拉普拉斯变换拉普拉斯变换的概念教学内容1拉普拉

1、第九章拉普拉斯变换 12教学内容:1、拉普拉斯变换的定义2、拉普拉斯变换存在条件教学要求:1、正确理解拉普拉斯变换的定义2、了解拉普拉斯变换存在条件第节拉普拉斯变换的概念教学过程傅氏变换具有广泛的应用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质 就是傅里叶积分变换.但任何东西都有局限性，傅里叶变换也一 样，人们对傅里叶积分变换的局限性做了各种各样的改进.一方面 提高它对问题的刻画能力，如窗口傅里叶变换、小波变换等；另 一方面，扩大它本身的使用范围，比如本章要介绍的拉普拉斯变 换就是.我们知道傅里叶变换对函数有一定的要求，即满足狄利克 雷条件，还要求在(

2、-8,+8)上绝对可积，才有古典意义下的傅里 叶积分变换，而绝对可积是一个很强的条件，即使一些简单函数, 有吋也不能满足这个条件，引入狄拉克函数后，傅里叶积分变换 应用广泛了很多，但对于指数增长的函数仍然不能使用，另外傅 里叶积分变换必须在整个实数轴上定义，但在工程实际问题中， 许多以时间为自变量的函数，就不能在整个实数上定义，因此傅 里叶积分变换在处理这样的问题时，有一定的局限性.19世纪末英 国工程师赫维赛德发明了一种算子法，最后发展成了今天的拉普 拉斯积分变换，而其数学上的根源还是来自拉普拉斯，所以称其 为拉普拉斯积分变换.一、拉普拉斯变换的定义定义设函数/是定义在0,+8)上的实值函数

3、，如果对于在复平面S的某一域内收敛，则称FG)为/的拉普拉斯变换，H4-ooo f(t)e-stdt,称/(f)为F($)的拉普拉斯逆 变换，记为/(o=r_iF(5)., f($)称为像函数，口)称为原像函 数.事实上，我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积 分变换的关系：令s = p + jco,则矽口)啲严訂:f(t)e-stdt=F(S)=Lf(t).由此可以知道，/的拉普拉斯积分变换就是的傅里 叶积分变换，首先通过单位阶跃函数“(f)使函数/在f0的部分乘一个衰减的指数函数丘 以降低其增长速度，这样就有希望使函数/“()满足傅里叶 积分变换的条件，从而对它进行傅里叶积分变换.例

4、9.1分别求出单位阶跃函数u，符号函数sgnf, /(0 = 1 的拉普拉斯积分变换.H+OCA 4-00If(t)e-stdt = f es,dt = -, (Re s 0) 0Josu(t)es,dt =estdt = 一 , (Re 5 0)r+oo1sgnf = | sgntes dt = | dt = - , (Re5 0)JoJo$例9.2求指数函数f(t) = ekt的拉氏变换(&为实数).解:4/(0 = Cektesldt=E=1八八 JoJoJos _k05-所以 Lekt = -(Re(s)k).s-k二、拉普拉斯积分变换存在条件拉氏变换的存在定理若函数/满足：(1) 在

5、r 0的任一有限区间上分段连续；(2) 当乜时，/的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数M 0及C 0,使得1/(0 |MZ,(0r c 一定J 0存在，并且在Re(5) c的半平面内，F(s)为解析函数.证明 设s = p+ jco,贝J|= ep,所以I F(s) |=|f(t)e5tdt | c,可以知道右端积分在上半平面上收敛.关于解析性的证明省略.注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在(常义下)；注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.对于任意函数来说，其拉普拉斯变换有三种情况，或者不存在，或者在整个复平面上存在，或者在一个半平面内存在.第二节拉氏变换的性质教学内容：拉普拉斯变换

6、的性质.教学要求：1、掌握拉普拉斯变换的性质2、理解卷积和卷积定理教学过程一、拉普拉斯变换的性质1、线性性质4/(0 土 0g(O = 4/(01 土 阻 g(。；= 4他0心(2、相似性质设4/(0 = F(s),则对任意常数a0,有4/()=丄- a &丿证明：令x = at,贝ljf+ 15-1 o,r 1二.卷积和卷积定理1、卷积的定义(/)*厶= U()/2(f-必，结合率、交换律和分配率仍然成 立.2、卷积定理设&() =片G)也$() =坊G),则有； (0 * f2 (01 = % (s)迟(s); J 片(s)迟(5) = /； * f2 (r)证明由定义 * fl (01 =人(0 * /2 严力=卩 4 (r)A (t-T)dTe-stdt 然后交换二重积分的次序，令t=t-TCf * f2 (01 = 17 f(r) f2(t - T)estdtdT=f0 /l(r)f0 /2G1X Ste=2(5)f0dr =片(3)尸2(3)例914求函数j(t) = t与ZW) = sin/的卷积.解X ()* fi = /i (CZ