滚动轴承的动力学分析

1、目 录第一章 绪论 11.1本论文研究的意义11.2 滚动轴承动力学分析的基本方法11.3 本论文的主要内容2第二章 滚动轴承的动力学理论分析 32.1 概述32.2 滚动轴承的力学模型32.2.1 拟静力学模型42.2.2 动力学模型62.2.2.1基本理论方程62.2.2.2 球轴承准动力学分析方法简述62.3 滚动球轴承的准动力学模型及求解72.3.1 球轴承内部几何关系72.3.2 赫兹理论与椭圆接触区92.3.3钢球动负荷112.3.4球轴承运动学及准力学约束11第三章 弹性流体动力润滑163.1润滑牵引模型的一般考虑163.1.1动体/套圈接触区163.1.2润滑剂流变学163.1

2、.3典型的牵引滑动性能173.2点接触基本参数和无量纲参数183.2.1基本参数183.2.2无量纲参数193.3油膜厚度计算及润滑状态判定203.3.1点接触全膜弹流的油膜厚度公式203.3.2热效应213.3.3阀油效应213.3.4润滑状态22第四章 滚动轴承结构有限元分析234.1概述234.2轴对称载荷作用下四节点等参环元的单元刚度矩阵234.2.1 等参环元的位移函数244.2.2节点载荷254.3用ansys对滚动轴承进行结构分析264.3.1概论264.3.2滚动轴承的实体分析模型274.3.3滚动轴承的有限元分析模型284.3.4模型简化与边界条件的设定294.3.5静态分析

3、304.3.6模态分析31第五章 全文总结355.1 本课题的主要内容355.2 今后的展望35参考文献36致谢 38攻读学士学位期间发表的学术论文 39滚动轴承的动力学分析摘 要在任何旋转的机械系统中，允许静止零件与运动零件作相对运动的轴承都是都是整个系统的关键零件。因应用场合而异可以使用油润滑的液动轴承、空气轴承、磁性悬浮轴承以及滚动轴承等若干不同类型的轴承。鉴于滚动轴承在要求高刚度、高负荷、功率损失适中且速度可变的场合得到了广泛的应用，研究滚动零件的动态相互作用就成为了本文的目的。随着现代高速计算机的发展，二十世纪六十年代的简单拟静力平衡模型已为能实时模拟滚动轴承性能的先进动力学模型所取

4、代。与静力学模型只能用于简单的疲劳寿命和刚度计算比较，动力学模型已可处理滑动、歪斜、保持架的不稳定性、润滑剂的牵引性能乃至时变的运转环境。本文在传统的静力学模型基础上以pradeep k.gupta的轴承动力学为理论依据建立了圆球滚子滚动轴承的动力学模型，分析了轴承各零件的受力，研究了零件之间的相对运动；以轴对称问题的有限元分析为基础、ug nx6.0和ansys 10.0为计算机工具，建立了角接触球轴承的有限元分析模型，对其进行了静力分析和模态分析，考察其基本应变、应力规律，通过计算证明其结果基本正确，为实际研究轴承问题奠定了有力的理论依据。关键词：角接触球轴承 静力学模型 动力学模型 有限

5、元分析主要符号表 2010届 机械设计制造及其自动化（数控） 专业 毕业设计（论文）第一章 绪论1.1 本论文研究的意义轴承是机械系统中特别是各种选择机械中重要的支撑部件，其性能与工况的好坏将直接影响与之相联的转轴以及安装在转轴上的齿轮乃至整台机器设备的性能。根据其工作原理的不同，轴承可分为滚动轴承和滑动轴承两大类。由于直至目前，对滑动轴承的研究还很有限，所取得的成果也不多；加之，在生产实际中，滚动轴承的应用广泛，并且互换性能比滑动轴承优越，因此，这里我们只讨论滚动轴承。滚动轴承的动力学特性在很打程度上都取决于滚动轴承的刚度性能，尤其是轴承的径向刚度和轴向刚度。在转速提高时，对支撑旋转机械系统

6、的轴承将会提出更高的要求。过去在处理转子动力学问题时，通常把滚动轴承作为绝对刚度支承计算模型来进行。比如：单列球轴承，则简化为铰链支承；在一个支承点内安装一对双列滚动轴承，则简化为固定支点。用上述处理方法将问题简单化，使得其研究结果不够准确，许多转子轴承系统的振动原因无法解释。因此，在研究滚动轴承的动力学问题时，首先有必要研究滚动轴承的刚度或弹性特性的计算，考虑较多的影响因素（如钢球旋转时的离心力，陀螺力矩，摩擦力等）和较多工况（如纯径向载荷作用，纯轴向载荷作用，联合载荷作用等）以及轴承几何尺寸误差、游隙的影响。因此，对其进行动静力学分析和结构分析以及模态分析，分析其在不同工况下的运动受力情况

7、，找出故障机理，对于以后实际中解决轴承问题具有重大的科学意义和实际意义。1.2 滚动轴承动力学分析的基本方法目前，对机械结构动态性能的研究主要有三种方法，即理论建模及分析方法、实验建模及分析方法和两者结合的方法。所谓理论建模及分析方法是指基于机构动力学原理，根据结构的设计方案、图样经验知识和资料等建立起模拟机械结构动力特性的力学模型，而无需依赖于现有的机械设备。通过对该力学模型的分析计算，即可以获得该机械机构各种模拟的动力学特性。这不仅可以检验其动力学特性是否满足设计目标的要求，是否需要对机械结构进行修改，还可以通过对理论模型的计算机仿真，预估结构设计及其改进后的动力学特性或对其进行动态优化设

8、计，所以理论建模及分析方法，可以再机械结构设计方案具体实施之前，建立其动力学模型，利用计算机进行模拟仿真，以达到对各种设计方案反复进行比较、修改，使其动态特性逼近设计目标函数的要求。从而可以经济、迅速的达到优化设计的目标，把提高机械结构动态特性的问题解决在方案及图样设计阶段。理论建模及分析方法的不足，在于建立能够确切模拟机械结构动力特性的动力学模型比较困难，就目前的各种理论建模及分析方法而言，都存在一些难以确定的因素，如难以对机械结构各种各样的工况条件环境下的边界条件考虑和处理得与实际工作情况所吻合，也难于把机械结构中各种动态参数及结合处的模型及其动态等参数反映得与实际工作环境相吻合，加之结构

9、简化、近似计算等等带来的误差，影响了所建立的模型的模拟精度。所以，提高理论模型对机械结构动态性能的模拟精度，使之满足工程实际的需要，是机械结构动态性能理论分析方法必须解决的首要问题。41目前，对一般机械结构的理论建模，除应慎重使用集中参数法和传递矩阵法建模外，就是有限元法。因此，本文在理论建模及分析方法的基础上用有限元方法对滚动轴承进行结构分析和模态分析。有限单元法是20世纪50年代初期根据变分原理发展起来的一种强有力的数值近似解法。该方法以计算机为手段，采用分割近似，进而逼近整体的研究思想求解数学物理问题。目前该方法已经在很多领域成为分析、解决工程问题和数学物理问题的有力工具。因而得到广泛应

10、用。1.3 本论文的主要内容本文以滚动轴承动力学模型、有限元模型为主要内容，分析研究了滚动轴承的动力学模型，以有限元法为依据用ansys软件对其进行了结构和模态分析；用计算机模拟的方法找出了滚动轴承的典型故障，为实际研究滚动轴承提供了理论依据。 本文的主要内容如下：第一章是绪论，简要介绍了本课题研究的意义、滚动轴承动力学分析的基本方法。第二章是对滚动轴承进行动力学分析，建立起静力学模型和动力学模型，并以此为理论指导，推导出轴承中各零件间的运动关系。第三章以滚动轴承结构有限元分析为主要内容，介绍了有限元的理论基础，以ansys为工具从结构受力出发，寻找其故障原因。第四章，对滚动轴承结构有限元分析

11、。第五章，全文总结。第二章 滚动轴承的动力学理论分析2.1 概述早在1925年，b.l.new和h.d.taylor首次在转子试验台上观察到由于滚动轴承油膜引起的振动现象时，滑动轴承的动力特性即为人们所关注。随着研究的深入，滑动轴承的动力特性已经得到成熟并具有完整的理论体系。而滚动轴承结构比较简单，但是对滚动轴承进行理论分析则是一项比较复杂的工作。因此分析滚动轴承的特性需要建立比较实用数学模型。滚动轴承的动力学分析是研究轴承零件之间的运动和载荷关系。滚动轴承分析经历了三个发展过程，即静力学分析，拟静力学分析、拟动力学分析和动力学分析。静力学分析的代表是lundberg和palmgreen，50

12、年代提出的滚动轴承静力学分析方法忽略轴承的惯性载荷、摩擦力和润滑油的影响。拟静力学分析的代表是jones，他提出计算轴承速度和载荷的“沟道控制”理论，即滚珠在一个套圈滚道仅发生纯滚动而无自旋转忽略了滚动轴承的滑动和不对称。之后harris发展了jones的理论，分析模型中考虑了润滑油对滚动轴承的影响，使滚动轴承的研究进入了拟动力学分析阶段，到了二十世纪七十年代gupta、waters等发表了一系列滚动轴承动力学分析文章，分析中考虑了轴承速度变化和相应的惯性力影响。近年来，滚动轴承的模型和计算方法有了新的改进。而润滑的不确定性和滚动轴承运动规律的复杂性使研究结果不很显著。在旋转机械中，转子轴承系

13、统的动力学特性（即转子的变形，共振频率和临界速度）是关键。转子的动力学特性主要取决轴承的性能，轴承的刚度反映了转子轴承主要性能。在一般情况下，滚动轴承承受径向、轴向和力矩联合作用，内、外套圈将产生径向、轴向位移及相对倾角。这种弹性的相对位移量的大小关系到滚动轴承的使用性能。滚动轴承的刚度定义为轴承内、外套圈产生单位的相对弹性位移量所需的外加载荷。轴承刚度按照相对位移的方向分为径向、轴向和角刚度，按照运转状态又分为静刚度和运动刚度。低速下的运动刚度可以利用静刚度分析法，高速时惯性载荷使轴承刚度和静止状态不同。滚动轴承的刚度分析过程其实包括在滚动轴承的力学分析过程之中。通过对滚动轴承进行受力分析，

14、从中可以求解出轴承的刚度。刚度特性分析主要是分析轴承转速、接触角、预紧等因素对刚度的影响，以及刚度随此因素变化的规律，以便更好地为动力学分析服务。目前在滚动轴承运动学和动力学的发展和研究中，国外在高速转子的发展上，对于其核心轴承系统的相关理论和技术有充分的掌握。国内也积极的投入高速转子的相关研究上，取得显著成果。对于高速轴承刚度的计算方法和轴承动力学分析方法息息相关，目前多采用的方法是计算出载荷作用下轴承内、外套圈的变形量，就可推导出刚度。采用上述方法不够准确，因为滚动轴承在正常工作情况下，滚动体与内、外圈并非直接接触，而被一层与润滑油膜所隔开，这一层润滑油膜对滚动轴承的动力的、特性有着重要的

15、影响。2.2 滚动轴承的力学模型有两类常用于模拟滚动轴承性能的分析公式。静力学模型基于静力和力矩平衡方程，而运动微分方程的积分则构成了动力学模型。在静力学模型的平衡方程中，常将离心力和回转力矩作为外力来考虑，因此也常常将静力学模型视为拟静力学模型。历史上，取决于所考虑的性能参数，一直在使用着这两种类型的模型。2.2.1 拟静力学模型从数学上讲它是求解平衡非线性方程组的解。对于给定的轴承载荷，可以列出每一轴承零件的力平衡方程和力矩平衡方程组。计算滚动体角速度时要常采用运动约束假设。根据的给定的套圈角速度计算滚动体角速度时，要使用约束滚动体角速度的某些运动假设。如下图所示，设在任意一套圈上滚子只有

16、纯滚动，且只绕自身的对称轴转动，如假定滚子与外圈的接触点为p1，与内圈的接触点为p2，此两处均为纯滚动，外圈角速度为、直径为d；内圈角速度为、直径为de；滚子自转角速度为r、公转角速度为及滚子直径为db，则有方程： 即可以由套圈角速度计算出滚子自转及公转角速度 图2-1 滚子角速度 在中心轴向力作用下的滚动轴承，可以认为载荷由各滚动体平均分担；在径向不同（如图2-2）。根据力的平衡条件可以求出收载最大的滚动体的载荷为：图2-2 圆柱滚子轴承受力分布式2-2中 滚动轴承所受的径向力；为滚动体数目；上方程中第一式是点接触轴承的受力情况，第二式是线接触轴承的受力情况。角接触轴承受径向载荷时，会产生轴

17、向附加力，图2-3表示轴承下半圈第各球受径向力，由于轴承外圈接触点法线与轴承中心有接触角，通过接触点法线对轴承内圈和轴的法向反力将产生径向分力和轴向分力。各球的轴向分力之和即为轴承的附加力。按照一半滚动体受力进行分析，得：在计算轴承载荷分布、疲劳寿命与刚度时这种模型十分有效，并且由于一组解就能提供全部性能参数，因而计算量比较适中。这些解为动力性模型提供初始条件时，完全可以满足工程的要求，因此至今这种模型让在分析轴承的运动以及设计轴承时得到了广泛应用 图2-3 角接触轴承受力分布2.2.2 动力学模型2.2.2.1基本理论方程滚动轴承在承载运行工作时，会发生各种各样的瞬变情况，但是一般都满足如下

18、三种条件，因此我们首先做如下的基本约定：（1） 滚动体始终作平面运动，即滚子质心只作绕轴承中心的公转（设其旋转速度为）和滚子自身轴心的自转（设其转速为），此时滚子共有两个自由度。（2） 保持架做平面运动，此时其只有一个自由度：即保持架绕其轴心转动（设其转速为）。（3） 总自由度为2z+1，其中z为滚子个数。2.2.2.2 球轴承准动力学分析方法简述将研究对象（滚动球轴承）从工程实际中抽象出来，用其工矿参数和行为描述（建立运动学、动力学、弹性变形分析、数值分析等基础上）进行表述。1、轴承的工矿参数1） 轴承的几何特征2） 材料特征3） 工作参数4） 速度参数5） 润油参数6） 环境特征（温度）2

19、、球轴承的行为描述内圈相对于静止外圈的位移矢量钢球与滚道接触角钢球在滚道上的公转角速度，自转角速度钢球负荷分布、钢球与滚道、保持架间接触油膜厚度及油膜状态钢球动载荷、离心力、陀螺力矩钢球与内、外滚道椭圆接触区各种摩擦力钢球与保持架接触区各种摩擦力图2-4给出了球轴承五维外载与内外圈相对位移（轴承变形）在坐标系中的表示。 图2-4 滚动轴承五轴外载与形变的坐标表示滚动轴承的准动力学分析方法引入了以下假定条件：1、 轴承以正确的配合安装在几何理想与刚性结构的轴颈上和座孔内，轴承零件的工作表面具有理想的几何形状；2、 轴承的形变等于内、外套圈间的相对位移； 图2-5 钢球受滚道控制时的角速度矢量 另

20、外，a.b.jones采用的滚道控制理论还要对钢球进行约束，即假定球在被控制球道上，只有纯滚动，而在非控制滚道上既有滚动又有滑动，如图2-5所示。2.3 滚动球轴承的准动力学模型及求解2.3.1 球轴承内部几何关系 滚动轴承特别是几何关系比较复杂，这些几何结构因素与轴承零件的运动学、动力学密切关联，从而影响到轴承内部的负荷分布、应力与变形、刚度、摩擦、润滑、振动、噪声以及轴承寿命。例如，轴承内外套圈沟曲率半径的不同组合对球与滚道间的滑动起着重要的影响。本论文的分析对象为角接触球轴承，所以以下主要对该类轴承几何关系进行分析。1、主曲率和主曲率差函数不受负荷作用时，两物体接触于一点，这种状态称为点

21、接触。在图2.5中符号代表物体在接触点的一对主平面的主曲率，第一个下角标1代表钢球，2代表套圈滚道。第二个下角标i表示过轴承旋转轴线的主平面，ii与轴承旋转轴线垂直的主平面 图2-6 点接触的主曲率 则钢球和内圈接触点的主曲率：钢球与外圈接触点的主曲率：主曲率差函数：2、游隙与原始接触角的关系 图2-7所示为双半内圈角接触球轴承，可将双半内圈考虑为角接触球轴承内圈除去厚度h的垫片而成。 （a） 双半内圈球轴承的磨削垫片 （b）双半内圈球轴承垫片角 图2-7双半内圈球轴承根据几何关系可得： 上面两式表示了原始接触角与垫片角、轴承径向游隙的关系。显然，若为零，相当于普通角接触轴承。2.3.2 赫兹

22、理论与椭圆接触区一般来说，接触应力和变形的计算是滚动轴承分析的基础。在考虑滚动轴承内的负荷分布、刚度、润滑、摩擦、振动以及轴承寿命时，都必须首先计算接触应力和变形。接触应力对轴承的解除疲劳和磨损有重要的影响，在很大程度上决定着轴承的寿命。由于接触面很小，即使负荷不太大，接触应力也可能相当高。通常，滚动轴承内接触应力在2000mpa4000mpa之间。赫兹最早研究了两个弹性体的接触问题，在某些简化假设下求解接触面的压力分布及物体内的应力。计算结果和试验很符合，表达形式也较简单，至今仍然是滚动轴承应力计算的主要方法。根据赫兹理论，滚动体与内、外圈滚道接触区椭圆，表面压力符合半椭圆分布，如图2-8所

23、示。利用boussinesq给出的集中力作用于半无限空间界面上的弹性力学解，可求得椭圆接触面的几何中心上的压力为： 图2-8点接触椭圆表面压力分布 式中：a接触椭圆长半轴 b接触椭圆短半轴 q法向接触力有两个与a、b有关的重要参数，椭圆偏心率e、椭圆短半轴与长半轴比k，分别由下面两式定义。对于椭圆接触面上任意一点（x，y）压力，可表示为： 椭圆接触面长半轴a、短半轴b以及钢球与内、外滚道的弹性趋势尽量由下面三式求出： （式2-11）式中：下角标1表示钢球，2表示套圈滚道。 与椭圆偏心率e有关的系数，可表示为：（式2-12）式中：第一类完全椭圆积分 第二类完全椭圆积分为求解e值，引入辅助函数，可

24、以发现它是椭圆参数a、b的函数在球轴承中，接触椭圆的偏心率e一般为0.9左右，采用迭代法求解时，可取初值为0.99.求解上述非线性方程，将上式作为辅助函数，可求得e的数值解。再一步求出及其他椭圆接触区参数。2.3.3 钢球动负荷在高速运转的发动机中，轴承滚动体的高速效应已不容忽视，以下对高速球轴承及其钢球的动负荷进行分析。1 钢球离心力 钢球绕轴承轴线以公转速度高速旋转，由理论力学可知，钢球收到离心惯性力的作用。其方向背离公转圆曲率中心，大小由下式计算 （式2-16）2 钢球陀螺力矩 由高速轴承运动学可知，滚动体即绕自身轴线转动，又绕x轴作公转运动，根据理论力学，只要高速旋转物体的自转轴被迫在

25、空间改变方向（即发生强迫进动），就会产生陀螺力矩，出现陀螺效应。钢球所受陀螺力矩在钢球坐标系中有两个方向分量，由下面两式定义 （式2-17）2.3.4 球轴承运动学及准力学约束当角接触球轴承在高速、轻载条件下工作，且润滑良好，润滑剂处于非牛顿体状态，钢球与滚道接触处产生的摩擦力不足以克服陀螺效应，则钢球与套圈滚道会发生滑动。另外，由于钢球自旋运动，钢球与滚道接触面发生微观滑动。所以有必要对高速角接触球轴承进行运动学分析。钢球的运动分析是准动力学分析、弹性流体动力润滑分析的基础，此外，为简化计算，准动力学还要对轴承内部运动进行约束。轴承在高速旋转时，钢球除绕轴承轴线作公转外，还要作复杂性的三维自

26、转。将钢球自转角速度在坐标系各坐标轴上的投影相应表示为，如下图所示图2-9 钢球自转速度并有如下公式：（式2-19）1钢球的公转、自转、自旋在接触负荷作用下，钢球与套圈接触处为椭圆表面，hertz给出此椭圆表面的曲率半径： 为便于分析，设钢球中心固定，而外圈则以角速度旋转，方向与x轴重合。沿接触椭圆表面的长轴，最多有两点处于纯滚动，令其半径为。参见图2-8，在接触椭圆表面内任取一点，在外圈滚道的点处沿滚动方向的速度在钢球的点处沿滚动方向的速度 图2-10 钢球与外圈滚道的接触外圈滚道与钢球沿滚动方向的滑动取决于速度的差，可得外圈滚道与钢球沿滚动方向的滑动速度为： （式2-23）钢球自转角速度分

27、量引起的沿接触椭圆长轴方向的滑动速度（式2-24）由图2-10可以看出，钢球的角速度向量和以及外圈滚道的角速度，都有垂直于接触面的分量。因此，产生绕接触面的法线的旋转运动，即自旋运动。自旋运动的角速度为 （式2-25）利用在滚动半径，钢球的速度等于外圈滚道的速度，则有 （式2-26）类似的，如图2-11所示，对于钢球和内圈滚道接触的情况，可得 （式2-27）图2.11 钢球与内圈滚道的接触 （式2-28） 综合上述分析，考虑到外圈固定，钢球中心以角速度绕固定坐标系原点旋转，内圈以的绝对角速度旋转。根据上述关系式，并引用下列关系式（式2-29）于是，可通过内圈的绝对速度计算相对角速度钢球公转角速

28、度 钢球自转角速度 2 准动力学约束 a.b.jones准动力学理论认为，轴承在正常工作情况下，角速度远小于其他两个方向自转角速度分量，可忽略不计。此时滞后角为0，近似认为并令 内圈旋转时，钢球的公转角速度与内圈绝对角速度的比值为 （式2-34）当内圈旋转时，钢球自转角速度与内圈绝对角速度的比值为： （式2-35） 第三章 弹性流体动力润滑本章提出模拟滚动滑动接触中的润滑剂牵引性能的弹性流体动力学（简称“弹流”）模型。该模型由两部分组成：根据给定的低压区粘度温度压力关系计算润滑油膜厚度；基于高压区的润滑基本方程推断牵引力。关于后者，各种系数都是通过对牵引实验数据的最小二乘法分析计算得到的。在滚

29、动轴承中，润滑可防止金属接触，减小互相作用零件的摩擦与磨损，且在润滑剂为液体时对轴承起冷却作用，这些都是众所周知的事实。而润滑剂的牵引性能，则是模拟滚动轴承性能时值得考虑的重要因素。对于给定的工作条件，轴承的发热取决于各滚动滑动接触部位的牵引系数。滚动体/套圈界面的牵引力对滚动体的轨道加速度有很大的影响，而这一加速度又决定了滚动体/保持架碰撞的剧烈程度以及有关的保持架的不稳定性。在滚动体/套圈界面滑动过大的轴承中，所用润滑剂的牵引滑动性能对轴承的稳定性有着直接的影响。3.1 润滑牵引模型的一般考虑对于确定所考虑的润滑剂的牵引性能，确定滚动滑动接触环境中的压力温度粘度关系式问题的关键。但是，当接

30、触条件在很宽的范围内变化时，要确定这种关系是非常困难的。因此，人们不得不建立各种半经验的模型。下面，简单讨论典型接触的一般特点、润滑剂的性能已经产生的牵引力。3.1.1 动体/套圈接触区滚动体/套圈相互作用的典型接触区如图3.1所示。接触区分为三个部分：入口区润滑剂在该区“泵入” ，以在互相作用的表面间形成油膜；高压区，或称赫兹接触区油膜在该区形成，对于油膜的剪切产生牵引力；出口区可观察到典型的压力尖峰和油膜的颈缩。接触区的最小油膜厚度约为名义油膜厚度的70-75%。对于各种实际应用，牵引性能模型可只对入口区和高压区建立。由于润滑剂从入口区泵入高压接触区，根据入口区的润滑剂特性即可确定名义油膜

31、厚度。进而，可由润滑剂在高压区的性能确定净牵引力。这就是说，润滑剂在环境压力下的特性决定了名义油膜厚度，而其高压特性则决定了牵引力。因此，有必要了解润滑剂在高压和环境压力这两种条件下的性能。3.1.2 润滑剂流变学模拟有润滑的接触时，润滑剂粘度随温度和压力的变化是所需的基本关系。已了解大多数润滑油的一些一般特性，如其粘度随温度上升成指数减小、随压力增大成指数最大。然而，这些变化的细节却因润滑剂的不同而异，因此，可能找不到在很宽的工作环境范围内对各种润滑剂普遍适用的某种基本方程。但是，在一定的压力和温度范围内，可将粘度的变化用下列式子之一近似： （式3-1） （式3-2） 图3.1 弹流接触区示

32、意图 式中，为压力（高于环境的压力）和温度下的粘度，为参考温度和环境下的粘度；和分别称为压力粘度系数和温度粘度系数。上述两式对计算油膜厚度和牵引力很方便。式3-1对于低压区更为有效；而用式3-2则可方便地模拟高压区的性能。因此，常用式3-1计算油膜厚度，而用式3-2计算牵引力。应当注意的是，系数和的值在低压和高压区有可能截然不同，此外，还须留意这两个式子中的单位。3.1.3 典型的牵引滑动性能正如后面将要证明的，可用图3-2表示一般牵引性能与相互作用的套圈和滚动体之间的相对滑动速度的关系。如图3-2所示，起初，牵引系数随着滑动速度的增大而增大；而在较高的滑动速度下，随着润滑剂中的剪切发热变得显

33、著，牵引系数将达到最大值；此后，随着滑动速度的进一步增大，牵引系数又开始减小。对一些相互作用用下式模拟固体润滑剂也观察到了服从这种一般形式的关系： （式3-3）式中，k为在滑动速度u下的牵引系数，a、b、c和d为特定润滑剂的系数。在有意义的工作条件范围内，根据实际牵引数据来计算系数a、b、c和d是非常方便的。算出这些系数后，即可用式（3.3）计算作为滑动速度的函数的牵引力。图3-2中的各种参数可表示为： 联立（式3-3a）、（式3-4b）和（式3-4c）三式可得： 此外，由（式3-3）和（式3-4c）可得： 图3-2 弹流接触中的典型牵引滑动性能将式（3.5）和式（3.6）带入以上两式，即得可

34、确定b和c的联立方程。消去（式3-7）中的c可得b的非线性方程： （式3-8）上式可用标准的二分法求解。因此，所以四个系数均可根据图3-2所给定的条件算出。 3.2 点接触基本参数和无量纲参数弹流问题涉及到多种学科（数学、流体力学、弹性力学、流变学、化学、传热学等等）。在分析这类问题时，必定涉及到多种不同的参数。以点接触球轴承为例，涉及的参数有以下几个方面：接触体的几何参数或外圈滚道半径；接触体的弹性参数有弹性模量及泊松比；润滑油的特性参数有在常温常压下的密度、粘度和粘压系数；载荷参数有椭圆接触区所承受的载荷；运动学参数有两接触体的表面速度。若考虑热弹流，还要涉及到润滑油的粘温系数，润油的比热

35、、导热系数、热膨胀系数等参数，以上这些参数称为有量纲参数。3.2.1 基本参数在分析弹流问题时，常把以上这些参数归类组合使数目减少，归类后的有量纲参数称为基本参数。点接触球轴承中，内、外圈与球弹流接触处涉及以下基本参数1 当量半径 （式3-9）2 当量弹性模量 （式3-10）3 表面速度（卷吸速度） （式3-11）4 最大赫兹应力 （式3-12）5 润油参数润滑油参数由参数组成3.2.2 无量纲参数a. 无量纲速度参数 （式3-13）式中卷吸速度 （式3-14）b.无量纲载荷参数 （式3-15）c.无量纲材料参数 （式3-16）d.椭圆率 （式3-17）e.速度方向角 （式3-18）另外还有两

36、个因变量参数f.无量纲膜厚 （式3-19）g.无量纲压力 （式3-20）也就是说，油膜厚度h和压力p与以上五个参数有关，即 （式3-21）3.3 油膜厚度计算及润滑状态判定3.3.1 点接触全膜弹流的油膜厚度公式1976年至1977年，harmrock和dowson相继发表了一系列论文，介绍了椭圆接触等温润滑问题的完全数值解。全面地分析了卷吸速度、载荷、材料性质、接触区椭圆率以及入口区阀油等因素对压力分布和油膜形状的影响，并根据三十多组算例给出点接触弹流膜厚公式：无量纲最小油膜厚度 （式3-22）无量纲中心油膜厚度： （式3-23）以上两式中，括弧内是考虑端泄因素的因子，其中含有椭圆率。最小膜

37、厚公式计算之值与数值计算结果的误差在5%以内；中心膜厚公式的误差在10%以内。上述公式是合速度与椭圆短轴重合的情况。1985年chittenden.r.j.等人对椭圆接触中卷吸速度与接触椭圆短轴不重合（夹角）的情况进行了数值计算，提出了以下两个公式：无量纲最小膜厚： （式3-24）中心膜厚： （式3-25）其中： （式3-26）研究表明，在中、低速条件下，根据等温弹流润滑公式计算的油膜厚度具有足够的准确性，但对于高速轴承应用场合必须考虑热效应和阀油效应对油膜厚度的影响。3.3.2 热效应在高速轴承运转过程中，在接触中心处的部分摩擦生热散失到滑油中并快速扩散到入口处，粘度降低，使油膜厚度减小。此

38、处介绍goksem等人提出的计算油膜修正系数的公式 （式3-27）3.3.3 阀油效应高速轴承常工作在油滑油供应不足的状态中，若油量不足，油膜入口区润滑剂量不能充分供给油膜，接触入口处不能提供一定的油膜压力，则膜厚减小。harmrock和dowson给出了由充分供油过度到供油不足的这一临界的值。 （式3-28）或 （式3-29）为沿滚动方向油膜入口点到油膜中心的距离，当时，属于供油充分的润滑；当时，则属于供油不足的润滑。在供油不足的情况下，最小油膜厚度和中心油膜厚度分别为 （式3-30） 接近阀油状态下，热效应对油膜形成的影响非常显著，这是因为缺少足够的润滑油把接触区内的摩擦热带走。因此，不能

39、仅仅把热效应和阀油影响两个油膜厚度减少系数简单相乘，而需要一个综合油膜厚度减少系数。goksem等推导的减少系数表达式为 （式3-31）其中 （式3-32）3.3.4 润滑状态轴承的润滑状态不仅受油膜厚度的影响，还与轴承接触表面的粗糙度密切相关。设两表面粗糙度的均方根值分别为，则表明合成的粗糙度为 （式3-33）为反映弹流润滑的性能引入弹流油膜参数（或膜厚比） （式3-34）当时，称为全弹流润滑，此时，金属表面之间被油膜完全隔开，无粗糙峰的接触，金属表面仅发生极轻微的磨损，这是理想的润滑状态。当时，属于部分膜弹流润滑，此时粗糙峰的碰撞比较频繁，粗糙度对润滑状态的影响较大，当时，将发生显著的磨损

40、，当时，属于边界润滑，通常在此范围弹流动压效应消失，接触表面发生损伤。图3.1表示了 三种润滑状态及润滑连续程度。 图3-3 润滑状态图第四章 滚动轴承结构有限元分析4.1 概述有限元法式结构分析的一种数值离散计算方法。用数学术语来说，就是从变分原理出发，通过分区插值，把二次泛函（能量积分）的极值问题化为一组多元线性代数方程来求救。从物理或几何概念来说，有限元法就是结构分析的一种数值计算方法，是矩阵法在结构力学和弹性力学等领域中的发展和应用。其基本思想是：（1） 假想把连续系统（包括杆系、连续体、连续介质）分割成数目有限的单元，单元之间只在数目有限的指定点（称为节点）处相互连接，构成一个单元结

41、合体来代替原来的连续系统。在节点上引进等效载荷（或边界条件），来代替实际作用于系统上的外载荷（或边界条件）。（2） 对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则（由力学关系或选择一个的简单函数）建立求救未知量与节点相互作用力之间的关系（力-位移、热量-温度、压力-电流）。（3） 把上述所有这种单元的特性关系按照一定的条件（变形协调条件、连续条件或变分原理及能量原理）集合起来，引入边界条件，构成一组以节点变量（位移、温度、电压等）为未知量的代数方程组，求解之就得到有限个节点处的待求变量。所以，有限元法实质上就是把具有无限个自由度的连续系统，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题转化为适合于数值

42、求解的结构型问题，从而达到结构分析的目的。4.2 轴对称载荷作用下四节点等参环元的单元刚度矩阵当外载荷为轴对称载荷时，旋转体上的所有应力、应变和位移都与无关，只是r，z的函数，任一点的位移只有两个方向的分量，即沿r方向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w，由于轴对称，方向的位移v恒等于零。因此，轴对称问题是标准的二维问题。在许多有限元分析软件中，由于三角形单元结构简单，又大都采用常应变，常应力单元，所以计算简单、使用灵活、易于编程，再加上三角形单元能够比较好地模拟计算区域的边界，因此被广泛地应用。但这种单元的计算精度不高，在应力变化很大的区域，比如应力集中的地方，或者网格不够密集的地方，将会产生

43、较大的误差。如果增加网格的剖分密度，又会使基本未知数的数目过多，增加了计算工作量，因此，为了提高计算精度和减少工作量，本论文采用四边形等参单元来计算位移场和应力场。四边形等参单元可以通过插值函数来构造曲边单元，用以拟合实际边界，这样可以更好地处理形状复杂的边界，并且采用四边形等参单元计算位移场和应力场时，其精度、收敛性和稳定性均优于三角形单元，也能更好地反映应力的变化规律。四边形等参元的插值函数一般采用双线性函数，这样可以保证有限元解的收敛性，通过总体坐标和局部坐标之间的变换，将总体坐标中的曲边单元变换为局部坐标中的矩形单元，以提高解的精度，但为了确保能进行等参变换，在总体坐标下所划分的四边形

44、单元必须是凸四边形，而不能出现一内角大于的四边形，否则将不能保证总体坐标和局部坐标的一一对应关系，同时，雅可比行列式在计算工程中也将出现负值，从而在所对应的单元中得出错误的结果。因此，在对计算模型进行剖分时，必须要保证所有单元为凸四边形，以保证计算结果的正确性。4.2.1 等参环元的位移函数当采用四节点等参环元时，在r-z平面归结为一个二维问题，单元取法如图4-1所示。 图4-1 等参环元的取法 图4-2 四边形变换为四节点正方形由等参环元的概念可知，在整体坐标r-z平面上的所有曲边四边形单元，都可以用坐标变换到平面上，形成正方形单元，如图4-2所示。设图4-2中单元节点位移为： （式4-1）

45、单元内任意一点处的位移为： （式4-2、式4-3）其中，为四节点等参元的形函数，表达式如下： （式4-4）r-z坐标系与坐标系的变换公式为： （式4-5）其中：为原曲边单元的节点坐标。旋转体上所受的轴对称载荷为： （式4-6）4.2.2 节点载荷 对于轴对称问题，其节点实际上是个节圆，因而节点载荷是作用在整个圆环形铰链上。例如，设节点半径为r，节圆上单位长度的作用的载荷为（径向）和（轴向），计算中采用的节点载荷，径向应为，轴向应为。设单位体积内的体积力为： （式4-7）由参考文献【34】，则有 （式4-8）当体积力为常数时，被积函数可以近似的取为平均值，则有， （式4-9）对于旋转机械，离心力，其中是旋转角速度