【真题】北京市101中学高二（上）统练数学试卷（解析版）

1、2015-2016学年北京市101中学高二（上）统练数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）a9m25b8m25c16m25dm82已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）abcd3已知椭圆+=1上的一点m到焦点f1的距离为2，n是mf1的中点，o为原点，则|on|等于（）a2b4c8d4直线y=kx+1（kr）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（）a（0，1）b（0，5）c1，5）（5，+）d（1+）5已知f1、f2是椭圆的两个焦点，满足=0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）a（0

2、，1）b（0，c（0，）d，1）6已知f1（4，0），f2（4，0），又p（x，y）是曲线+=1上的点，则（）a|pf1|+|pf2|=10b|pf1|+|pf2|10c|pf1|+|pf2|10d|pf1|+|pf2|107过点a（11，2）作圆x2+y2+2x4y164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）a16条b17条c32条d34条8设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）abcd二、填空题共6小题9已知直线5x12y+a=0与圆x22x+y2=0相切，则a的值为10已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，

3、离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为11椭圆+=1的焦点为f1、f2，点p在椭圆上，若|pf1|=4，则|pf2|=，f1pf2的大小为12已知p为椭圆+y2=1上任意一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，则|pf1|pf2|的最大值是，|pf1|2+|pf2|2的最小值是13在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是14设f1，f2分别为椭圆+y2=1的焦点，点a，b在椭圆上，若=5；则点a的坐标是三、解答题共3小题解答应写出文字说明、演算步骤或证明过

4、程15已知圆c：x2+y24x6y+9=0（i）若点q（x，y）在圆c上，求x+y的最大值与最小值；（ii）已知过点p（3，2）的直线l与圆c相交于a、b两点，若p为线段ab中点，求直线l的方程16已知椭圆c： +=1（ab0）的离心率为，其中左焦点f（2，0）（1）求椭圆c的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆c交于不同的两点a，b，且线段的中点m在圆x2+y2=1上，求m的值17在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积

5、相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由2015-2016学年北京市101中学高二（上）统练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）a9m25b8m25c16m25dm8【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，m+925m0，解得8m25故选：b2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍可知a=2b，进而可求得c关于a的表达式，进而根据求得e【解

6、答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，a=2b，椭圆的离心率，故选d3已知椭圆+=1上的一点m到焦点f1的距离为2，n是mf1的中点，o为原点，则|on|等于（）a2b4c8d【考点】椭圆的简单性质【分析】首先根据椭圆的定义求出mf2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果【解答】解：根据椭圆的定义得：mf2=8，由于mf2f1中n、o是mf1、f1f2的中点，根据中位线定理得：|on|=4，故选：b4直线y=kx+1（kr）与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为（）a（0，1）b（0，5）c1，5）（5，+）d（1+）【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】求出直线结果的定点，利用直线

7、与椭圆恒有公共点，列出不等式组求出m的范围【解答】解：由于直线y=kx+1恒过点m（0，1）要使直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点，则只要m（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上从而有，解可得m1且m5故选：c5已知f1、f2是椭圆的两个焦点，满足=0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）a（0，1）b（0，c（0，）d，1）【考点】椭圆的应用【分析】由=0知m点的轨迹是以原点o为圆心，半焦距c为半径的圆又m点总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，m点的轨迹是以原点o为圆心，半焦距c为半

8、径的圆又m点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：c6已知f1（4，0），f2（4，0），又p（x，y）是曲线+=1上的点，则（）a|pf1|+|pf2|=10b|pf1|+|pf2|10c|pf1|+|pf2|10d|pf1|+|pf2|10【考点】两点间的距离公式【分析】根据题意，曲线表示的图形是图形是如图所示的菱形abcd，而满足|pf1|+|pf2|=10的点的轨迹恰好是以a、b、c、d为顶点的椭圆，由此结合椭圆的定义即可得到|pf1|+|pf2|10【解答】解：f1（4，0），f2（4，0），满足|pf1|+|pf2|=10的点在以f1、f2为焦点

9、，2a=10的椭圆上可得椭圆的方程为，曲线表示的图形是图形是以a（5，0），b（0，3），c（5，0），d（0，3）为顶点的菱形由图形可得菱形abcd的所有点都不在椭圆的外部，因此，曲线上的点p，必定满足|pf1|+|pf2|10故选：c7过点a（11，2）作圆x2+y2+2x4y164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）a16条b17条c32条d34条【考点】直线与圆的位置关系【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y2）2=132，圆心（1，2），半径r=13过点a（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分

10、别只有一条）还有长度为11，12，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+215=32条故选c8设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）abcd【考点】椭圆的简单性质【分析】设点p在x轴上方，坐标为，根据题意可知|pf2|=，|pf2|=|f1f2|，进而根据求得a和c的关系，求得离心率【解答】解：设点p在x轴上方，坐标为，f1pf2为等腰直角三角形|pf2|=|f1f2|，即，即故椭圆的离心率e=故选d二、填空题共6小题9已知直线5x12y+a=0与圆x22x+y2=0相切，则a的值为18或8【考点】点到直线的距离

11、公式；圆的标准方程【分析】求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出a的值【解答】解：圆的方程可化为（x1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得，所以a的值为18或8故答案为：18；810已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为【考点】椭圆的标准方程【分析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为【解答】解：由题设知，2a=12，a=6，b=3，所求椭圆方程为答案：11椭圆+=1的焦点为f1、f2，点p在椭圆上，若|pf1|=4，则|pf2|=2，f1pf2的大小为12

12、0【考点】椭圆的简单性质【分析】第一问用定义法，由|pf1|+|pf2|=6，且|pf1|=4，易得|pf2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解【解答】解：|pf1|+|pf2|=2a=6，|pf2|=6|pf1|=2在f1pf2中，cosf1pf2=，f1pf2=120故答案为：2；12012已知p为椭圆+y2=1上任意一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，则|pf1|pf2|的最大值是4，|pf1|2+|pf2|2的最小值是8【考点】椭圆的简单性质【分析】借助于椭圆的定义得|pf1|+|pf2|=2a，设|pf1|=m，|pf2|=n，利用基本不等式的性质即可|pf1|p

13、f2|的最大值利用pf1|pf2|的最大值，即可得到的|pf1|2+|pf2|2的最小值【解答】解：由题意：椭圆+y2=1，可得a=2，p时椭圆上任意一点，f1，f2是椭圆的两个焦点由椭圆的定义得|pf1|+|pf2|=2a，设|pf1|=m，|pf2|=n，即m+n=2a=4，m+n，当且仅当m=n时取等号所以：mn4即|pf1|pf2|的最大值为4|pf1|2+|pf2|2的=m2+n22mn=8当且仅当m=n时取等号所以|pf1|2+|pf2|2的最小值8故答案为：4，813在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，

14、1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系【分析】由于圆c的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可【解答】解：圆c的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，即圆c是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，只需圆c：（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可设圆心c（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：14设f1，f2分别为椭圆+y2=1的焦

15、点，点a，b在椭圆上，若=5；则点a的坐标是（0，1）【考点】椭圆的简单性质【分析】作出直线f1a的反向延长线与椭圆交于点b，由椭圆的对称性，得，利用椭圆的焦半径公式及向量共线的坐标表示列出关于x1，x2的方程，解之即可得到点a的坐标【解答】解：方法1：直线f1a的反向延长线与椭圆交于点b又由椭圆的对称性，得设a（x1，y1），b（x2，y2）由于椭圆的a=，b=1，c=e=，f1（，0）|f1a|=|x1|，|f1b|=|x2|，从而有： |x1|=5|x2|，由于x1，x2，x10，x20，即=5=5 又三点a，f1，b共线，（，y10）=5（x2，0y2）由+得：x1=0代入椭圆的方程得

16、：y1=1，点a的坐标为（0，1）或（0，1） 方法2：因为f1，f2分别为椭圆的焦点，则，设a，b的坐标分别为a（xa，ya），b（xb，yb），若；则，所以，因为a，b在椭圆上，所以，代入解得或，故a（0，1）方法三、由e=|，=5，e=，cos=，sin=，k=tan=，由，即可得到a（0，1）故答案为：（0，1）三、解答题共3小题解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15已知圆c：x2+y24x6y+9=0（i）若点q（x，y）在圆c上，求x+y的最大值与最小值；（ii）已知过点p（3，2）的直线l与圆c相交于a、b两点，若p为线段ab中点，求直线l的方程【考点】点到直线的距离公式；直

17、线与圆相交的性质【分析】（i） 设 x+y=d，d取最值时，圆和直线 x+y=d相切，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径求得d 值，即为所求 （ii） 由题意得 cpab，由 kcp=1，可得 kab=1，点斜式可求直线l的方程【解答】解：圆c：（x2）2+（y3）2=4，圆心c（2，3），半径r=2，（i）设 x+y=d，则由圆心到直线x+y=d 的距离等于半径得 ，x+y最大值为，最小值（ii）依题意知点p在圆c内，若p为线段ab中点时，则cpab，kcp=1，kab=1，由点斜式得到直线l的方程：y2=x3，即 xy1=016已知椭圆c： +=1（ab0）的离心率为，其中左焦点f（

18、2，0）（1）求椭圆c的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆c交于不同的两点a，b，且线段的中点m在圆x2+y2=1上，求m的值【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆c的方程（2）设点a、b的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段ab的中点为m（x0，y0），由消y得，3x2+4mx+2m28=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值【解答】解：（1）由题意，得解得椭圆c的方程为（2）设点a、b的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段ab的中点为m（x0，y0），由消y得，3x2+4mx+2m28=0，=968m20，2m2=，点m（x0，y0）在圆x2+y2=1上，17在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（1，1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于（）求动点p的轨迹方程；（）设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式【分析】（）设点p的坐标为（x，y），先分别求出直线ap与bp的斜率，再利用直线ap与bp的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点p