专题01 函数与导数综合问题（答题指导）（解析版）

1、专题01 函数与导数综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势1.极值、最值、导数几何意义及单调性的综合问题2利用导数研究不等式的综合问题.1.以函数为载体,以导数为解题工具,主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法,以及参数的取值范围问题2不等式的证明问题是高考考查的热点内容,常与不等式、二次函数等相联系问题的解决通常采用构造新函数的方法.题型一：利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体,结合具体函数与导数的几何意义,研究函数的性质,是高考的热点主要考查：(1)讨论函数的单调性和单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值,求参数的范围【例1】 已知函数f

2、(x)ax3ln x,其中a为常数(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0,)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围【参考答案】见解析【解析】(1)f(x)a,由fa1可得a1,即f(x)x3ln x,f(x)1,当x有：x2(2,3f(x)0f(x)单调递减13ln 2单调递增从而在上,f(x)有最小值,且最小值为f(2)13ln 2.(2)f(x)a(x0),由题设可得方程ax23x20有两个不等的正实根不妨设这两个根为x1,x2,且x1x2,则解得0a0,所以f(x)在(0,)上单调递增若a0,则当x时,f(x)0；当

3、x时,f(x)0时,f(x)在x处取得最大值,最大值为f lnaln aa1.因此f 2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1,则g(a)在(0,)上单调递增,g(1)0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1)【突破训练2】 (2019黄冈联考)已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时,求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)f(x)在1,)上是单调函数,求实数a的取值范围【参考答案】见解析【解析】(1)f(x)2x.令f(x)0,得x1；令f(x)0,得0x1.所以f(x)的单调递增区间是(1,),f(x)的单调递减区间是(0,1)(2)

4、若函数g(x)在1,)上是单调增函数,则g(x)0在1,)上恒成立,即a2x2在1,)上恒成立设(x)2x2,因为(x)在1,)上单调递减,所以(x)max(1)0,所以a0.若函数g(x)在1,)上是单调减函数,则g(x)0在1,)上恒成立,无解综上,实数a的取值范围为0,)题型二：利用导数研究函数的零点或曲线交点问题导数与函数、方程交汇是近年命题的热点,常转化为研究函数图象的交点问题,研究函数的极(最)值的正负主要考查：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围【例2】 (2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1,证明：当x0时

5、,f(x)1；(2)若f(x)在(0,)只有一个零点,求a.【参考答案】见解析【解析】(1)证明：当a1时,f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1,则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时,g(x)0,h(x)没有零点；()当a0时,h(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增故h(2)1是h(x)在(0,)的最小值若h(2)0,即a,h(x)在(0,)没有零点；若h(2)0,即a,h(x)在(0,)只有一个零点；若h(2),由于h(0)1,所以h(x)在(0,2)有一个零点,由(1)知当x

6、0时,exx2,所以h(4a)11110.故h(x)在(2,4a)也有一个零点,因此h(x)在(0,)有两个零点综上,f(x)在(0,)只有一个零点时,a.【素养解读】(1)在问题(1)的证明过程中,考查了逻辑推理的核心素养(2)在问题(2)中,通过对参数a的分类讨论以及在不同的取值范围内列式计算的过程中考查了数学运算的核心素养【突破训练3】 已知二次函数f(x)的最小值为4,且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)4ln x的零点个数【参考答案】见解析【解析】(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3,xR

7、,所以设f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a,且a0.所以f(x)minf(1)4a4,a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)由(1)知g(x)4ln xx4ln x2,所以g(x)的定义域为(0,),g(x)1,令g(x)0,得x11,x23.当x变化时,g(x),g(x)的取值变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3,)g(x)00g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当0x3时,g(x)g(1)43时,g(e5)e52022512290.又因为g(x)在(3,)上单调递增,因而g(x)在(3,)上只有1个零点,故g(x)仅有1个零点【突破训练4】 (2

8、019黄冈起点考试)已知函数f(x)x22ln x,h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x),若函数k(x)在1,3上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围【参考答案】见解析【解析】(1)由题意知f(x)2x,x0,令f(x)0,得x1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值为f(1)1,无极大值(2)因为k(x)f(x)h(x)2ln xxa,所以k(x)1,x0,令k(x)0,得x2.当x1,2)时,k(x)0；当x(2,3时,k(x)0.故k(x)在1,2)上

9、单调递减,在(2,3上单调递增,所以即所以22ln 2a32ln 3.所以实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3题型三：利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容,难度较大主要考查证明不等式和不等式成立(恒成立)问题(1)利用导数证明不等式的方法可以从所证不等式的结谈判特点出发,结合已有的知识利用转化与化归思想,构造一个新的函数,再借助导数确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而使不等式得到证明,其一般步骤是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论(2)利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得

10、出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围；也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题(3)不等式能成立(恒成立)问题常见的转化方法f(x)a恒成立f(x)mina,f(x)a能成立f(x)maxa；f(x)b恒成立f(x)maxb,f(x)b能成立f(x)minb；f(x)g(x)恒成立F(x)min0；x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x)ming(x)max；x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min；x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min；x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)max.【例3】 (20

11、18浙江卷节选)已知函数f(x) ln x若f(x)在xx1,x2(x1x2)处导数相等,证明：f(x1)f(x2)88ln2.【参考答案】见解析【解析】证明 函数f(x)的导函数f(x),由f(x1)f(x2)得,因为x1x2,所以.由基本不等式得2.因为x1x2,所以x1x2256.由题意得f(x1)f(x2)ln x1ln x2ln(x1x2)设g(x)ln x,则g(x)(4).x(0,16)16(16,)g(x)0g(x)单调递减24ln 2单调递增所以g(x)在256,)上单调递增故g(x1x2)g(256)88ln 2,即f(x1)f(x2)88ln 2.【素养解读】本题的证明过

12、程不仅考查了逻辑推理的核心素养,还在构造函数g(x)ln x中考查了数学运算的核心素养【突破训练5】 (2016四川卷改编)设函数f(x)ax2aln x,g(x),其中aR,e2.718为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时,g(x)0；(3)证明：当a时,f(x)g(x)在区间(1,)恒成立【参考答案】见解析【解析】(1)由题意得f(x)2ax(x0)当a0时,f(x)0时,由f(x)0,得x,当x时,f(x)0,f(x)单调递增(2)证明：令s(x)ex1x,则s(x)ex11.当x1时,s(x)0,s(x)递增,则s(x)s(1)0,所以ex1x,从而g(x)

13、0.(3)证明：当a时,令h(x)f(x)g(x)(x1)当x1时,h(x)2axe1xx0.因此,h(x)在区间(1,)上单调递增又因为h(1)0,所以当x1时,h(x)f(x)g(x)0,即f(x)g(x)恒成立【例4】 (2019兰州模拟)已知函数f(x)ax2bxxln x的图象在(1,f(1)处的切线方程为3xy20.(1)求实数a,b的值；(2)设g(x)x2x,若kZ,且k(x2)f(x)g(x)对任意的x2恒成立,求k的最大值【参考答案】见解析【解析】(1)f(x)2axb1ln x,所以2ab13且ab1,解得a1,b0.(2)由(1)与题意知k2恒成立,设h(x)(x2),

14、则h(x),令m(x)x42ln x(x2),则m(x)10,所以函数m(x)为(2,)上的增函数因为m(8)42ln 862ln e3660,所以函数m(x)在(8,10)上有唯一零点x0,即有x042ln x00成立,故当2xx0时,m(x)0,即h(x)0；当x00,即h(x)0,所以函数h(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,所以h(x)minh(x0),所以k,因为x0(8,10),所以(4,5),又kZ,所以k的最大值为4.【素养解读】(1)问题(2)解答过程中有两个转化,一是分离参数k与变量x,二是作换元变换h(x)(x2),这既考查了数学建模的核心素养,又考查了数学运算的核心素养(2)计算过程中,将恒成立问题转换成函数的最值,考查了逻辑推理和数学抽象的核心素养【突破训练6】 (2019贵州适应性考试)已知函数f(x)axex(aR),g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)存在x0(0,),使不等式f(x)g(x)ex成立,求a的取值范围【参考答案】见解析【解析】(1)因为f(x)aex,xR.当a0时,f(x)0时,令f(x)0得xln