广义逆矩阵及其应用

1、题目广义逆矩阵及其应用学 院专业通信与信息系统学 生学 号Word资料第一章前言 1第二章广义逆矩阵 2 2.1广义逆矩阵的定义 2 2.2广义逆矩阵的性质 3第三章 广义逆矩阵的计算 12 3.1 一般广义逆求解 12 3.2 Moore-Penrose 广义逆 16结论 19Word资料第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵，但是对于一般线性 方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在

2、数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用， 本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在 线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们 提出了下述关于逆矩阵的推广：（1 ）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，

3、他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔 （Moore）教授在1920年提出了任 意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣 和美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出 了穆尔（Moore）广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955 年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价 的广义逆矩阵定义，

4、因此通称为 Moore-Penrose 广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研 究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、 信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这 一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。第二章广义逆矩阵 2.1广义逆矩阵的定义、Penrose广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Pe nrose 定义。定义2.1设矩阵A Cmn，若矩阵X Cn m满足如下四个Penrose方程AXAA(i)XAXX(ii)(AX)HAX(iii)(XA

5、)HXA(iv) 中的一部分或全部方程，则称 X为A的一个广义逆矩阵。若X只满足(i)式，则X成为A的一个1-逆，可记为A1，所有满足1-逆 的X构成的集合记为A1 o若X满足四个方程中的第i,j, ,k个方程，则称X为A的 一个i, j, , k -逆，记为Ai,j, ,k，所有满足i, j, , k -逆的X构成的集合记为A i, j, ,k o二、常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有C4 C42 c3 c：=15 类，其中常见的有 A1，A 1,2，A 1,3，A 1,4，A 1,2,3,4 。定义2.2设有复矩阵A Cm n。若有一个n m

6、复矩阵X存在，使下式成立，则 称X为A的减号逆：AXA A(2.1)当A 1存在时，显然A 1满足上式，可见减号逆X是普通逆矩阵A 1的推广；另外， 由AXA A得Hh(AXA) A ，即ahxhah ah可见，当X为A的一个减号逆时，XH就是AH的一个减号逆。定义2.3设复矩阵A Cmn，若有一个n m矩阵X，满足：AXA A 且 XAX X称X为A的一个自反逆矩阵，记作为Ar，Ar满足Pen rose方程的(i)，(ii)式， 所以 Ar A1,2 o显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵X是矩阵A的1 -逆，即X A1 ,若 矩阵A也是矩阵X的1 -逆，即A X 1 ,则X为A的一个自反

7、逆矩阵。定义2.4设复矩阵A Cmn，若有一个n m矩阵X，满足：AXA A 及（AX）h AX ,则称X为A的最小二乘广义逆，记作A , A满足Penrose方程的（i） , （iii）式,所以 Am A1,3。最小二乘广义逆是用条件（AX）h AX对减号逆进行约束后所得到的子集。定义2.5设复矩阵A Cmn，若有一个n m矩阵X，满足：AXA A 及（XA）h XA，则称X为A的最小数广义逆，记作Am ， A满足Pe nrose方程的（i），（iv）式，所以 A A1,4 o显然，最小数广义逆也是减号逆的子集。若X满足全部四个方程，则称X为A的Moore-Penrose 广义逆矩阵，记为A

8、 。 2.2广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。定义2.6设矩阵A Crmn （r 0 ），如果存在一个列满秩矩阵F Crm r与一个行满 秩矩阵G C：n使得A FG，则称上式为A的一个满秩分解。定理2.1对任意矩阵A Crmn （r0），必存在着矩阵F Cm r和G C： n使A FG 。证明：由rankA r，对A进仃若干次初等仃变换后，可将A化为仃阶梯矩阵B，G其中rankG r。故存在若干个m阶初等矩阵的乘积P，使得PA B ,即A P 1B ,将 P 1 分块为P 1

9、F,M ,F Crm r , M Cm (m r),G 便有A F,M FG。0因F是可逆矩阵P 1的前r列，所以F是一个m r列满秩矩阵，G是r n行满秩 矩阵，故A FG是A的一个满秩分解。上式A FG是A的一个满秩分解，但是 A的满秩分解并不是唯一的。任意取一 个r阶非奇异矩阵B ,若A FG是一个满秩分解，则显然A FB B 1G也是A的一个 满秩分解。一、1-逆的性质定理2.2 设A Cm n，则A的Moore-Penrose 逆存在且唯一。证 设rankA r.若r=0，则A是m n零矩阵，可以验证n m零矩阵满足四个Penrose方程。若r0，则A有满秩分解分解A FG ,1 1

10、取X Gh GGh FhF Fh，则X满足4个Penrose方程，所以，X是Moore-Pe nrose 广义逆矩阵。设X , Y均满足四个Penrose方程，则Hh HhhHHHHHX X AX XX A XX AYA XX A Y A X AX AYXAY XA YA Y AHYHY YA Y Y综上所诉，A存在且唯一。A满足四个Penrose方程的所有方程，所以，A属于15类广义逆矩阵中的任 意一类。上面我们证明了 A的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。对任意的C ,定义为1, 0(2.4) 0, 0下面给出1-逆的一些性质。定理 2.3 设 A Cmn，B Cm n， C，贝

11、U(1) (A)H Ah1;(2) A(1) ( A)1；(3) 若 S和 T非奇异，则 T MS 1(SAT)1;1(4) rankA rankA ;(5) AA1和A1 A均为幕等矩阵且与A同秩；(6) R(AA)R(A), N(A(1)A) N(A), R(AA)H ) R(AH )；(7) A1 A In的充要条件是rankA n，AA1 Im的充要条件是rankA m ;(8) AB AB 1 A A 的充要条件是 rank(AB) rankA，B AB 1 AB B 的充要条件是 rank(AB) rankB。证 (1 )由A1A1，有AA1 A A，两边同时求共轭转置得AA1 A

12、H Ah ,即 Ah (A1)hAh Ah ,1 HH由定义知A1AH1。(2) A A1 A AA1 A A,由1-逆定义得，A1A1。(3) SAT T 1A1 S 1 SAT SATT 1A1S 1SAT SAT,由1-逆定义得,T 1A1 S 1 SAT1。111J/1(4) rankA rank AA rank AA A rankA ,故 rankA rankA 。(5) AA1 2 AA1 AA1 AA1 , 故AA 1为幕等矩阵，又由2A1 A A1 AA1 A A1 A ,故A1 A为幕等矩阵， 所以rankA rank (AA(1)A) rank(AA)rankA ,也即 r

13、ank(AA(1) rankA。 同理，rank(AA) rankA。(6) 由 R(A)R(AA) R(AAA) R(A)，得 R(AA 1 ) R(A)，类似的，由 N(A) N(A A) N(AA(1) A) N(A)，得 N A A N(A)。又因为，R(Ah )R(Ah (A(1)h ) R(AA)h)R(Ah (A)HAH) R(AH )，H所以 R A1 A R AH A。(7) 充分性：rankA n，所以，rank AAn，由a1 A为幕等矩阵且非奇异， 易知A1 AIn必要性：由 A1 A In，rank AAn，故 rankA n。Word资料另一式同理可证明(8)充分性

14、：R(AB) R(A), rank(AB) rankA, 所以，r(ab)R(A)。所以存在矩阵X，使A ABX，从而AB(AB)A AB(AB)ABX ABX A。 必要性：rankA rank AB(AB)1 A rank(ab) rankA，故 rank (AB) rankA。 另一式同理可证明。性质(5 )逆命题仍然成立，即定理2.4设m n复矩阵A，若存在n m矩阵X，使AX为幕等矩阵，且rank (AX ) rankA，则矩阵 X A1 0证明： AX 幕等，则 AX AX AX，而 R(AX) R(A),又 rank(AX) rankA，所以，R(AX) R(A)， 存在矩阵Y,

15、使得A AXY，有AXA AXAXY AXY A，即 X A1 o二、1,2 -逆的性质因为在Pen rose方程(1) (2)中，A和X的位置是对称的，所以X A1,2与 A X1,2是等价的，即A和X总是互为1,2 -逆。这与通常矩阵A的逆的逆是A本 身是一样的。定理2.5设矩阵Y,Z A1 ,又设X YAZ，贝UX A 1,2 o证明：Y,Z A1，则 AYA A , AZA A,AXA AYAZA (AYA)ZA AZA A ,XAX YAZAYAZ Y(AZA)YAZ YAYAZ YAZ X ,由上2式得，X A 1,2。定理2.6给定矩阵A，若X A1 ,则X A 1,2的充要条件

16、是rankX rankA。证明： 充分性：若X A1 ，贝U AXA A，且AX和XA幕等，rank (AX ) rank(XA) rank A，又 rankX rankA，所以，rank XA rankA rankX。由定理2.3得A X 1，所以，X A 1,2。必要性：X A1，则 rankX rankA，又X A 1,2，根据X为自反广义逆，有A X1，则rankA rankX 所以，rankA rankX。三、Moore-Penrose广义逆矩阵A定理2.2已证明对任意矩阵A Cm n，Moore-Penrose广义逆矩阵A存在且唯。Moore-Penrose 广义逆矩阵是满足全部

17、Penrose条件的广义逆矩阵，其必然有其特殊性，下面给出 Moore-Penrose 广义逆矩阵A的一些性质：定理2.7设矩阵A Cmn，则有(1) (A ) A ;(2) (Ah)(A )H ;(3) (AAh) (Ah)A;(AhA) A(Ah);(4) A Ah (AAh );A (Ah A)Ah ;(5) rankA rankA 。证明：广义逆所以，(1) 由定义，A和A的位置是对称的，即 A是A的Moore-Penrose矩阵，那么A就是A的Moore-Penrose 广义逆矩阵，又因为(A )唯一(A ) A。(2)令X(A)h，则有ahxahah ah ahHAA AAH，Hh

18、HHHxahxAAhAA AAAX，HHahxah AH HA A AHHAAhHAahx，H HHH HHHHHXAA AAAAAAAXA ，根据定义,(ah)X(A )H o(3)令XahA，则有aah X aahaah ah a aahA A A H A AAh AA AA AAh aA ,HHH HhHXAA X A A AA A A A A A A A AA A AA AAAh A ,AAH Xaah ahA A AH A HHAA AAHAAAA AA AA A A AH A AAH AH A AAHX,X aahahA AAhA H A AH AH HHHAA AAah ah a

19、 hahah a ah ah ah A aah X(AAh),根据定义及Moore-Penrose广义逆矩阵的唯一性知(AAh)X (Ah) a同理可证明，(AhA) A (Ah)(4) 令 X AH AAH ，贝U有AXAaah aahAaah aHAAHAAAA AAA AA A A ,XAXah aahaahaahahaahX ,HHh H.HHAXAA AAAAAAAXHHHHHHH.HXAA AAAA AAAAAAAXA ,根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知A X Ah (AAh )。同理可证明 A(AhA) Ah。(5) rankA rank AA A ra

20、nk AA rankA rankA rank A AA rank A A rankA ,故rankA rankA 。定理2.8给定矩阵A Cmn，则有1,41,3A A ， AA ，,其中，A1,3 A 1,3 , A1,4 A 1,4。证明：设X A1,4 AA1,3，则由定理2.5知，X A1,2，又因为AXA1,4 AA1,3 AAA1,3，AX HAA1,3 HAA1,3AXXAA1,4 AA1,3 AA1,4 A，XA HA1,4 AHA1,4 AXA所以，X A 1,2,3,4。又因为A 1,2,3,4只有一个元素，所以，X A第三章广义逆矩阵的计算广义逆矩阵在解线性方程组中有着重

21、要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首 先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。 3.1 一般广义逆的求解一、1-逆的求解定理3.1设矩阵A Cm n，有矩阵X Cn m且X A1，则A1 X Y Im AX In XA Z | Y,Z Cn m 0（3.1）证明：因为对任意Y,Z Cn m，令 M X Ylm AX ln XA Z，于是有AMA AXA AY lm AX A A ln XA ZAA AY A AXA A AXA ZA A ，所以，M A1 o反之，任取M A1，于是有MMXXXAX XAMAXM X MM X ImX AXAXMAX XAMAXIn XA MAX，取YM X，ZMA

22、X，贝U M有(3.1)式的表示。所以，A1XY ImAXInXA Z| Y,Z Cn m 0Cnn定理3.2设矩阵A Crm n，存在可逆矩阵P Cm m和Q则A1中的任一矩阵可写成PAQIr0IrX12X21X 22的形式，其中，X12 CrX21rn r m，X22 Cr，为任意矩阵。证明:A1，m矩阵，将X分块为:X11X21X12X22其中，XnCr r，r m rX12 C，X21 CX22 CQ 1XP 1PAQ 1，因为PAQQ 1XP 1PAQPAQ，所以(PAQ)(Q 1XP1)(PAQ) 00 X110 X21X12X22Ir 00 0X110Ir 00 0，所以，Xii

23、 Ir，即PAQ1中的任一矩阵可写成Q 1XP 1 Ir Xl2，即A1中的任一个矩阵可写成X21 X22Ir X12X Q r 12 P ,X21 X 22其中 X12 Cr m r , X21 Cn r r, X22 C n r m r，为任意矩阵。由定理3.2知，要想计算出一个矩阵A的1-逆，必须首先求出可逆矩阵P和Q，所以可先构造分块矩阵使PAQ成为标准形，AInIm0用行和列初等变换把同时，In化成了 Q，B中的A化简成AIr0Im化成了 P，即0InAInIm00Im故，PAQ A r0于是A1中的矩阵可写成I rX12X Q r 12 PX21 X 22、1,3-逆的求解定理3.

24、3设矩阵A Cmn，那么(1) 若A是行满秩矩阵，则A A ；(2) 若A是列满秩矩阵，则A (Ah A) 1Ah ;(3) 若rankA rv minm , n且有满秩分解AA G Fi 或 Ai(AH A)证明： 若A Cmn是行满秩矩阵，则rankA(AA)H im Im AA所以，A A。若A Cmn是列满秩矩阵，令 X(AX)h (AhA) 1Ah H Ah A(AhA) 1ah ax， 又 AXA A(Ah A) 1AH A A，所以，A (AH A) 1ah。HhH(3) (AG Fl ) (FGG F ) (FI F )FFl FGG FlAG Fl ，FG,则Ah。m， AA

25、 Im，有/典H典、1 A H(A A) A，(FFl )HG Fl 0又 A(G F )A FGG Fl FG FG A，所以，A令x (aha)ah，于是HhH HHH(AX )H A(AH A) AHH A(AH A) AH又 AXA A(AhA) AhA A，所以，Ai (AHA) AH。三、1 , 4-逆的求解定理3.4设矩阵A Cmn，那么(1) 若A是行满秩矩阵，则Am Ah (AAh ) 1 ；(2) 若A是列满秩矩阵，则Am A ；(3) 若rankA r min m, n且有满秩分解 A FG ,则An GmF 或 Am AH (AAH ) o证明：(1 )令 X ah (

26、aah ) 1,则H A H HH、1_HA H日、1典(XA) A A (AA ) A (AA ) A又 AXA AAh(AAh) 1A A，所以，Am AH (AAH ) 1。(2) rankA n，所以，A A ln,有(A A)h IH In A A，所以，Am A oAX，XA，FG GmF A(3) (GmF A)h (GmF FG)h (GmG)H GmG GmF又 AGmF A FGGmF FG FG A，所以，Am GmF令 X AH(AAH)，则(XA)h Ah(AAh) Ah Ah(AAh)hA Ah(AAh) a 又 AAmA AAh(AAh) A A，所以，A AH(AAH)。 3.2Moore-Penrose广义逆定理3.5设矩阵A Crm n (r0)的满秩分解为A FG， 其中 F Crmr，G C； n，则(1) GiF 1Ai,i1,2,4；(2) G1F iAi,i1,2,3；(3) G1 F A1,2,3, G F 1A1,2,4；(4) AGF 1,3G1,4 F；(5) AGF GhGGh1 FH F 1 FH GH FH AGH tH。证明：(1) F， G分别为列满秩和行满秩矩阵，F 1 F GG1 1 1 1AG F A FGG F FG FI rIrG FG A，所以，G 1 F 1A1；XA，i；