二次函数知识点总结及典型例题

1、浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果 y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数。y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像b一次函数的图像是一条关于x 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点作图法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出

2、这两个交点a,b及抛物线与y轴的交点c,再找到点c的对称点d。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点c及对称点d。由c、m、d三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点a、b,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】、已知函数y=x2-2x-3 ,(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：(3)根据第(1)题的图象草图，说 出x取哪些值时，y

3、=0 ;y0知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀般两根三顶点(1) 一般般式：y ax2 bx c(a,b,c 是常数，a 0)两根当抛物线y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应的一元二次方程2ax bx c 0有头根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式2axbx c a(x x1)(x x2),二次函数 yax2 bx c可转化为两根式10y a(x x)(x x?)。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。(3)三顶点顶点式:y a(x h)2 k(a,h,k 是常数，a 0)当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简

4、洁。【例1】、抛物线y ax2 bx c与x轴交于a （1, 0）, b （3, 0）两点，且过（-1, 16）,求抛物线的解析式。【例2】、如图，抛物线yax2 bx c与x轴的一个交点 a在点（-2, 0）和（-1,之间（包括这两点）0)是矩形defg上（包括边界和内部）的一个动点，则（1） abc（2） a的取值范围是0（或或【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点（0, 1）的是（）a. y = ( x - 2) 2 + 1 b , y = ( x + 2) 2 + 1 c , y = ( x - 2) 2 - 3 知识点三、二次函数的最值. y = ( x +

5、 2)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）b2an,4ac b2时，y最值it-如果自变量的取值范围是x1 xb x2,那么，首先要看是否在自变量取值范围2ax1x x2内，若在此范围内,则当x=b丁时，y最值2a4ac4ab2b;若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x x2时，y最大ax2 bx2 c ,当x x1时,y最小2ax1bx1 c ;如果在此范围内,y随x的增大而减小，则当x x1时，y最大ax12 bx1 c,当 x x2 时,y最小2ax2【例1】、已知二次函数的图像（ 下列说法正

6、确的是（）a.有最小值0,有最大值3c.有最小值1,有最大值30x0a0(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸;(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸;(2)对称轴是x=顶点坐标是( b2ab2a，24ac b 、）;4a(3)在对称轴的左侧，即当 x上2a(2)对称轴是x=顶点坐标是( b2ab2a，4ac b24a)；(3)在对称轴的左侧,即当xw2ax的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随时，y随x的增大而增大，简记左减右增;(4)抛物线有最低点，当 x= &一时,2ay有最小b 时，y随x的增大而减小，简记左增右减;2a(4)抛物线有最高点，当 x= 一时，y有最2a24ac b但，y

7、最小值4a24ac b大值，y最大值4a2、二次函数 y ax2 bx c(a,b,渥常数,a 0)中，a、b、c的含义:a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上a 0时，图像与x轴有两个交点；当 =0时，图像与x轴有一个交点；当 0时y值随x值增大而减小的是（).a.b. y = x 1c.1 d. y = x【例6、若二次函数2y (x m) 1 .当 x w l时，y随x的增大而减小，则 m的取值范围是（知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线 y=axy x 23平移得到，则下列平移过程正确的是（）+bx+c的平移 2通常先将一般式转化成顶点式y a x hk ,再遵循左加右减，上加下减

8、的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减 去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。 y ax2 bx c沿y轴平移：向上（下）平移m （m0）个单位，y ax2 bx c变成y ax2 bx c m(或 y ax2 bx c m)当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或ax2 bx c ：向左（右）平移 m （m0）个单位，y ax2 bxy a(x、2m) b(xm) c)【例1】、将抛物线yx2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是2a y (x 2)2 c .

9、 y (x 2)2 d . yx2 2【例2】、将抛物线y=x22x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是【例3】、抛物线2y x可以由抛物线a.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位b.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位c.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位d.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【补】抛物线y=2x2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为知识点六、抛物线 y ax2 bx c中，a、b、c的作用（1） a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.（2） b和a共同决定抛物线对称轴的

10、位置 .由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线 x小，故：b 0时,2a对称轴为y轴；b 0 （即a、b同号）时，对称轴在 y轴左侧；b 0 （即a、b异号）时，对称轴在 y轴右 aa侧.口诀一左同，右异 （a、b同号，对称轴在y轴左侧）（3） c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,，抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, c）：c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 9 0.a【例1】、如图为抛物线 y ax2 bx c

11、的图像，a、b、c为抛物线与坐标轴的交点，且 o上0（=1,则下列关系中正确的是（）a. a+b=1b. a b=- 1c . b2ad. ac0 b . b0 c . c0【例3】、如图所示的二次函数 y ax2 bx c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） b2 4ac 0 ； （2）c1;（3）2ab0;（4）a+b+c2a;ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;a-2b+c0.其中正确的命题是 .（只要求填写正确命题的序号）”对称轴，则下列关系正确的是（【例6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的a. m= n, kh bm= n , k hm n, k= h知

12、识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式(浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆)1、两点间距离公式：如图：点a坐标为(xi,yi),点b坐标为(x2, y2),则ab22xix2yiv2(这实际上是根据勾股定理得出来的)2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中,a、b（x2, v2） , ab 中点 p 的坐标为（xp, yp）.由 xpxix2同理yp y丝，所以ab的中点坐标为(2yi间的距离，即线段 ab的长度为b两点的坐标分别为 a(xi,xp,得 xp 士上, 23、两平行直线的解析式分别为：y=kix+bi道与它平行的另一条直线的k值。4、两垂直直线的解析式分别为

13、：y=kix+biy=k2x+b2,那么y=k2x+b2,那么k1 = k2,也就是说当我们知道一条直线的kk1xk2=-1 ,也就是说当我们知道一条直线的值,就一定能知k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。(对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解)以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”【例i】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= - x2+2x+3与x轴交于a, b两点，与y轴交于点c,点d是该抛物 线的顶点.(i)求直线ac的解析式及b. d两点的坐标；(2)点p是x轴上一个动点，过 p作直线l /ac交抛物线于点 q,试探究：随着 p点的运动，在抛物线上是否存在 点q

14、,使以点a. p、q、c为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点q的坐标；若不存在,请说明理由.(3)请在直线ac上找一点m,使4bdm的周长最小，求出 m点的坐标.【例2】、如图，已知抛物线y= - x2+bx+c与一直线相交于 a( - i, 0), c(2, 3)两点，与y轴交于点n.其顶点为d. (i) 求抛物线及直线 ac的函数关系式；(2)设点m (3, m),求使mn+mdj值最小时 m的值；(3)若抛物线的对称轴与直线ac相交于点b,e为直线ac上的任意一点，过点e作ef/ bd交抛物线于点f,以b,d,e, f为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点e的坐

15、标；若不能，请说明理由；(4)若p是抛物线上位于直线 ac上方的一个动点，求 apc的面积的最大值.1 93 【例3】、如图，抛物线y x x 4与x轴交于a, b两点（点b在点a的右边），与y轴交于c,连接bc,以 42bc为一边，点 。为对称中心作菱形 bdec点p是x轴上的一个动点，设点 p的坐标为（m, 0）,过p作x轴的垂线l 交抛物线于点q（1）求点a、b c的坐标；（2）当点p在线段ob上运动时，直线l分别交bq bc于点m n。试探究m为何值时，四边形 cqmd1平行四边形，此时，请判断四边形 cqbm勺形状，并说明理由。（3）当点p在线段eb上运动时，是否存在点 q使力bdm

16、直角三角形，若存在，请直接写出q点坐标；若不存在，请说明理由。【练习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示, 间距为4 m,距地面均为1日 学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手1ms 2. 5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1. 5 m,则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示）（）a. 1 . 5 m b2、已知函数y1. 625 mc. 1. 66 m d . 1. 67 m2x 11 x0 32,则使y=k成立的x值恰好有三个，则 k的值为(x 51 x3a. 0 b. 1c. 2

17、d. 33. 二 次 函 数2,一一。y ax bx c的图象如图所示，则反比例函数a , ,一一y 一与一次函数y bx c在同一坐标系中的大致图象是（）4 .如图，已知二次函数 y x2 bx c的图象经过点（一1, 0）, （1, 2）,当y随x的增大而增大时,x的取值范围是5 .在平面直角坐标系中,将抛物线180。，所得抛物线的解析式是（).6 .已知axbx c的图像如图，1)2 2d- y (x给出下列是.（填写序号）抛物线与 x轴的一个交点为（3,0）；函数y ax2 bx c的最大值为6；11抛物线的称轴是 x 1;2在对称轴左侧， y随x增大而增大.8.如图，在平面直角坐标系

18、中,o是坐标原点，点1)2 4a的坐标是（一2, 4）,过点a作ab，y轴，垂足为b,连结oa. 2_.（1）求aoab的面积；（2）若抛物线y x 2x c经过点a.求c的值；将抛物线向下平移 m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括 4oab的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）. oab“一，一，1 2 ,一一小，一 ，、人 ，一、,一一八， ，一，1,一9、已知函数y x2 bx c的图象经过点 a （c, 2）,，这个二次函数图象的对称轴是x=3。题2目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 abcd是直角梯形，bc/ad, / bad= 9