专题09 不等式（知识梳理）（原卷版）

1、专题09 不等式（知识梳理）一、不等式的有关概念1、不等式的定义：用数学符号“、”连接的两个数或代数式表示不等关系的式子叫不等式。不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号、或；(2)所表示的关系是不等关系。2、不等式的含义：不等式应读作“大于或者等于”,其含义是指“或者,或者”,等价于“不小于,即若或之中有一个正确,则正确。不等式中的文字语言与符号语言之间的转换：大于大于等于小于小于等于至少至多不少于不多于例1-1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)某隧道入口竖立着“限高米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车的整体高度满足关系为。 ( )(2)用不等式表示“与的差是非负数”为。

2、( )(3)不等式的含义是指不小于。 ( )(4)若或之中有一个正确,则正确。 ( )二、实数比较大小的依据与方法1、实数的两个特征(1)任意实数的平方不小于,即。(2)任意两个实数都可以比较大小,反之,可以比较大小的两个数一定是实数。2、实数比较大小的依据(1)如果是正数,那么；如果等于零,那么；如果是负数,那么。反之也成立,即；。(2)比较两个实数与的大小,需归结为判断它们的差的符号,至于差的值是什么无关紧要。3、比较两数(式)大小的方法作差比较法作商比较法乘方比较法依据,若,则,若,则应用范围数(式)符号不明显,作差后可通过配方、因式分解等恒等变形手段将差化积或商的形式。同号两数比较大小

3、或只是式之间比较大小。要比较的两数(式)中有根号。步骤作差变形定号下结论作商变形判断商值与的大小下结论乘方用作差比较法或作商比较法例2-1比较与的大小。变式2-1比较与的大小,其中。三、常用不等式的重要性质名称式子表达性质1(对称性)性质2(传递性),性质3(可加性)推论1：推论2：,性质4(可乘性),推论1：,推论2： ()推论3：()例3-1用不等号填空：(1)若,则 ；(2)若,则 ；(3)若,则 ；(4)已知,则 。四、解一元二次不等式1、按项的系数的符号分类,即,。例4-1解不等式：。2、按判别式的符号分类,即,。例4-2解不等式。3、按方程的根、的大小来分类,即,。例4-3解不等式

4、()。五、二元一次不等式表示的平面区域及确定1、直线：把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线上的点的坐标满足；(2)直线一侧的平面区域内的点的坐标满足,(3)直线另一侧的平面区域内的点的坐标满足。2、二元一次不等式表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的大众部分。(1)在直角坐标平面内,把直线：画成实线,表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线。(2)对于直线同一侧的所有点,把它的坐标代入所得的符号都相同。(3)作二元一次不等式表示的平面区域的方法：直线定界：画直线(注意实线和虚线之分)；特殊点定域：取特殊点 (当时常取原点(0,

5、0)作测试点；当时,可取或作测试点)代入二元一次不等式,如果满足,则点所在的平面区域就是表示的平面区域,否则是点所在的平面区域的另一侧的平面区域。 简记为：直线定界,特殊点定域。例5-1下列说法正确的是( )。A、由于不等式不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域B、点在不等式表示的平面区域内C、不等式与表示的平面区域是相同的D、第二、四象限表示的平面区域可以用不等式表示变式5-1已知点,若、两点在直线的同侧,则的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、例5-2画出不等式表示的区域。变式5-2写出下列表示平面区域的二元一次不等式。六、简单线性规划1、线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件

6、下的最大值和最小值的问题,统称为线性规划问题。名称意义约束条件由变量,组成的不等式组线性约束条件由,的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量,的函数解析式线性目标函数关于,的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题例6-1判断：(1)可行域是一个封闭的区域。 ( )(2)在线性约束条件下,最优解是唯一的。 ( )(3)最优解一定是可行解,但可行解不一定是最优解。 ( )(4)线性规划问题一定存在最优解。 ( )2、线性目标函数的最值线性目

7、标函数()对应的斜截式直线方程是,它表示斜率为,在轴上的截距是的一条直线,当变化时,方程表示一组互相平行的直线。(1)当,截距最大时,取得最大值,截距最小时,取得最小值；(2)当,截距最大时,取得最小值,截距最小时,取得最大值。线性规划问题一般用图解法,其步骤如下：(1)算：根据题意,设出变量,；列出线性约束条件；确定线性目标函数；(2)画：画出可行域(即各约束条件所示区域的大众区域)和线性目标函数；(3)移：利用线性目标函数作平行直线系(为参数)平行移动,找到直线(为参数)在可行域上使取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出参考答案；(4)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大

8、值和最小值；(5)答：给出正确参考答案。例6-2若目标函数中变量、满足约束条件。(1)试确定可行域的面积；(2)求出该线性规划问题中所有的最优解。变式6-1设,式中变量、满足条件,求的最大值和最小值。变式6-2设、满足约束条件,求的最大值和最小值。3、非线性目标函数的最优解问题(1)型的目标函数可转化为点与点距离的平方,特别地,型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方。(2)型的目标函数可转化为点与点连线的斜率。(3)可转化为点到直线的距离的倍。例6-3如果点在平面区域上,点在曲线上,那么的最小值为( )。A、 B、 C、 D、例6-4若、满足约束条件,则的最大值为( )。A、 B、 C

9、、 D、4、线性规划中的参数问题当最值是已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关,解题时应充分利用斜率这一特征加以转化。当目标函数与最值都是已知,且约束条件中含有参数时,因为平面区域是变动的,所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该区域内即可。平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”,二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集。(1)条件不等式组中含有参变量例6-5若实数、满足,目标函数的最小值为,则实数( )。A、 B、 C、 D、(2)目标参数中设置参变量例6-6已知实数、满足,若的最大值为,最小值为,则实数的

10、取值范围为( )。A、 B、 C、 D、七、基本不等式1、基本不等式原始形式：(1)若,则；(2)若,则。2、基本不等式一般形式(均值不等式)：若,则。3、基本不等式的两个重要变形：(1)若,则；(2)若,则。4、利用均值不等式求最值的条件：“一正,二定,三相等”。(1)一正：各项均为正数,若各项均为负数,则可以提负号；(2)二定：如果两个正数的积是定值,则有最小值。如果两个正数的和是定值,则有最大值。(3)三相等：当且仅当时取最值。5、常用结论：(1)：若,则 (当且仅当时取“”)；若,则 (当且仅当时取“”)；(2)(,)：若,则(当且仅当即时取“”)；若,则(当且仅当即时取“”)；(3)

11、(,)：若,则(当且仅当即时取“”)；若,则(当且仅当即时取“”)；(4)若,则(当且仅当时取“”)；(5)若,则(当且仅当时取“”)；(6)基本不等式链：若,则(当且仅当时取“”)。注：算术平均数：；几何平均数：；调和平均数：；平方平均数：。例7-1设,证明不等式：。变式7-1已知、为两两不相等的实数,求证：。例7-2已知,求证：。变式7-2已知且,求证：。例7-3已知,则的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、变式7-3已知,则的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、例7-4已知(),则的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、变式7-4已知,则的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、例7-5已知,则的最小值为( )。A、 B、 C、 D、变式7-5已知正数、满足,的最小值为,则的值为( )。A、 B、 C、 D、例7-6围建一个面