束方程设直线L由方程组A1X B17 C1Z D10确定A2x B2y C2z D20A1, B1, C1与A2, B2, C2不成比例M(A 1x B1y C1z D1)(A2x B2y C2z D2) 0这就是过直线L的平面束方程两平面之间的关系设 1 A1x B| y C1 zD10,2： A2xB2yC2z D20,则(1)1/2A1 .=旦_ =-C1D1a 2B2C2D21 2a1a2B1B2 C1C20, n, n2为 1,2的法向量为两平面的夹角co

6、sn，1为平面1法向量，n2为平面2法向量n1 n2ii.点到平面的距离占八、（X。，y,z）平面Ax By Cz D 0距离d IA2By 2CDIVa2 b2 c2、直线及其方程1、标准式-Xo - yo - Zo其中方向向量为a (f,m, n)m n2、两点式_Xl 一仏 _Zl其实(X2 Xi,y2 yi,z2 zi)为方向向量 X2 Xiy yi Z2 zi3、参数式x Xo jt, y yo mt, z Zo nt4、一般式Aix Biy Ciz Di 0y, n (ABiG)与(AzBzCz)不共线A2x B2y C2z D2I. 两直线之间的关系设ai (fim,ni) (i

7、 1,2)为两直线的方向向量cos3i a?ai a?2 2 2 2 m!n 2mb二，为两直线的夹角n2a2垂直条件 li f 2+mim2+nin2=0，即 ai 平行条件：4 =匹=2，即ai与a2共线II.2 m2 n2直线与平面之间的关系,osIII. 直线与直线之间的关系X Xo-yo- Zo其中方向向量为a (|m,n)m n-IV. 点在平面上的投影方程a) 先求通过点p且垂直与平面的直线Lb) L与平面交点即为p在平面上的投峨影V. 直线在平面上的投影方程作直线在某平面 上的投影方程的方法(交面式)a) 通过直线作与平面垂直的一个平面b) 该平面与平面 的交线为所求直线投影方

8、程直线方程之间的变换1、一般式(交面式)对称式-参数式般式中两个平面法向量的向量积为直线的向量，在求直线上一点可得直线标准式求直线上一点时设x=c,并把x带入一般式求出该点坐标2、一般式参数式把一般式中某个变量设为t,其余用该变量表示即可 3、标准式一一般式x 1 y 20x 1 y 2 z 222xy 0123y 2 z 203y2z 2 023由此也可得通过该直线的平面束方程直线方向角，方向余弦及，曲面积分中的知识点串联1、方向角：向量a与三个坐标向量l,j,k的夹角 、 为向量a的方向角2、方向余弦：如a=xi+yj+zk,贝Ucos2 cosxx,cos2 z1yycos 一zza c

9、Jx22 os2y2 cosia获2 2 ,cos y zaJx22 2y z且方向余弦cos,cos,cos为单位向量a的坐标，即a=a=cos,cos ,cos aa3、课99, 227页 曲面法向量方向余弦来历设：z=z(x,y).令 F(x,y,z)=z-z(x,y,z)则 法向量为(Fx，Fy,Fz)=(-z x，-z y,1)= n2 2ZxZy法向量n的方向余弦为 cos-zxzycos =,cos2 22 2Zx Zy1 Zx Zy/*法向量n的方向余弦公式cos-Zx*/ (Fz)2 (Fx)2 (Fy)2曲面与空间曲线三、曲面方程1、一般方程F(x, y, z) 02、参数方程x x(u,v)y y(u,v) (u,v) dZ Z(u,v)四、空间曲线方程1、一般方程FEyiZ)0FzXyz)02、参数方程x x(t)y y(t) t D，Z Z(t)五、常见的曲面及其方程1、旋转曲面(1)L1 f(x,y) 0绕z轴旋转所得旋转曲面为f(.xV，z)0y 0(2)L以参数方式给定x X(t)y y(t) ( t )z z(t)绕z轴旋转得曲面x - x2(t) y2(t)cos , yx2(