金融数学课后答案

1、金融数学课后答案 【篇一：金融数学 (利息理论 )复习题练习题】购买一张 3 年期，面值为 1000 元的国库券，每年末按息票率为 8%支付利息，第三年末除支付 80 元利息外同时偿付 1000 元的债券面值，如果该债券发行价为 900 元，请问他做这项投资是否合适？ 2.已知：1） 1?i2） 1?由于(1?m)?(1?n)?1?i 由于(1?)?(1?)?1?d 3. 假设银行的年贷款利率 12%，某人从银行借得期限为 1 年，金额为 100 元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。试分析两种还款方式有何区别？哪

2、一种方案对借款人有利？4. 设 m?1 ，按从小到大的顺序排列 i,i (m)(m)(m) (m) m?(1?i5)(1?i6)?1 求 m? ?(1? d(5)d(6)?1 )(1?6) 求 m? 5(5)(6) d(m)m m (n) n m (n) n,d,d(m),?解：由i?d?i?d? i?dd(m?1)?d(m) ? d?d(m) i(m)?d(n) ? d(m)?i(m) i(m?1)?i(m)? i(m)?ii(m)?limd(m)? 1?i?e?1? ， limm?m?d?d(m)?i(m)?i5. 两项基金 x,y 以相同的金额开始，且有：（ 1）基金 x 以利息强度5%

3、计息； （2）基金 y 以每半年计息一次的名义利率 j 计算；（ 3）第 8 年末，基金 x 中的金额是基金 y 中的金额的 1.5 倍。求 j.6. 已知年实际利率为 8% ，乙向银行贷款 10,000 元,期限为 5 年，计算下列三种还款方式中利息所占的额度： 1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清； 2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金； 3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。 三种还款方式乙方支付的利息相同吗 ? 请你说明原因？ 7.某人在前两年中，每半年初在银行存款 1000 元，后 3 年中，每季初在银行存款 2000 元，每月计息一次的年名义利率为 12% 计

4、算 5 年末代储户的存款积累值。8. 期末付款先由 1 到 n 递增付款，然后再由 n?1 到 1 的递减付款形成的变额年金称为虹式年金，试求付款期利率为 i 的虹式年金的现值和终值。解：现值为：a?2?2?3?3?,.,?(n?1)?n?1?n?n?(n?1)?n?1?,.,?2n?1 ?a? ?2?2?3?3?4?,.?.(,n?1)?n?n?n?1?(n?1)?n?2?,.?.?,2nn a?a?2?3?,.,?n?n?1?n?2?,.,?2n?1?(1?)1?) a?(1 ?)2n2 n?1同理可证终值公式。9. 固定养老保险计划：责任：未退休时，每月初存入一定金额（养老保险金），具体

5、方式：25 岁29 岁，月付 200 元， 30 岁-39 岁，月付 300 元， 40 岁49 岁，月付 500 元， 50 岁59 岁，月付 1000 元，权益：从退休时（ 60 岁），每月初领取 p 元退休金，一直领取 20年。 问题：在给定年利率 i?10% ，分别计算从 25，30，40，50 岁参加养老保险，60 岁以后月退休金为多少？ 查表可得：a|0.1?8.5136 ，s0.1?271.0244 ，s0.1?164.4940 ，s0.1?57.2750 ，s0.1?15.9374 。 10某人继承一笔遗产：从现在起每年初可得 10000 元。该继承人以 10% 年利率 将以产

6、收入存入银行，到第五年底，在领取第六年年金之前将遗产 的权益转卖给他人，然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为 12%的投资项目。若每年底的投资回报是相同的，项目有效期为 30 年。求投资人每年的回报金额。11 考虑下列两种等价的期末年金：a：首付 6000 元，然后每年减少 100 元，直到某年（ k），然后保持一定付款的水平直到永远；b：每年底固定付款 5000 元； 如果年利率为 6% ，试求 k（近似整数）。 解：方法一：价值等式： 5000a|?(6000?100(k?1)?a|?6000a|?100? k a|?k?k0.65000?(6000?100(k?1)

7、?k?6000(1?k)?100(a?k?k) 解得 a|?10 ，查表得 k?15方法二：价值等式： 5000|?(6000?100(k?1)|?100(da) 注意到(da)|? 答：k?15 。12 某人退休一次性获得退休金 y 元，它将其中的一部分 x 用于投资回报率为n?a|i解得|?10 查表得 k?15ix 的永久基金，另一部分用于投资回报率为 j 的十年期的国债。已知他前十年的收入是后十年的两倍，试确定他投资于永久基金占总退休金的比例。 13 某汽车销售商计划采取以下两种零售策略： 1）若一次性付清车款，零售价格为 2 万元；或 2）以年利率 10%，提供 4 年分期付款（按月

8、付款）。如果目前市场上，商业零售贷款月换算的年名义利率为 12% ，试分析两种零售策略那种对消费者更优惠？14 十万元的投资每年底收回一万元，当不足一万元时将不足一万元的部分与最后一次的一万元一次收回。如果每半年接转一次利息的年名义利率为 7%，试求收款次数和最后一次的收款金额。 15考虑一个十年期的投资项目：第一年初投入者投入 10000 元，第二年初投入 5000 元，然后每年初只需投入维修费 1000 元。该项 目期望从第六年底开始有收益：最初为 8000 元，以后每年递增1000 元。用 dcf 法计算该投资项目的价值。特别如果贷款利率为10% ，该项目是否有投资价值？16某项 10

9、年期贷款，年利率为 8%，如果还款额同时以年利率为7%在投资，求下列情况下的实际收益率： 1）到期一次还清；2）每年还利息，到期还本金； 3）每年等额分期偿还。 17某基金投资者：每年初投入一定本金，共投资 10 年。基金本身的年回报率为 7%，年底支付。分别对再投资利率为 5% 和 8% 两 种情况下，讨论投资者的实际收益率。18讨论下列模型假设下得再投资的实际收益率：1）每年末（一个计息期）投资 1 单位资金，每年（一个计息期）的直接投资收益率为 i；2）投资的回报方式为：逐年（一个计息期）收回利息，结束时收回本金； 3）同时将每年的利息收入以再投资利率为 j 进行再投资。 资金流程图如下

10、：19 投资者购买以下五年期的金融产品： 1）每年底得到 1000 元；2）每年的收入可按年利率 4%再投资且当年收回利息。如果该投资者将每年的利息收入以年利率 3%再投资，实际年收益率为 4%。求 该金融产品的购买价。20某投资者连续五年每年向基金存款 1000 元，年利率 5%，同时利息收入可以年利率为 4%投资。给出第十年底的累积余额表达式。 211 万元的贷款计划 20 年分年度还清，每年底还款 1000 元。如果贷款方可以将每年的还款以年利率为 5%投资，计算贷款方的实际收益率。 22某活期存款账户年初余额为 1000 元，4 月底存入 500 元，六月底和八月底分别提取 200 元

11、和 100 元，年底余额为 1236 元，求 该储户的年资本加权收益率。 23某投资账户年初余额为 10 万元，5 月 1 日的余额为 11.2 万元，同时投资 3 万元， 11 月 1 日余额将为12.5 万元，同时提取 4.2 万元，在下一年的 1 月 1 日又变为 10 万元。分别用资金加权和时间加权求投资收益率。 24某基金由两个投资人，甲年初在基金中有资金 1 万元，年中又投入 1 万元，乙年初有 2 万元，上半年收益率为10% ，下半年收益率为20% ，利用投资组合法计算甲乙应分得的收益。 25债券 a，面值为pa，收益率为ia，无违约风险； 债券 b，面值为pb，收益率为ib ，

12、违约概率为p（0?p?1 ），如果违约发生则到期债券的价值为 0，即债券 b 在到期时的价值为随机变量 xb?pb. 不违约0.违约。 问题：在什么条件（ pa，pb ，p，ia ，ib满足什么关系）下，债券a 和债券 b对投资者来说有相同的期望收益？ 分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益，两债券期末的期望本利和应相同，所以应有关系： pa(1?ia)?exb(1?ib) 即：pa(1?ia)?pb(1?p)(1?ib) 26某按月摊还的债务，年实际利率为11% ，如果第三次还款中的本金量为1000 元，计算第 33 次还款中本金部分的金额。27某借款人借款 2000 元，年利率为10%

13、，要求两年内还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向基金存款一次，而且存款利率为季度挂牌利率 8%，求每半年应偿债基金的存款额。并构造偿还表。 28假设一笔贷款期限为5 年，贷款利率为10% ，如果贷款人计划每年末的总付款额为： 1000 元、 2000 元、 3000 元、 4000 元和5000 元。试分别用分期偿还法和偿债基金利率为8%的偿债基金法计算原始贷款本金。【篇二：金融数学引论答案第三章北京大学出版】第三章习题答案1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中 c0 = 3000 元， c1= 1000 元， r2 = 2000 元和 r3 = 4000 元。计算 r 。解: 令

14、 v = 1 1+r ，由 p(r) = 0 有c0 + c1v ? r2v2 ? r3v3 = 0代入数据，解得：v 0.8453 r = 18.30%2 十年期投资项目的初期投入 100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第 一年 3000 元，以后各年以 6% 的速度增长。计划收入为：第一年末 30,000 元， 以后逐年递减 4% ，计算 r6 。 解: 由 i = 6%, j = 4%r6 = 30000(1 ? j)5 ? 3000(1 + i)5 = 20446.60 元 3 已知以下投资方式：当前投入 7000 元，第二年底投入 1000 元；回报为：第一 年底 40

15、00 元，第三年底 5500 元。计算： p(0.09) 和p(0.10) 。解: 净现值 p(i) 为：p(i) = ? 7000 + 4000(1 + i)?1? 1000(1 + i)?2 + 5500(1 + i)?3p(0.09) = 75.05 元p(0.10) = ? 57.85 元北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页版权所有，翻版必究 4 计算满足以下条件的两种收益率的差：当前的 100 元加上两年后的 108.15 元， 可以在第一年底收回 208 元。解: 设收益率为 i ，其满足： ?100 + 208v ? 108.15v2 = 0 解得i = 2.03% 或 6.

16、03%两种收益率的差为 4.00%5 每年初存款，第 10 年底余额为 1000 元，存款利率 4% ，每年的利息收入以 4% 的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。解: 以第 10 年底为比较日，有以下的方程10r + 4%r(is)10p3% = 1000解得r = 100010 + 4%(is)10p3% 6 现在 10000 元贷款计划在 20 年内分年度还清，每年还款 1000 元。如果贷款方 可以将每年的还款以年利率 5% 进行投资。计算贷款方 的实际年收益率。 解: 设年收益率为 i ，有1000 a20p5% v20 = 10000解得i 6.16% 北京大学数学科学学院

17、金融数学系第 2 页版权所有，翻版必究7 某投资者购买了如下的五年期金融产品：(1) 每年底得到 1000 元；(2) 每年的收入可以按年利率 4% 投资且当年收回利息。 如果该投资者将每年的利息收入以年利率 3% 再投资，实际年收益率为4%。计算购买价格。解:设购买价格为p ，有p = 4448.42 元 8 某投资者连续五年每年期末向基金存款 1000 元，年利率 5% 。同时，利息收 入可以以年利率 4% 投资。给出第十年底的累积余额表 达式。解:对现金流进行拆分，第 10 年底的余额为：s1 1p ? 11 4%? 50 ? s6p ? 6 4%= 7316.73 元北京大学数学科学学

18、院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究 9 甲将 2000 元投资10 年，年利率 17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为11% ，第 10 年底的累积利息为5685.48 元；乙在 20 年内，每年底投资150 元， 年利率 14% ，而且利息以 11% 的年利率再投资。计算乙在 20 年底的累积利 息收入。解:由 pa = 5685.48解得 (1 + 11%)10 = 2.83942带入 pb计算得 pb = 8438.71 元另解 :直接计算得 pb = 8438.71 元 10 某人以 100000 元购得一块土地，每年需交资产税 1500 元。十年后以 260000元卖出，同

19、时交纳8%的销售税。计算年收益率。解：由净现值公式有i 8.075%11 50000 元投资，可以在今后六年内每年得税后收入 18000 元。计算：1) 15% 的净现值； 2)收益率。解：由净现值公式有p(i) = ?50000 + 18000a6p15% (1) p(15%) = 18120.69 元北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页版权所有，翻版必究(2) p(i) = 0解得：i 27.698% 12 某人拥有 10000 元按月以 i(12) = 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息 后，立即以 i(12) = 12% 存入银行，计算其账户在第12 次、 24 次和 36

20、次存款 后的余额。并对以上三种情况计算其每年 平均的 i(12) 。解：第 n 次存款后的余额为 12np 每年的平均 i(12)满足 i(12)12)n = p(n)把 n = 12, 24, 36 代入得到 p(12) = 10634.16 , i(12) = 6.16% p(24) = 11348.67 , i(24) = 6.34% p(36) = 12153.84 , i(36) = 6.52% 13 某基金的年初金额为500000 元，年底余额为680000 元。投资收入为60000 元，投资成本为5000 元。用资本加权法计算年实际 收益率。解：由题意， a = 500000 ，

21、b = 680000所以， i = 60000 ? 5000 = 55000 i = 2ia + b ? i= 9.78%北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页版权所有，翻版必究14 某基金的年利率 4%，年初余额1000 元，如果在第三个月底存 入 200 元， 第 9 个月底取款 300 元。假定利率按单利计算，计算年底的余额。解：3 4 1 4 i)= 943 元15 (1) 假定： 1?tit = (1 ? t)i ，给出 1?ti0 的表达式； 2）假定： 1?ti0= ti ，给出 1?tit的表达式。解：在考虑福利的前提下有(1 + ti0)(1 +1?tit) = 1 + i

22、 (1) 由 1?tit = (1 ? t)i 得i t 0 =(1 + i) ? 1 ? (1 ? t)i 1 + (1 ? t)i= ti1 + (1 ? t)i(2) 由 i t 0 = ti 得 1?tit =(1 + i) ? 1 ? (1 ? t)i 1 + ti=(1 ? t)i 1 + ti16 在初始时刻和第 1 年底分别向基金投入 1000 元，已知基金在第1 年底的余额为1200 元，第 2 年底的余额为2200 元。分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率。解：资本加权法1000(1 + i)2 + 1000(1 + i) = 2200解得i 6.52%时间加权法(1

23、+ i)2 =1200 1000 1200 + 1000解得i 9.54% 北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页版权所有，翻版必究17 基金在元旦的余额为a，6 月底的余额为b，年底的余额为c。(1) 若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权 法计算 的年收益率都是 c?aa；(2) 如果在 6 月底计算余额后立即投入资本 d ，试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式。(3) 如果 (2) 中的投资是在余额计算之前投入的，重新计算 (2)率。(4)说明 (2) 和(3) 中投资额加权法的结果相同的原因。(5)试说明 (2) 中时间加权法的结果大于 (3) 的结

24、果。解： (1)资本加权法 a(1 + i) = ci =c ? a a时间加权法1 + i = b a ? c bi =c ? a a(2)资本加权法 a(1 + i) + d(1 +i 2) = cc =c ? a ? d a + 1 2d时间加权法 1 + i =b a ? cb + d i =b c 中的两种收益【篇三：金融数学引论答案第 57 章北京大学出版】第五章习题答案 1. 已知某 10 年期零息票债券兑现值为 1000 ，试对收益率为 10% 和9%分别计算当 前价格。并说明如果收益率下调 10% ，债券价格上涨的百分比。解： (1) 记 p 为买价，则有价值方程 : p1(

25、1 + 10%)10 = 1000 p2(1 + 9%)10 = 1000 解得:p1 = 385.54 元 p2 = 422.41 元(2)收益率下降后p解得:p1 = 422.41 元，上涨百分比 :9.56%; p2 = 458.93 元，上涨百分比:8.65% 。2. 已知 26 周的短期国债的发行价格为 9600 元，到期兑现 10,000元。1按短期国债计算天数的典型方法计算贴现率；2假定投资期恰为半年，计算年收益率。解： (1) 由短期国债的定价公式 10000(1 ? ydt 360) = 9600解得： yd = 7.91%(2)由定义设年换算收益率为 i，则：9600(1

26、+ i)1= 10000解得： i = 8.51%3. 短期国债的贴现率均为 8%，计算 52 周国债与 13 周短期国债的年利率之比。52 周实际天数已经超过 360 ，如何处理；年利率之比是指等价年利率之比还 是贴现率的比。 4. 某 10 年期面值为 100 元的债券半年名息率 10% ，到期兑现 105元，如果收益率为 半年换算 8%，计算债券的买价。 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有，翻版必究 解： 由基本公式：5. 由债券价格计算公式，给出以下导数的计算公式，并解释其含义。 1) ?p?i , ?p ?n和?p ?g2) ?n ?p和?n ?p解： (1.1) 由

27、基本公式对 i 求导： ?p?i= fr(da)npi? np(n + 1, i) 0解释：债券的买价随着年限的增加而递减。(1.2) 由基值公式对 n 求导： ?p?n =cln(1 + i)i(g ? i)vn 解释：当债券溢价出售时，债券的价格是年限的增函数；当债券折价出售 时，债券的价格是年限的减函数。(1.3) 由 makeham 公式对 g 求导： ?p ?g =1 i(c ? k) = c i(1 ? vn) 0解释：债券的价格是修正息率的增函数。(2.1) 由(1.2) 得由 p = fr 1?vni + cvn 得n = f(p, i, g) = ln ip?fr ic?fr

28、 ln v 故 ?n ?p=1 ?p ?n =i(ic ? fr)解释:(1) 若 g i, 当 i、g 保持不变时，要使价格增加，期限必然增加；(2)若 g i, 当 i、g 保持不变时，要使价格增加，期限必然减少。 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有，翻版必究(2.2) 利用链式法则?n?g= ?n?p?p?g =i(c ? p) 解释:(1) 若 g i, 当 p、i 保持不变时，增加 g，即减少兑现值，期限必然增 加；(2)若 g i, 当 p、i 保持不变时，增加 g，即增加兑现值，期限必然减少。6. 两种面值为 100 元，半年名义息率 8%的债券以面值出售。债券甲

29、在 5 年后到期， 债券乙在 10 年后到期，兑现值均为面值。如果市场利率突然上升至半年换算名利 率 10% ，分别计算两种债券的价格变化百分比，并对你的结果给出一般的解释。 解： 1)记 pi 为买价 :半年换算名利率上升到 5%,由 f = c 得到 g = r, 由溢价折价公式有：= 92.27 元= 87.53 元p1 的变动百分比： 92.27?100 100 = ?7.73%p2 的变动百分比： 87.53?100 100 = ?12.47%p0 ? p p= (g ? i)anpi ?n =(g ? i) iln(1 + i)vn题目中是 g i 从而变动百分比是在数值上依年限递

30、减的。7. 两种面值均为 1000 元，期限相同均以面值兑现的债券，半年实际收益率均 为 4%。第一种债券的半年实际息率为 5%，价格为1136.78 ；第二种债券的半年实 际息率为 2.5% ，计算第二种债券的价格。北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页版权所有，翻版必究解： fr = cg, 由 f = c 得到 g = r. 由溢价折价公式：第一类债券的价格：得：anp0.04= 13.678第二类债券的价格：= 794.83 元8. 面值 1000 元的债券，半年名息率 9%，经过一定时间后以 1125元兑现。已知半年换算收益率 10% ，依此计算的兑现值的现值为 225 元。计算债券的价格。 解： g =fr c = 1125= 4%, 由 makeham 公式： p = k +g i(c ? k) = 945 元 9. 某 n 年期债