二次根式训练经典题目汇总

1、二次根式的混合运算二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法 法则：向小向d 6之0),即两个二次根式相乘，根指 数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数 )(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 二m 出,出， q& 之 q 町之 0,饱之0, ， %2口)若二次根式相乘的结果能写成 力的形式，则应化简，如 瓦 .知识点二、积的算术平方根的性质 疯=而辰 之工 心),即积的算术平方根等于积中 各因式的算术平方根的积.要点诠释：21.在这个性质中，a、b

2、可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 之0, 520才能用此式进行计 算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等 式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.(3)作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简(4)步骤：对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式利用积的算术平方根的性质 而=而痴缶之0, $之。)利用(一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)即被开方数中的一些因式移到根号外被开方数中每个因数指数都要小雨 2(5)被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点三、

3、电= 0, h 8二次根式的除法 法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(3)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中230,占,因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最 后结果中分母不能带根号.a c)知识点四、商的算术平方根的性质国w 诟,即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：(1)利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问 题.(x a u)(2)步骤利用商的算术平方根的性质 臼 依 或分别对，a,

4、利用积的算术平方根的性质化简分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化(3)被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必 须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2,即每个因数或因式从次数只能为1次.2 .把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成

5、假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3 .把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或 因式.知识点六、同类二次根式1 .定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式 就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式， 必须先将二次根式化成最简二次根式，

6、再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2 .合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与第2页共27页整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知识点七、二次根式的加减一二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式， 再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加

7、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法 则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式， 把 同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算圉二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减， 有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次 式之和或

8、差，或是有理 式. 规律方法指导国二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减 .(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：j口后(也 m 0, a 0)亚飞b二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析圉类型一、二次根式的乘除运算 也口1、计算右出;匕又国;解：/x0二e；后=7 = 3x3 =9但第3页初；3义k .a /后=心共27页(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.3、化简便可直接得出答案.(1)加乂 16 ;(226 ；(3)41 乂100 ；(4)“蚊；(5)用思路点拨：利用短二而而必二)直接化

9、简即可.解：(1) 一足16 =7? x阮=3x4=12; (2)j16x81 二加=4x9=36; (3)花 1乂1 =屈x、=9m0=90;四7=厚#7 =耳点眼 =3xy(5) , = - : =x；=3；.举一反三【变式11判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)jt)x2修第=4x石器=4石/=4巫=8矽解：(1)不正确.改正： &y149) =749 =必=2 x3=6;(2)不正确改正:4、化简:第24页共27页r = gg 09 i 0)思路点拨：直接利用福就可以达到化简之目的.巨电=更解：(1)；1=.- (2)6463五透二举一反三【变式11思路点拨:且x为偶数，求

10、(1+x)已知& 二点，只有aq b0时才能成立.因此得到9以方0且乂-60,即6x0解：由题意得?-60,即- 6x9, =(1+x)，=/一丁当 x=8 时,原式的值=”=6.5、计算(1)相(3 鹏+翼)v 2城(m0, n0)；(2)-3(2)原式二-2(a 0).=-2+用)(喀一郡)铝解：(1)原式=-次3匹活储 =.mt - 76 a a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.匐 忆 叵-历；(2)马；(3)1 工；(4)j储 + 1 ; (5); (6),b +61 +9* ； 2 .思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就

11、看它是否满足最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 不满足其中任 何一条的二次根式都不是最简二次根式. 解：占，+1和7r都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：l、口 hj02的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；v3 和、尤的被开方数中都含 有分母；后艺和+的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的 似是而非”, 还要注意其中的 似非而是，特别象j诵 这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.场. 谷.”威；（4）3 9 0）； :

12、思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及-q = ia二）进行彳t简.启短二，原了r二好7 .屉=3厘后.?类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式“的瓦和力t + 6是同类二次根式，那么小b的值是（）a.a=2, b=1b.a=1, b=2c.a=1, b=-1d.a=1, b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同4二14解之，得u = 1 ,故选d.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2; (2)被开方数相同；由此可 以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.e /i举一反三【变式1】下列根

13、式中，能够与j值合并的是()a.27b.诵c.v49d. 11思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数 是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并 .-v/18 - 372,叫历二 3后，口二 g,二1二4解：心 4 v49 1 1150 30 ib合并，故选b.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式”3+为与根式j勿八是同类二次根式，求a、b的值.思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；？事实上，根式面=可 不是最简二次根式，因此把后工不屈 化 简成|b|才由

14、同类二次根式的定义得 3a-b=?2, 2a-b+6=4a+3b.解：首先把根式 屈可？7 化为最简二次根式：-1+6/ =6&-1+。)=|b| 也-64口十3占二勿一 3+6%+48=6由题意得 1%一”=2，-2 , a=i, b=i.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+ 思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最 简二次根式进行合并.解：(1)4+? =2/：+3=(2+3)心=5：(29,j 1 =4- -8- =(4-8)- =-4 -总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并举一反三【变式11计算(1)3师-9 +3魇;（2）（

15、 1 +，：）+（.，-、“）；(3)1一1解：(1)3 j ； -9、：+3 / =121-31+6一 =(12-3+6)一 =151；=?+4 围2厂 厂j1-【变式2已知表=2.236求（神 -7 5 ）-（+ 5）的值.（结果精确到0.01）34121 j_解：原式=4正-弓 眄-5也_5 拈工期 m x 2.236 0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算：（1）（戊+两点(4n-3m )攵血.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，？所以直接可用整式的运算规律.解：（1）（&+的）/=n/+g一=巫+用=3上+2直；(4m-3上)-2 =4而攵6-3值电陋=26-3 .11

16、、 计算(1)(石 +6)(3-拈);(2)( 反 + /)( 而）.（ 3 ）(2)( -+ j l )+( j ：-/-)= j+ ,.：+ 1三-、：=4+2 -/_ +2.，- j=6+,广；20002001v3 2gy/3 2 思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：(1)(/+6)(3-/)=3/-(后)2+18-6/=13-3岔;(2)( ; j + / )(、- -* )=( )2-( )2=107=3.(3)略|i版后 p p类型六、化简求值 12、已知 4x2+y2-4x-6y+10=0,求(？+y2)-(x2vx -5xt 1)的化思路点拨：

17、本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0,即jx=2 , y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，？再合并同类二次根式，最后代入求值.解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 .(2x-1)2+(y-3)2=0x=之,y=3=2x+ j 1 -x - +5 x=x 1 +6 j 11 q ”厂当 x= 2 , y=3 时，原式=22 +6、2=4 +3j6 .举一反三【变式11先化简，再求化(6x“x +*)-(4ys +而4)，其中x=2 , y=27.解：原式=6历+3而-(4而+6历)=

18、(6+3-4-6)历=-血，当x=上，y=27时，原式=-、2=_/.【变式2.已知x=啦+1, 求(仔1一)的化x x x 2x 1 x类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cmk30cm长方体玻璃容器中装满水，？现将一部分水倒入一个底面为 正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm,铁桶的底面边长 是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为 x,贝u x2 m0=30 30 20, x2=30 m0 2,x= 而沟x72 =30忘.答：铁桶的底面边长是306 厘米.14、如图所示的rtzabc中，/ b=90 ,点p从点b开始沿ba边以1厘米 /?

19、秒的速度向点a移动；同时，点q也从点b开始沿bc边以2厘米/秒的 速度向点c移动.问：几秒后4pbq的面积为35平方厘米？ pq的距离是多 少厘米？（结果用最简二次根式表示）15、探究过程：观察下列各式及其验证过程.(1)2通过上述探究你能猜测出：av-1 =(a0),并验证你的结论.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然 后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.【变式1】对于题目 化简求值：- + j1 a2 2,其中a=1，甲、乙两个学生的解答不同.a . a25112c 1/1、211_249甲的斛答 th: 一 +a 2 = 一 + *( a

20、) = 一 + a a a aaa aa a5乙的解答是： 1+、口a2=工 +/(1 a)2 =1+a 1 =a=- aa2a , a a a 5谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1二次根式：时,1.使式子有意义的条件是。2.当x 2.1 2x有意义。3 .若,有意义，则m的取值范围是 m 1是二次根式。5 .在实数范围内分解因式：x4 9 6 .若口 2x ,则x的取值范围是。4.当 x 时,5x2 2怎 2 。7 7.已知j x 2 2 2 x ,则x的取值范围是。8.化简：jx2 2x 1 xp1的结果是。9.当1 xp 5时，10.把aj 1的根号外的因式移到根号内等于。11.

21、使等式x x 1 x 1jx 1g/x 1成立的条件是。12 .若a b 1与石2b4互为相反数，则 a b 2005 13 .在式子jx x f 0 ,衣方7 y( )a. 2个 b. 3个 c. 4个2 ,/-2x xp 0 ,3/3,vx2 1,x y 中，二次根式有14 .下列各式一定是二次根式的是（d. 5个) a. :b. 3 2mc. .a2 1d.15.若 2pap3,则 j2 a 2 j a 3 2)a. 5 2ab. 1 2ac. 2ad.2a 116.若 a j a2a.b. a2 2c.d.a217.若 a1,贝 u jia化简后为（a.b. 1 a 1 ac.d.18

22、.能使等式六成立的x的取值范围是（,x 2)a. x 2b.c.xf 2 d. x 2)a. 0 b. 4a 2 c. 2 4ad.19.计算：,2a 1 2 j 1 2a 2的值是(2 4a 或 4a 220.下面的推导中开始出错的步骤是()q 2 ,3 22 3,1212 32 2 3 .12l 22 32、3l l l l l l 32 2llllllll 4a. 1 b. 2 c. 3 d. 421.若枢y y2 4y 4 0,求xy的值。22.当a取什么值时，代数式v2a1 1取值最小，并求出这个最小值。23.化简：(1) , 2700;(2) 202-162;(3)唔(6) 4/3

23、2a3b4;(7)a4+a2b2；(8) jy；21.2二次根式的乘除1.当a 0, bp0时，tab3 。2.若j2m n 2和j33m 2n 2都是最简二次根式,则m ,n 。3.计 算： 叵8； 736 9 。4. 计 算：病3727 出。5.长方形的宽为石，面积为2品,则长方形的长约为 （精确到0.01）。6.下列各式不是最简二次根式的是（）a.a2 1b. .2x 17 .已知xy f 0 ,化简二次根式xjqy的正确结果为（、.y d.y8 .对于所有实数a, b ,下列等式总能成立的是（）_ 2a. 、a b a bb. a2 b2aba b 2 a b9 .2/3和3石1的大小

24、关系是（）a. 2、3 f 3,2b. 2、.3 p 3.2c.能确定10.对于二次根式jx2 9,以下说法中不正确的是（）c. -2bd. . oiy)a. y b.c.c.1a2b22 a2 b2d.273372d.不a.它是一个非负数d.它的最小值为311.计算：1 .2 3.23 .5 ab 4 ,a3b a 0,b 0b.它是一个无理数c.它是最简二次根式4 .、,a3b6,ab af 0,bf 012.化简：1 .普 a 0,b 013.把根号外的因式移到根号内:1.552 . 1 x21.3二次根式的加减1.下列根式中，与 向是同类二次根式的是（）a.疝d. 182.下面说法正确

25、的是（）a.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式类二次根式c. 与不是同类二次根式指数为2的根式3.与va吊不是同类二次根式的是（） a.3b. 78与疝是同d.同类二次根式是根c.d. a34.下列根式中，是最简二次根式的是（)a. 、.02bb.12a 12bc.x2 y2d. 5ab25.若 1p x p 2 ,贝u 744xx2 ，x2 2x 1化简的结果是a. 2x 1b.2x 1 c. 3d. -36.若 j18x 2/10)a. 4b.c. 2d.47.若石的整数部分为x小数部分为y ,则73xy的值是（a.3、3 3b.,3c. 1 d. 38.下列式子中正确的是（a. .

26、5 、2.7)b. 一 a2 b2 a bc. a、xd.-68.3、.4 .329.在亦无,m,而中,与也是同类二次根式的是10.若最简二次根式av2a 5与j3b 4a是同类二次根式,则a ,b11. 一个三角形的三边长分别为 j8cm,52cm, g8cm ,则它的周长是 cm。12.若最简二次根式“a21与6aa213.已知x2、3.2, y33 -.2,则 x3y1是同类二次根式，则a3 xy14.已知x2000 一15. 、.3 2 g .32001216.计算:.2,1251.、48 54 2_2.7 4、, 3 7 4.33 5 1_ 2_ 2_ 2_ 2.1 、21 , 31

27、 、21 、.322、a1.、a 1一、aajy2 8y 16。17 .已知：a 1 1后，求a2 4的值 aa18 .已知：x, y为实数，且y p jx 1x 3 ,化简：yjx 3y 1x2 9|x 119.已知-j0,求土的值。 x 3y 1一.解答题（共30小题）1 .计算：（1） |-1|+ （-2） 2+ （7-施 0-（5：2 . （1）计算：（2） 0_ | - g +/2| x（ _ -=）3 .化简：（1）啦乂 （-停;4 . （1）计算：v18-+11-1+（1） 15 .化简或解方程组：（1）（遮+北），（乃-赤）我+-6 . （1）计算春50 一喂1:收；1健-祗

28、/+/h.;(2)化简：(1+) + (2x-li)(2) (x+y) 2- (x-y) 2.(2)二:(a-逆一纥. aai4b+y=l0 (2)分解因式(x+2) (x+4) +x2-4.7.化简：(1)4-瓜-0) v220-(2) -.注 一 1 a-1a+18.（1）计算阮-忐一号+（爬-1）.+1 : 3一（2）解不等式组可t4 （肝4）3 （肝6）10.计算：(1) 5&+ vs 7v1s;（病二-回喘）、历.11 .化简下列各式：（1）（7一一11:/-x - 1k+11 一瓦(2)化简：(j-) ?y-12 . （1）计算：（-2）。子卜 弓）（2）化简：高丁平14.计算：(

29、1) t十(立 -2)-5|十(g) 7(2)(2) 2ru -6b (4)a+- (五+i)(a-1)5. (1) - 72+2x ( 3) 2+ (-6) +(-5) 216 .计算与化简(1)+后 vba+wsoa3 -y/18a3 -17 .计算：（1）（业 1）（我-1） +2） % （2）t，折+而（折d -i行1十18 .计算：（1）v18-7+ （守（1四）2而号粕-唔）19 . （1）计算%x（量-j）; （2）计算（j 2 一士）2目口 一 b亡mb b - a(1)(舟班)x加(2) (5+五) 66一22.(1);,(23 . (1)计算：|-2|- (2-q 0+ (

30、-)2;(2)化简：心心2)(4)计算：(x+2) (x 2) +x (3-x)24 .计算:(1)丽丽-喇(2)喇(2-技之叫向。+|斤3| .25.计算:第26页共27页 反-1)(3&+1) -(3应-1) 226.计算：(1)(近-1) 2-1273-3721-(-如)3;(色a3x4 - 0.9ax3)至ax3. 55(a+1) 2-2 (a+1) (a- 1) +3 (a- 1) 228.计算：(1) ws -w43（2）、麻乂一折乂士29.解下列各题:30.化简:第28页共27页（1）解方程组:（2）化简:7is+ （兀 -1） 一唱弓（的-1）(1)历+/-*-促)-日（会-唱

31、-.）第34页共27页二次根式的混合运算参考答案与试题解析()1=1+4+1 - 3=3;一.解答题(共30小题)解：(1) | 1|+ ( 2) 2+ (7 九)02 2) 我点 祗峦再 加+2倔4城.2.解：(1)原式=1 | 2班| x(-=1 - ( 2 - vs) x(-=1+/2 - 1=/2 ；(2)原式3 .解：(1)原式=jh-ji, (1 分)=4-2, (2 分)=2 (3 分)(2)原式=x2+2xy+y2-x2+2xy-y2, (2 分)=4xy (4 分)4,解：原式=如-a+&-14| (4 分)=31+1 (5 分)222(2)三小逆 b j l)解：原式-9;

32、至二(2分)3aaa(2)由-得：y=3, .把y=3代入得：x=-2, .方程组的解为:11尸36,解：(1)原式=i约计氏-纣十崛=时刎1=2 ;(2)原式=(x+2) (x+4) + (x+2) (x-2) = (x+2) (x+4) + (x-2) = (x+2) (2x+2)=2 (x+2) (x+1)._7 .解：(1)原式=3-3t = -1;(2)原式二卫&？ i+1)_ta_lj -1=a+1- 1=a.a-1a+18 .解：(1)原式=3-4 孥一乐+1=3/j 也一&+1=6+1;3 / /(2)， 55由得 x+1 3 x,即 x1;由得 4x+163x+18,即 xt (k+4)3 (x+6)2;不等式组的解集为1x9=-49+18-54=-85;(2)解：原式=4/3-6-2=4 :；-2. -2=2. ； 2.a 一；16.解：(1)原式=(4231az(2)原式=2a