2017届高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题五立体几何1.5.1空间几何体的三视图表面积及体积课件理_课件

1、第一讲 空间几何体的三视图、表面积及体积 【知识回顾】【知识回顾】 1.1.空间几何体的三视图空间几何体的三视图 (1)(1)空间几何体三视图的画法规则空间几何体三视图的画法规则: : 长对正长对正, ,即正即正( (主主) )视图和视图和_的长相等的长相等; ; 高平齐高平齐, ,即正即正( (主主) )视图和视图和_的高相等的高相等; ; 俯视图俯视图 侧侧( (左左) )视图视图 宽相等宽相等, ,即侧即侧( (左左) )视图和视图和_的宽相等的宽相等; ; 看不见的轮廓线要用虚线表示看不见的轮廓线要用虚线表示. . 俯视图俯视图 (2)(2)空间几何体三视图的摆放规则空间几何体三视图的

2、摆放规则: : 俯视图放在正俯视图放在正( (主主) )视图的下面视图的下面; ;侧侧( (左左) )视图放在正视图视图放在正视图 的右面的右面. . 2.2.空间几何体的表面积空间几何体的表面积 (1)(1)多面体的表面积为多面体的表面积为各个面的各个面的_._. (2)(2)圆柱的表面积公式圆柱的表面积公式:S=_=_(:S=_=_(其其 中中,_,_为底面半径为底面半径,_,_为圆柱为圆柱的高的高).). 面积的和面积的和 2r2r2 2+2r+2rl2r(r+2r(r+l) ) r rl (3)(3)圆锥的表面积圆锥的表面积公式公式:S=_=_(:S=_=_(其中圆其中圆 锥的底面半径

3、为锥的底面半径为_,_,母线长为母线长为_).). (4)(4)圆台的表面积公式圆台的表面积公式:S= _(:S= _(其中其中 圆台的上、下底面半径分别为圆台的上、下底面半径分别为_和和_,_,母线长为母线长为_).). (5)(5)球的表面积公式球的表面积公式:S=_(:S=_(其中球的半径为其中球的半径为_)._). rr2 2+r+rlr(r+r(r+l) ) r rl (r(r2 2+r+r2 2+r+rl+r+rl) ) rrr rl 4R4R2 2R R 2.2.对三视图的理解或空间几何体的认识不准确致误对三视图的理解或空间几何体的认识不准确致误: :将将 三视图还原为其对应的几

4、何体时三视图还原为其对应的几何体时, ,一定要准确理解所给一定要准确理解所给 的三视图的三视图, ,才能准确还原出其对应的几何体才能准确还原出其对应的几何体. . 3.3.不能根据三视图的有关数据正确得到空间几何体的不能根据三视图的有关数据正确得到空间几何体的 相关数据致误相关数据致误: :对由三视图计算其对应几何体的表面积对由三视图计算其对应几何体的表面积 或体积时或体积时, ,一定要正确找准对应几何体中的相关数据一定要正确找准对应几何体中的相关数据. . 4.4.不能准确把握组合体的构成而致误不能准确把握组合体的构成而致误: :对所给组合体求对所给组合体求 其表面积、体积时其表面积、体积时

5、, ,易弄错其构成易弄错其构成, ,导致计算错误导致计算错误. . 【考题回访】【考题回访】 1.(20161.(2016全国卷全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的如图是由圆柱与圆锥组合而成的 几何体的三视图几何体的三视图, ,则该几何体的表面积为则该几何体的表面积为( () ) A.20A.20B.24B.24C.28C.28D.32D.32 【解析】【解析】选选C.C.几何体是圆锥与圆柱的组合体几何体是圆锥与圆柱的组合体, ,设圆柱底设圆柱底 面圆半径为面圆半径为r,r,周长为周长为c,c,圆锥母线长为圆锥母线长为l, ,圆柱高为圆柱高为h.h.由由 图得图得r=2,c=2r=4,h=4,

6、r=2,c=2r=4,h=4,由勾股定理得由勾股定理得: : l S S表 表=r =r2 2+ch+ c+ch+ cl=4+16+8=4+16+8 =28.=28. 2 2 22 34 ， 1 2 2.(20162.(2016全国卷全国卷)如图如图, ,网格纸上小正方形的边长为网格纸上小正方形的边长为 1,1,粗实线画出的是某多面体的三视图粗实线画出的是某多面体的三视图, ,则该多面体的表则该多面体的表 面积为面积为( () ) A.18+36 A.18+36 B.54+18 B.54+18 C.90C.90 D.81 D.81 55 【解析】【解析】选选B.B.根据三视图可知原几何体是一个

7、斜四棱根据三视图可知原几何体是一个斜四棱 柱柱, ,上下底面为边长为上下底面为边长为3 3的正方形的正方形, ,左右为底边长为左右为底边长为3,3,侧侧 棱为棱为3 3 的矩形的矩形, ,前后为底边为前后为底边为3,3,侧棱为侧棱为3 3 的平行四的平行四 边形边形, ,且底边上的高为且底边上的高为6,6,所以所以S=9+9+18+18+9 +9 S=9+9+18+18+9 +9 =54+18 .=54+18 . 55 55 5 3.(20153.(2015全国卷全国卷)九章算术九章算术是是 我国古代内容极为丰富的数学名著我国古代内容极为丰富的数学名著, , 书中有如下问题书中有如下问题:“:

8、“今有委米依垣内今有委米依垣内 角角, ,下周八尺下周八尺, ,高五尺高五尺. .问问: :积及为米几何积及为米几何?”?”其意思其意思 为为:“:“在屋内墙角处堆放米在屋内墙角处堆放米( (如图如图, ,米堆为一个圆锥的四米堆为一个圆锥的四 分之一分之一),),米堆底部的弧长为米堆底部的弧长为8 8尺尺, ,米堆的高为米堆的高为5 5尺尺, , 问米堆的体积和堆放的米各为多少问米堆的体积和堆放的米各为多少?”?”已知已知1 1斛米的体斛米的体 积约为积约为1.621.62立方尺立方尺, ,圆周率约为圆周率约为3,3,估算出堆放的米约有估算出堆放的米约有 ( () ) A.14A.14斛斛B.

9、22B.22斛斛C.36C.36斛斛D.66D.66斛斛 【解析】【解析】选选B.B.设圆锥底面半径为设圆锥底面半径为r,r,则则 2 23r=8,3r=8,所所 以以r= ,r= ,所以米堆的体积为所以米堆的体积为 故堆放的米约为故堆放的米约为 1.6222(1.6222(斛斛).). 1 4 16 3 2 1116320 3 ()5 4339 ， 320 9 4.(20154.(2015全国卷全国卷)一个正方体被一个平面截去一部一个正方体被一个平面截去一部 分后分后, ,剩余部分的三视图如图剩余部分的三视图如图, ,则截去部分体积与剩余则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为部分体积的比值为

10、( () ) 1111 A. B. C. D. 8765 【解析】【解析】选选D.D.由三视图得由三视图得, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , 截去四面体截去四面体A-AA-A1 1B B1 1D D1 1, ,如图所示如图所示, , 设正方体棱长为设正方体棱长为a,a, 则则 故剩余几何体体积为故剩余几何体体积为 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 . . 33 111 aa 326 ， 1 11 A-A B D V 333 15 aaa 66 ， 1 5 5.(20155.(2015全国

11、卷全国卷)已知已知A,BA,B是球是球O O的球面上两点的球面上两点, , AOB=90AOB=90,C,C为该球面上的动点为该球面上的动点, ,若三棱锥若三棱锥O-ABCO-ABC体积体积 的最大值为的最大值为36,36,则球则球O O的表面积为的表面积为( () ) A.36A.36B.64B.64C.144C.144D.256D.256 【解析】【解析】选选C.C.如图所示如图所示, , 当点当点C C位于垂直于面位于垂直于面AOBAOB的直径端点时的直径端点时, , 三棱锥三棱锥O-ABCO-ABC的体积最大的体积最大, ,设球设球O O的半径的半径 为为R,R,此时此时V VO-AB

12、C O-ABC=V =VC-AOB C-AOB= = 故故R=6,R=6,则球则球O O的表面积为的表面积为S=4RS=4R2 2=144.=144. 23 111 RRR36 326 ， 热点考向一热点考向一空间几何体的三视图与直观图的对应关空间几何体的三视图与直观图的对应关 系系 命题解读命题解读: :主要考查利用三视图的画法规则及摆放规则主要考查利用三视图的画法规则及摆放规则, , 根据空间几何体确定其三视图或根据三视图还原其对根据空间几何体确定其三视图或根据三视图还原其对 应直观图或根据三视图的其中两个确定另一个应直观图或根据三视图的其中两个确定另一个, ,以选择以选择 题、填空题形式

13、出现题、填空题形式出现. . 【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016长春一模长春一模) )若某几何体的三视图若某几何体的三视图 如图所示如图所示, ,则这个几何体的直观图可以是则这个几何体的直观图可以是( () ) (2)(2016(2)(2016郑州一模郑州一模) )如图所示如图所示, ,四面体四面体ABCDABCD的四个顶的四个顶 点是长方体的四个顶点点是长方体的四个顶点( (长方体是虚拟图形长方体是虚拟图形, ,起辅助作起辅助作 用用),),则四面体则四面体ABCDABCD的三视图是的三视图是( (用用代表图代表图 形形) )( () ) A.A.B.B.C.C.D.D.

14、(3)(2016(3)(2016石家庄二模石家庄二模)“)“牟合方盖牟合方盖”是是 我国古代数学家刘徽在研究球的体积的我国古代数学家刘徽在研究球的体积的 过程中构造的一个和谐优美的几何体过程中构造的一个和谐优美的几何体. . 它由完全相同的四个曲面构成它由完全相同的四个曲面构成, ,相对的两个曲面在同一相对的两个曲面在同一 个圆柱的侧面上个圆柱的侧面上, ,好似两个扣合好似两个扣合( (牟合牟合) )在一起的方形伞在一起的方形伞 ( (方盖方盖).).其直观图如图其直观图如图, ,图中四边形是为体现其直观性图中四边形是为体现其直观性 所作的辅助线所作的辅助线. .当其主视图和侧视图完全相同时当

15、其主视图和侧视图完全相同时, , 它的俯视图可能是它的俯视图可能是( () ) 【解题导引】【解题导引】(1)(1)由选项中的直观图逐个验证其三视图由选项中的直观图逐个验证其三视图 是否符合已知三视图是否符合已知三视图. . (2)(2)根据三视图的定义、画法规则、摆放规则判断根据三视图的定义、画法规则、摆放规则判断. . (3)(3)根据几何体形状及轮廓线的虚、实情况判断根据几何体形状及轮廓线的虚、实情况判断. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.由已知三视图知由已知三视图知, ,选项选项A,CA,C中所给中所给 几何体的正几何体的正( (主主) )视图、俯视图不符合要求视图

16、、俯视图不符合要求, ,选项选项D D中所中所 给几何体的侧给几何体的侧( (左左) )视图不符合要求视图不符合要求, ,而而B B中的几何体均中的几何体均 符合符合. . (2)(2)选选B.B.正正( (主主) )视图应该是相邻两边长为视图应该是相邻两边长为3 3和和4 4的矩形的矩形, , 其对角线左下到右上是实线其对角线左下到右上是实线, ,左上到右下是虚线左上到右下是虚线, ,因此因此 正正( (主主) )视图是视图是; ;侧侧( (左左) )视图应该是相邻两边长为视图应该是相邻两边长为5 5和和4 4 的矩形的矩形, ,其对角线左上到右下是实线其对角线左上到右下是实线, ,左下到右

17、上是虚左下到右上是虚 线线, ,因此侧因此侧( (左左) )视图是视图是; ;俯视图应该是相邻两边长为俯视图应该是相邻两边长为3 3 和和5 5的矩形的矩形, ,其对角线左上到右下是实线其对角线左上到右下是实线, ,左下到右上是左下到右上是 虚线虚线, ,因此俯视图是因此俯视图是. . (3)(3)选选B.B.由直观图可知俯视图应为正方形由直观图可知俯视图应为正方形, ,排除排除A,C,A,C,又又 上半部分相邻两曲面的交线看得见上半部分相邻两曲面的交线看得见, ,在俯视图中应为实在俯视图中应为实 线线. . 【规律方法】【规律方法】 1.1.由直观图确认三视图的方法由直观图确认三视图的方法

18、根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则 确认确认. . 2.2.由三视图还原到直观图的思路由三视图还原到直观图的思路 (1)(1)根据俯视图确定几何体的底面根据俯视图确定几何体的底面. . (2)(2)根据正根据正( (主主) )视图或侧视图或侧( (左左) )视图确定几何体的侧棱与视图确定几何体的侧棱与 侧面的特征侧面的特征, ,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. . (3)(3)确定几何体的直观图形状确定几何体的直观图形状. . 【题组过关】【题组过关】 1.(20161.(2016太原一模太原一模)

19、 )已知一个三棱锥的三视图如图所已知一个三棱锥的三视图如图所 示示, ,其中三个视图都是直角三角形其中三个视图都是直角三角形, ,则在该三棱锥的四则在该三棱锥的四 个面中个面中, ,直角三角形的个数为直角三角形的个数为( () ) A.1A.1 B.2 B.2C.3C.3 D.4 D.4 【解析】【解析】选选D.D.由题意可知由题意可知, ,几何体是三棱锥几何体是三棱锥, ,其放置在其放置在 长方体中形状如图中三棱锥长方体中形状如图中三棱锥A-BCD,A-BCD,利用长方体模型可利用长方体模型可 知知, ,此三棱锥的四个面此三棱锥的四个面, ,全部是直角三角形全部是直角三角形. . 2.(20

20、162.(2016兰州一模兰州一模) )如图如图, ,正四棱锥正四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面边长的底面边长 为为6cm,6cm,侧棱长为侧棱长为5cm,5cm,则它的侧则它的侧( (左左) )视图的周长等于视图的周长等于 ( () ) A.17cmA.17cmB.( +5)cmB.( +5)cm C.16cmC.16cmD.14cmD.14cm 119 【解析】【解析】选选D.D.由题意可知由题意可知, ,侧侧( (左左) )视图是一个三角形视图是一个三角形, , 底边长等于正四棱锥底面正方形的边长底边长等于正四棱锥底面正方形的边长, ,高为正四棱锥高为正四棱锥 的高的一个等腰三角形的

21、高的一个等腰三角形. .因为侧棱长因为侧棱长5cm,5cm,所以斜高为所以斜高为h= h= =4(cm), =4(cm),又正四棱锥底面正方形的边长为又正四棱锥底面正方形的边长为6cm,6cm, 所以侧所以侧( (左左) )视图的周长为视图的周长为6+4+4=14(cm).6+4+4=14(cm). 22 53 3.3.如图如图, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1,P1,P为为BCBC的中的中 点点,Q,Q为为CCCC1 1的中点的中点, ,则四面体则四面体A A1 1PQDPQD的正的正( (主主) )视图视图, ,侧侧( (

22、左左) ) 视图和俯视图的面积之和为视图和俯视图的面积之和为_._. 【解析】【解析】由图易知四面体由图易知四面体A A1 1PQDPQD的正的正( (主主) )视图为直角梯视图为直角梯 形形, ,如图如图1 1所示所示, ,其面积为其面积为 四面体四面体A A1 1PQDPQD的侧的侧( (左左) )视图为四边形视图为四边形, ,如图如图2 2所示所示, ,其面其面 积为积为 四面体四面体A A1 1PQDPQD的俯视图为直角的俯视图为直角 梯形梯形, ,如图如图3 3所示所示, ,其面积为其面积为 113 11 224 ， 111 1 21 222 ， 113 11 224 ， 故四面体故

23、四面体A A1 1PQDPQD的正的正( (主主) )视图、侧视图、侧( (左左) )视图和俯视图的视图和俯视图的 面积之和为面积之和为 答案答案: :2 2 313 2. 424 【加固训练】【加固训练】 1.1.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥, ,则则 不是该三棱锥的三视图的是不是该三棱锥的三视图的是( () ) 【解析】【解析】选选D.D.三棱锥的三视图均为三角形三棱锥的三视图均为三角形, ,四个选项均四个选项均 满足满足; ;且四个三视图均表示一个高为且四个三视图均表示一个高为3,3,底面为两直角边底面为两直角边 分别为分别为1,2

24、1,2的棱锥的棱锥;A;A与与C C中俯视图正好旋转中俯视图正好旋转180180, ,故应是故应是 从相反方向进行观察从相反方向进行观察, ,而其正而其正( (主主) )视图和侧视图和侧( (左左) )视图中三视图中三 角形斜边倾斜方向相反角形斜边倾斜方向相反, ,满足实际情况满足实际情况, ,故故A,CA,C表示同一表示同一 棱锥棱锥; ;设设A A中观察的正方向为标准正方向中观察的正方向为标准正方向, ,所以所以C C表示从表示从 后面观察该棱锥后面观察该棱锥;B;B与与D D中俯视图正好旋转中俯视图正好旋转180180, ,故应是故应是 从相反方向进行观察从相反方向进行观察, ,但侧但侧

25、( (左左) )视图中三角形斜边倾斜视图中三角形斜边倾斜 方向相同方向相同, ,不满足实际情况不满足实际情况, ,故故B,DB,D中有一个不与其他三中有一个不与其他三 个一样表示同一个棱锥个一样表示同一个棱锥, ,根据根据B B中正中正( (主主) )视图与视图与A A中侧中侧 ( (左左) )视图相同视图相同, ,侧侧( (左左) )视图与视图与C C中正中正( (主主) )视图相同视图相同, ,可判可判 断断B B是从左边观察该棱锥是从左边观察该棱锥. . 2.(20162.(2016石家庄二模石家庄二模) )如图所示是一个物体的三视图如图所示是一个物体的三视图, , 则此三视图所描述物体

26、的直观图是则此三视图所描述物体的直观图是( () ) 【解析】【解析】选选D.D.先观察俯视图先观察俯视图, ,由俯视图可知选项由俯视图可知选项B B和和D D中中 的一个正确的一个正确, ,由正由正( (主主) )视图和侧视图和侧( (左左) )视图可知选项视图可知选项D D正正 确确. . 3.(20143.(2014全国卷全国卷)如图如图, ,网格纸的各小格都是正方形网格纸的各小格都是正方形, , 粗实线画出的是一个几何体的三视图粗实线画出的是一个几何体的三视图, ,则这个几何体是则这个几何体是 ( () ) A.A.三棱锥三棱锥B.B.三棱柱三棱柱C.C.四棱锥四棱锥D.D.四棱柱四棱

27、柱 【解析】【解析】选选B.B.由题知由题知, ,该几何体的三视图为一个三角形该几何体的三视图为一个三角形, , 两个四边形两个四边形, ,经分析可知该几何体为三棱柱经分析可知该几何体为三棱柱, ,如图所示如图所示. . 4.4.一个三棱锥的正一个三棱锥的正( (主主) )视图和俯视图如图所示视图和俯视图如图所示, ,则该三则该三 棱锥的侧棱锥的侧( (左左) )视图可能为视图可能为( () ) 【解析】【解析】选选D.D.分析三视图可知分析三视图可知, ,该几何体为如图所示的该几何体为如图所示的 三棱锥三棱锥, ,其中平面其中平面ACDACD平面平面BCD,BCD,故其侧故其侧( (左左)

28、)视图应为视图应为D.D. 热点考向二热点考向二空间几何体表面积与体积的计算空间几何体表面积与体积的计算 命题解读命题解读: :主要考查空间几何体的结构特征、表面积与主要考查空间几何体的结构特征、表面积与 体积公式体积公式, ,三种题型都有可能出现三种题型都有可能出现, ,如果出现在解答题如果出现在解答题 中常与线面的平行、垂直关系交汇考查中常与线面的平行、垂直关系交汇考查. . 命题角度一命题角度一: :根据三视图计算其空间几何体的表面积根据三视图计算其空间几何体的表面积 与体积与体积 【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016南昌一模南昌一模) )如图网格纸如图网格纸 上小正方形

29、的边长为上小正方形的边长为1,1,粗实线画出的是某几粗实线画出的是某几 何体的三视图何体的三视图, ,则这个几何体的体积为则这个几何体的体积为( () ) A.1A.1 B.2 B.2 C.3C.3 D.4 D.4 (2)(2016(2)(2016浙江高考浙江高考) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示( (单单 位位:cm),:cm),则该几何体的表面积是则该几何体的表面积是_cm_cm2 2, ,体积是体积是 _cm_cm3 3. . 【解题导引】【解题导引】(1)(1)利用三视图判断几何体的形状利用三视图判断几何体的形状, ,然后然后 通过三视图的数据求解几何体的体积通过三

30、视图的数据求解几何体的体积. . (2)(2)先由三视图还原几何体再进行求解先由三视图还原几何体再进行求解. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.该几何体的直观图如图该几何体的直观图如图, ,则该几则该几 何体的体积何体的体积V= V= (2)(2)由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个 小正方体小正方体,S,S表 表=6 =62 22 2+2+24 42 2+4+42 24-4- 2 22 22 2=80(cm=80(cm2 2),V=2),V=23 3+4+44 42=40(cm2=40(cm3 3).). 答案答案: :8

31、0804040 2241 24. 32 命题角度二命题角度二: :根据空间几何体的结构特征计算其表面根据空间几何体的结构特征计算其表面 积、体积积、体积 【典例【典例3 3】(1)(2016(1)(2016武汉二模武汉二模) )已知圆锥的底面直径已知圆锥的底面直径 为为 , ,且它的侧面展开图是一个半圆且它的侧面展开图是一个半圆, ,则圆锥的表面则圆锥的表面 积为积为( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 2 3 3 (2)(2016(2)(2016长沙一模长沙一模) )如图如图, ,在斜三棱柱在斜三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, , 侧面

32、侧面ACCACC1 1A A1 1与侧面与侧面CBBCBB1 1C C1 1都是菱形都是菱形,ACC,ACC1 1=CC=CC1 1B B1 1= = 6060,AC=2.,AC=2. 求证求证:AB:AB1 1CCCC1 1; ; 若若ABAB1 1= ,= ,求四棱锥求四棱锥A-BBA-BB1 1C C1 1C C的体积的体积. . 6 【解题导引】【解题导引】(1)(1)通过圆锥的底面直径为通过圆锥的底面直径为 , ,且它的且它的 侧面展开图是一个半圆侧面展开图是一个半圆, ,求出圆锥的底面半径、母线求出圆锥的底面半径、母线, , 即可求出圆锥的表面积即可求出圆锥的表面积. . 2 3

33、3 【题目拆解】【题目拆解】(2)(2)解答本题解答本题问问, ,可拆解成三个小题可拆解成三个小题. . ( () )找过点找过点A A与底面与底面BBBB1 1C C1 1C C相交且垂直的直线并证明相交且垂直的直线并证明; ; ( () )求求 的值的值; ; ( () )求四棱锥求四棱锥A-BBA-BB1 1C C1 1C C的体积的体积. . 1 1 BB C C S 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.圆锥的底面直径为圆锥的底面直径为 , ,且它的且它的 侧面展开图是一个半圆侧面展开图是一个半圆, , 所以圆锥的底面半径为所以圆锥的底面半径为 , ,周长为周长为 , ,圆

34、锥的母圆锥的母 线长为线长为 , ,所以圆锥的表面积为所以圆锥的表面积为 2 3 3 1 3 2 3 3 2 3 4 180 1 3 1. 3360 (2)(2)连接连接ACAC1 1,CB,CB1 1, , 则则ACCACC1 1和和B B1 1CCCC1 1皆为正三角形皆为正三角形. . 取取CCCC1 1中点中点O,O,连接连接OA,OBOA,OB1 1, ,则则 CCCC1 1OA,CCOA,CC1 1OBOB1 1, , 又又AOBAOB1 1O=O,O=O,所以所以CCCC1 1平面平面OABOAB1 1, , 所以所以CCCC1 1ABAB1 1. . 由由知知,OA=OB,OA

35、=OB1 1= ,= ,又又ABAB1 1= .= . 所以所以OAOA2 2+B+B1 1O O2 2= ,= ,所以所以OAOBOAOB1 1. . 又又OACCOACC1 1,OB,OB1 1CCCC1 1=O,=O, 所以所以OAOA平面平面BBBB1 1C C1 1C.C. 故故 36 2 1 AB 11 BB C C1 SBC BB sin 602 3 ， 1111 A-BB C CBB C C 11 VSOA2 332. 33 【母题变式】【母题变式】 1.1.在本题在本题(2)(2)的条件下的条件下, ,若若A A1 1B B1 1= ,= ,求斜三棱柱求斜三棱柱 ABC-AA

36、BC-A1 1B B1 1C C1 1的表面积的表面积. . 10 【解析】【解析】在在ABCABC中中,AB=A,AB=A1 1B B1 1= ,AC=BC=2,= ,AC=BC=2, cosACB= cosACB= 所以所以sinACB= sinACB= 所以所以S S ABCABC= = 10 2 22 222 2210 ACBCAB1 , 2 AC BC2 2 24 2 115 1 (), 44 11515 2 2, 242 111 A B C 1 SAC BC sin ACB 2 而而 又又 有有 所以所以ABAB1 1AAAA1 1, , 所以所以 因此该三棱柱因此该三棱柱ABC-

37、AABC-A1 1B B1 1C C1 1的表面积为的表面积为: : 1 111 BB C CACC A SS2 3, 1111 A B10AB6AA2， 222 1111 A BABAA， 11 ABB A11 SAB AA622 6. 15 22 2 32 64 32 615. 2 2.2.在本题在本题(2)(2)的条件下的条件下, ,求三棱锥求三棱锥B-AB-A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积. . 【解析】【解析】由由(2)(2)解析知解析知OAOA平面平面BBBB1 1C C1 1C,C, 又又AAAA1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,所以点所以点A A1 1

38、到平面到平面BBBB1 1C C1 1C C的距离的距离h h等于等于 点点A A到平面到平面BBBB1 1C C1 1C C的距离的距离OA,OA,即即h=OA= ,h=OA= , 又又 所以所以 3 1 11 1 BB CBB C C 11 SS2 33. 22 11111111 B-A B CA -BB CBB C 11 VVSh331. 33 3.3.在本题在本题(2)(2)的条件下的条件下, ,求点求点C C到平面到平面ABAB1 1C C1 1的距离的距离. . 【解析】【解析】由题由题(2)(2)知知OAOA平面平面CBCB1 1C C1 1, , 所以所以 在在ABAB1 1C

39、 C1 1中中,AB,AB1 1= ,AC= ,AC1 1=2,B=2,B1 1C C1 1=2.=2. cosACcosAC1 1B B1 1= = 所以所以sinACsinAC1 1B B1 1= = 111111 C-AB CA-CB CC B C 11 VVSOA331. 33 6 2 22 222 1111 111 226 ACB CAB1 2 ACB C2 2 24 ， 2 115 1 ( ). 44 故故 设点设点C C到平面到平面ABAB1 1C C1 1的距离为的距离为d,d, 则由则由 得得 点点C C到平面到平面ABAB1 1C C1 1的距离为的距离为 1 1 AB C

40、 11515 S2 2. 242 1111 C-AB CAB C 1 VSd1 3 ， 2 15 d 5 ， 2 15 . 5 【规律方法】【规律方法】 1.1.求解几何体的表面积及体积的技巧求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)(1)求三棱锥的体积求三棱锥的体积: :等体积转化是常用的方法等体积转化是常用的方法, ,转化原转化原 则是其高易求则是其高易求, ,底面放在已知几何体的某一面上底面放在已知几何体的某一面上. . (2)(2)求不规则几何体的体积求不规则几何体的体积: :常用分割或补形的思想常用分割或补形的思想, ,将将 不规则几何体转化为规则几何体以易于求解不规则几何体转化为规则几

41、何体以易于求解. . (3)(3)求表面积求表面积: :其关键思想是空间问题平面化其关键思想是空间问题平面化. . 2.2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1)(1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图根据给出的三视图还原该几何体的直观图. . (2)(2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量. . (3)(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解套用相应的面积公式与体积公式计算求解. . 【题组过关】【题组过关】 1.(20161.(2016昆明一模昆明一模) )如图是底面半径为如图是

42、底面半径为1,1,高为高为2 2的圆柱的圆柱 被削掉一部分后剩下的几何体的三视图被削掉一部分后剩下的几何体的三视图, ,则被削掉的那则被削掉的那 部分的体积为部分的体积为( () ) 252 A. B. 33 52 C.2 D.2 33 【解析】【解析】选选B.B.由三视图可知由三视图可知, ,剩下部分的几何体由半个剩下部分的几何体由半个 圆锥和一个三棱锥组成圆锥和一个三棱锥组成, ,其体积其体积 所以被削掉的那部分的体积为所以被削掉的那部分的体积为 2 11112 V122 1 2 323233 ， 2 252 12(). 333 2.(20162.(2016衡水一模衡水一模) )如图如图,

43、 ,斜三棱柱斜三棱柱ABC-ABCABC-ABC中中, , 底面是边长为底面是边长为a a的正三角形的正三角形, ,侧棱长为侧棱长为b,b,侧棱侧棱AAAA与底与底 面相邻两边面相邻两边AB,ACAB,AC都成都成4545角角. . (1)(1)求此斜三棱柱的表面积求此斜三棱柱的表面积. . (2)(2)求三棱锥求三棱锥A-BBCA-BBC的体积的体积. . 【解析】【解析】(1)(1)如图如图, ,过过AA作作ADAD平面平面ABCABC于点于点D,D, 过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E,DFACE,DFAC于点于点F.F. 连接连接AE,AF,AD,AE,AF,AD,可得可得A

44、FAC,AEAB.AFAC,AEAB. 由题意可知由题意可知AAE=AAF=45AAE=AAF=45,AA=AA,AA=AA, 于是于是RtRtAAERtAAERtAAF.AAF. 因此因此AE=AF,AE=AF,从而可得从而可得DE=DF.DE=DF. 故故ADAD平分平分BAC.BAC. 又因为又因为AB=AC,AB=AC,所以所以BCAD.BCAD.故故BCAA.BCAA. 因为因为AABB,AABB,所以所以BCBB.BCBB. 因此四边形因此四边形BCCBBCCB是矩形是矩形, ,故斜三棱柱的侧面积为故斜三棱柱的侧面积为 2 2a absin45bsin45+ab=( +1)ab.+

45、ab=( +1)ab. 又因为斜三棱柱的底面积为又因为斜三棱柱的底面积为 所以斜三棱柱的表面积为所以斜三棱柱的表面积为 2 22 33 2aa 42 ， 2 3 21 aba . 2 (2)(2)由由(1)(1)得得 所以所以V VA-BBC A-BBC=V =VB-ABC B-ABC= = 2AE226 AEb,ADbb 2cos 30233 ， 22 63 A Db(b)b 33 ， 22 1331 aba b. 34312 【加固训练】【加固训练】 1.(20151.(2015湖南高考湖南高考) )某工件的三视图如图所示某工件的三视图如图所示. .现将该现将该 工件通过切割工件通过切割,

46、 ,加工成一个体积尽可能大的长方体新工加工成一个体积尽可能大的长方体新工 件件, ,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内并使新工件的一个面落在原工件的一个面内, ,则原则原 工件材料的利用率为工件材料的利用率为( () ) 32 ) 816 A. B. 99 4( 2 1)12( 2 1) C. D. 新工件的体积 (材料利用率 原工件的体积 【解析】【解析】选选A.A.分析题意可知分析题意可知, ,问题等价于圆锥的内接长问题等价于圆锥的内接长 方体的体积的最大值方体的体积的最大值, ,设长方体的长设长方体的长, ,宽宽, ,高分别为高分别为 a,b,h,a,b,h,长方体上底面截圆锥的截面

47、半径为长方体上底面截圆锥的截面半径为x,x,对角面截对角面截 面图如图所示面图如图所示, , 则有则有 所以长方体的体积为所以长方体的体积为 当且仅当当且仅当x=2-2xx=2-2x即即x= x= 时时, ,等号成立等号成立, ,所以利用率为所以利用率为 x2h h22x 12 ， 2 22 2xab abhhh 22 3 xx22x16 2x x (22x)2() 327 ， 2 3 2 16 8 27 1 9 12 3 2.(20162.(2016长春一模长春一模) )如图如图, ,已知已知AFAF平面平面ABCD,ABCD,四边形四边形 ABEFABEF为矩形为矩形, ,四边形四边形AB

48、CDABCD为直角梯形为直角梯形,DAB=90,DAB=90, , ABCD,AD=AF=CD=2,AB=4.ABCD,AD=AF=CD=2,AB=4. (1)(1)求证求证:AC:AC平面平面BCE.BCE. (2)(2)求三棱锥求三棱锥E-BCFE-BCF的体积的体积. . 【解析】【解析】(1)(1)过过C C作作CMAB,CMAB,垂足为点垂足为点M,M, 因为因为ADDC,DAB=90ADDC,DAB=90, ,所以四边形所以四边形ADCMADCM为矩形为矩形, , 所以所以AM=MB=2.AM=MB=2. 因为因为AD=2,AB=4,AD=2,AB=4, 所以所以AC=2 ,CM=

49、2,BC=2 ,AC=2 ,CM=2,BC=2 , 所以所以ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2, ,即即ACBC,ACBC, 22 因为因为AFAF平面平面ABCD,AFBE,ABCD,AFBE, 所以所以EBEB平面平面ABCD,ABCD, 因为因为ACAC平面平面ABCD,ABCD,所以所以ACEB,ACEB, 因为因为EBBC=B,EBBC=B,所以所以ACAC平面平面BCE.BCE. (2)(2)因为因为AFAF平面平面ABCD,ABCD,所以所以AFCM,AFCM, 因为因为CMAB,ABAF=A,CMAB,ABAF=A, 所以所以CMCM平面平面ABEF,VABEF

50、,VE-BCF E-BCF=V =VC-BEF C-BEF= = 11 BE EF CM 32 18 2 4 2. 63 热点考向三热点考向三与球有关的组合体的计算问题与球有关的组合体的计算问题 命题解读命题解读: :主要考查多面体、旋转体与球接、切构成的主要考查多面体、旋转体与球接、切构成的 简单组合体中球半径有关的计算问题简单组合体中球半径有关的计算问题, ,常以选择题、填常以选择题、填 空题形式出现空题形式出现. . 【典例【典例4 4】(1)(2016(1)(2016全国卷全国卷)如图如图, ,某几何体的三视某几何体的三视 图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半图是三个半径相等

51、的圆及每个圆中两条互相垂直的半 径径. .若该几何体的体积是若该几何体的体积是 , ,则它的表面积是则它的表面积是( () ) A.17A.17B.18B.18C.20C.20D.28D.28 28 3 (2)(2)若球与棱长均为若球与棱长均为3 3的三棱锥各条棱都相切的三棱锥各条棱都相切, ,则该球的则该球的 表面积为表面积为_._. 【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据三视图还原为空间几何体根据三视图还原为空间几何体, ,利用利用 该几何体的体积公式构建以该几何体关键量为之的方该几何体的体积公式构建以该几何体关键量为之的方 程并求解程并求解, ,再利用其表面积公式求解再利用其表面积公式

52、求解. . (2)(2)将三棱锥放入正方体将三棱锥放入正方体, ,可得正方体的内切球恰好是可得正方体的内切球恰好是 与三棱锥各条棱都相切的球与三棱锥各条棱都相切的球, ,根据三棱锥棱长算出正方根据三棱锥棱长算出正方 体的棱长为体的棱长为 , ,由此算出内切球半径由此算出内切球半径, ,用公式即可得到用公式即可得到 该球的表面积该球的表面积. . 3 【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.该几何体是一个球体挖掉该几何体是一个球体挖掉 剩下剩下 的部分的部分, ,如图所示如图所示, , 依题意得依题意得 解得解得R=2,R=2, 所以该几何体的表面积为所以该几何体的表面积为442 22

53、2 2 22 2=17.=17. 1 8 3 7428 R 833 ， 73 84 (2)(2)将棱长均为将棱长均为3 3的三棱锥放入正方体的三棱锥放入正方体, ,如图如图, ,因为球与因为球与 三棱锥各条棱都相切三棱锥各条棱都相切, ,所以该球是正方体的内切球所以该球是正方体的内切球, ,切切 正方体的各个面于中心正方体的各个面于中心, , 而这此切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点而这此切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点, ,由此可得由此可得 正方体的棱长为正方体的棱长为 , ,即该球的直径为即该球的直径为 , ,半径半径 r= ,r= , 所以该球的表面积为所以该球的表面积为S=4rS=4r2

54、 2= .= . 答案答案: : 3 2 2 3 2 2 3 2 4 9 2 9 2 【母题变式】【母题变式】 1.1.若把本例题若把本例题(2)(2)条件条件“与棱长均为与棱长均为3 3的三棱锥各条棱的三棱锥各条棱 都相切都相切”变为变为“与棱长均为与棱长均为3 3的三棱锥各面都相切的三棱锥各面都相切”, , 则结果如何则结果如何? ? 【解析】【解析】设该球的球心为设该球的球心为O,O,三棱锥为三棱锥为A-BCD,A-BCD,依题意可依题意可 知知:V:VA-BCD A-BCD=V =VO-ABC O-ABC+V +VO-BCD O-BCD+V +VO-CDA O-CDA+V +VO-DA

55、B O-DAB, , 即即 S S BCDBCDh= S h= S ABCABCr+ S r+ S BCDBCDr+ S r+ S CDACDAr+ r+ S S DABDABr. r. 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 所以所以 解得解得:r= :r= 所以该球的表面积为所以该球的表面积为 222 136131313 333 r3 r 343343434 22 13 3 r3 r. 34 6 . 4 2 63 S4 (). 42 2.2.在本例题在本例题(2)(2)中的条件不变中的条件不变, ,求该球体内接正方体的求该球体内接正方体的 体积体积? ? 【解析】【解析】将棱长均为将棱长均

56、为3 3的三棱锥放入正方体的三棱锥放入正方体, ,如图如图, ,因为因为 球与三棱锥各条棱都相切球与三棱锥各条棱都相切, ,所以该球是正方体的内切球所以该球是正方体的内切球, , 切正方体的各个面于中心切正方体的各个面于中心, , 而这些切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点而这些切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点, ,由此可得由此可得 该球的直径为该球的直径为 , ,半径半径r= .r= .设内接正方体的棱设内接正方体的棱 长为长为a,a,则该内接正方体的体对角线为则该内接正方体的体对角线为 a=2r= .a=2r= . 解得解得a= ,a= ,所以该球的内接正方体的体积为所以该球的内接正方体的体积

57、为 3 2 2 3 2 4 3 3 2 2 6 2 3 63 6 (). 24 【规律方法】【规律方法】多面体、旋转体与球接、切问题的求解多面体、旋转体与球接、切问题的求解 策略策略 (1)(1)过球心及多面体中的特殊点过球心及多面体中的特殊点( (一般为接、切点一般为接、切点) )或线或线 作截面作截面, ,把空间问题转化为平面问题把空间问题转化为平面问题. . (2)(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系, ,或或 只画内切、外接的几何体的直观图只画内切、外接的几何体的直观图, ,确定球心的位置确定球心的位置, , 弄清球的半径弄清球的半径(

58、 (直径直径) )与该几何体已知量的关系与该几何体已知量的关系, ,列方程列方程 ( (组组) )求解求解. . (3)(3)若球面上四点若球面上四点P,A,B,CP,A,B,C构成的三条线段构成的三条线段PA,PB,PCPA,PB,PC两两 两互相垂直两互相垂直, ,且且PA=a,PB=b,PC=c,PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素一般把有关元素“补补 形形”成为一个球内接长方体成为一个球内接长方体, ,用用4R4R2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2求解求解. . 【题组过关】【题组过关】 1.(20161.(2016郑州一模郑州一模) )三棱锥三棱锥P-ABCP-

59、ABC中中,AB=BC= ,AB=BC= , AC=6,PCAC=6,PC平面平面ABC,PC=2,ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积则该三棱锥的外接球表面积 为为( () ) B. C. D. B. C. D. 15 83 3 25 2 83 2 25 A. 3 【解析】【解析】选选D.D.由题可知由题可知, ,ABCABC中中ACAC边上的高为边上的高为 球心球心O O在底面在底面ABCABC的投影即为的投影即为ABCABC的外心的外心D,D, 设设DA=DB=DC=x,DA=DB=DC=x,所以所以x x2 2=3=32 2+( -x)+( -x)2 2, ,解得解得x= ,x=

60、 ,所所 以以R R2 2=x=x2 2+ (+ (其中其中R R为三棱锥外接球的半为三棱锥外接球的半 径径),), 所以外接球的表面积所以外接球的表面积S=4RS=4R2 2= .= . 2 153 6， 6 5 6 4 2 PC7583 ()1 288 83 2 2.(20162.(2016唐山二模唐山二模) )如图所示如图所示, ,用一边长为用一边长为 的正方形硬纸的正方形硬纸, ,按各边中点垂直折起四按各边中点垂直折起四 个小三角形个小三角形, ,做成一个蛋巢做成一个蛋巢, ,将表面积为将表面积为44的鸡蛋的鸡蛋( (视视 为球体为球体) )放入其中放入其中, ,蛋巢形状保持不变蛋巢形